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第三节　随机事件的概率与古典概型
(1)理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；(2)理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率；(3)理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；(4)结合实例，会用频率估计概率．　
重点一　随机事件
1．事件的相关概念
2．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率；
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
[逐点清]
1．(必修第二册243页练习3题改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩 人数
90分以上 42
80～89分 172
70～79分 240
60～69分 86
50～59分 52
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：
(1)90分以上的概率：________；
(2)不及格(60分及以上为及格)的概率： ________．
解析：(1)＝0．07；(2)＝0．1．
答案：(1)0．07　(2)0．1
重点二　事件的关系和运算
1．事件的关系和运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生 事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B 事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 A发生或B发生(事件A与事件B至少有一个发生) 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交(积)事件 A发生且B发生(事件A与事件B同时发生) 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
独立事件 在一个随机试验中两个事件A，B是否发生互不影响 事件A与事件B相互独立 P(AB)＝P(A)P(B)
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1；
(2)必然事件的概率P(Ω)＝1；
(3)不可能事件的概率P( )＝0．
3．概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
4．对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
[逐点清]
2．(多选)(必修第二册233页练习2题改编)若n(n≥3)个人站成一排，其中不是互斥事件的是(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：BCD　排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选B、C、D．
重点三　古典概型
1．古典概型的特征
2．古典概型的概率公式
P(A)＝．
[逐点清]
3．(2022·东莞一模)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著．若在这四大名著中，任取2部进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为________．
解析：4本名著选两本共有C＝6种选法，选取的两本中含有《红楼梦》的共有C＝3种选法，所以任取2部进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为P＝＝．
答案：
　
随机事件
考向1　随机事件的关系
1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一张移动卡　 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
解析：A　由题意知“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又1－＝，故“至多有一张移动卡”的概率是．
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
解析：AB　由互斥事件与对立事件的定义可知A正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故B正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故C不正确；由对立事件的定义可知，事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝ 时，A，B才互为对立事件，故D不正确．故选A、B．
1．准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．　
考向2　用频率估计概率
　(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
[解]　(1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0．4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0．28．
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 －5 －75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝15．
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 －70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝10．
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务．
1．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．　
　为了了解某年龄段1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8．
(1)将频率当作概率，请估计该年龄段学生中百米成绩在[16,17)内的人数；
(2)求调査中随机抽取了多少名学生的百米成绩；
(3)若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．
解：(1)百米成绩在[16,17)内的频率为0．32×1＝0．32,0．32×1 000＝320，所以估计该年龄段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人．
(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x．依题意，得3x＋8x＋19x＋0．32×1＋0．08×1＝1, 所以x＝0．02．
设调査中随机抽取了n名学生的百米成绩，由8×0．02＝，得n＝50，所以调查中随机抽取了50名学生的百米成绩．
(3)百米成绩在第一组的学生数有3×0．02×1×50＝3，记他们的成绩为a，b，c；
百米成绩在第五组的学生数有0．08×1×50＝4，记他们的成绩为m，n，p，q，
则从第一、第五组中随机取出两个成绩的样本空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，m)，(a，n)，(a，p)，(a，q)，(b，c)，(b，m)，(b，n)，(b，p)，(b，q)，(c，m)，(c，n)，(c，p)，(c，q)，(m，n)，(m，p)，(m，q)，(n，p)，(n，q)，(p，q)}，共21个样本点．
设满足两个成绩的差的绝对值大于1秒为事件A，则A＝{(a，m)，(a，n)，(a，p)，(a，q)，(b，m)，(b，n)，(b，p)，(b，q)，(c，m)，(c，n)，(c，p)，(c，q)}，共12个样本点，
所以两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为P(A)＝＝．
古典概型
　(1)(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
(2)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为＝，故选A．
(2)法一：4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别设为0A,0B，将4个1和2个0随机排成一行有A种排法，将1A,1B,1C,1D排成一行有A种排法，再将0A,0B插空有A种排法，所以2个0不相邻的概率P＝＝．
法二：将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法．所以2个0不相邻的概率P＝＝．
[答案]　(1)A　(2)C
1．古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有样本点的个数n；
(2)求出事件A包含的所有样本点的个数m；
(3)代入公式P(A)＝求解．
2．样本点个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于样本点个数较少的古典概型；
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法；
(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中样本点个数的探求；
(4)运用排列组合知识计算．　
1．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　将先后两次的点数记为有序数实数对(x，y)，则共有6×6＝36个样本点，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)共4个样本点，则满足条件的概率为＝．
2．现有甲、乙、丙、丁四名义工到A，B，C三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到A社区的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是CA，其中甲单独被分到A社区的方法数是CA，因此甲单独被分到A社区的概率P＝＝．故选A．
互斥事件与对立事件的概率
　人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；③X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者)．已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为(　　)
A．0．27 B．0．31
C．0．42 D．0．69
[解析]　当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为P＝24%＋7%＝31%＝0．31．故选B．
[答案]　B
互斥事件概率的两种求法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．　
　(2022·山东仿真)为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一台雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0．93，抽到一等品或三等品的概率为0．85，则抽到一等品的概率为________．
解析：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A，B，C，则解得所以抽到一等品的概率为0．78．
答案：0．78
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个2a元．某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的频数分布直方图．若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，则在机器淘汰时备件有剩余的概率为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：B　由频数分布直方图可知，机器在三年使用期内更换的易损零件数小于20的频率为＝，所以购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率约为．故选B．
2．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”(如132)，现从集合{1,2,3,4}中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　当十位上的数为4时，共有A＝6个；当十位上的数为3时，共有A＝2个，共8个．故P＝＝＝，故选D．
3．已知大于3的素数只分布在{6n－1}和{6n＋1}两数列中(其中n为非零自然数)．数列{6n－1}中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列{6n＋1}中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，其中阴性素数有5,11,17,23,29，共5个，阳性素数有7,13,19，共3个．因此，所求概率为P＝＝．故选B．
4．(多选)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
所需时间(分钟) 30 40 50 60
线路一 0．5 0．2 0．2 0．1
线路二 0．3 0．5 0．1 0．1
则下列说法正确的是(　　)
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0．04
解析：BD　对于选项A ，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0．5＋40×0．2＋50×0．2＋60×0．1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0．3＋40×0．5＋50×0．1＋60×0．1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0．7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0．8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0．2×0．1＋0．1×0．1＋0．1×0．1＝0．04，所以选项D正确．故选B、D．
5．已知事件A，B互斥，且事件A发生的概率P(A)＝，事件B发生的概率P(B)＝，则事件A，B都不发生的概率是________．
解析：因为事件A，B互斥，且P(A)＝，P(B)＝，则事件A，B至少一个发生的事件为A＋B，其概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，事件A，B都不发生的事件是A＋B的对立事件，则其概率为1－P(A＋B)＝1－＝．所以事件A，B都不发生的概率是．
答案：
6．小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚．现从这4枚邮票中随机抽取2枚，恰好有一张是“冰墩墩”(图案为大熊猫)的概率为________．
解析：设冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚分别记为A(为“冰墩墩”)，B，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚分别记为a，b，从这4枚邮票中随机抽取2枚的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(a，b)}，共6个样本点，其中恰好有一张是“冰墩墩”的样本点有(A，B)，(A，a)，(A，b)，共3个，故所求概率为＝．
答案：
7．(2022·天津一模)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为________；以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率为________．
解析：将一颗骰子先后抛掷2次，共有62＝36个样本点，记事件A：两次向上的点数中至少有一个奇数，则事件所包含的样本点有：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个，所以，P(A)＝1－P()＝1－＝；记事件B：点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部，则事件B所包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，故P(B)＝＝．
答案：　
8．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层随机抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表(单位：小时)：
A班 6 6．5 7 7．5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4．5 6 7．5 9 10．5 12 13．5
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
解：(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C班抽8个，故抽样比k＝＝，故C班有学生8÷＝40(人)．
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40(种)情况，而且这些情况是等可能的．
当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6．5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7．5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P＝＝．
B级——综合应用
9．《三十六计》是中华民族非物质文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书．三十六计中，每六计为一套，共分为胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　从36个计策中任取2个计策的样本空间中包含的样本点总数为C＝630，所选2个计策都来自同一套包含的样本点个数为6C＝90，则这2个计策都来自同一套的概率为P＝＝．故选C．
10．(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(　　)
A．P(B)＝ B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)
解析：ABC　由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝，P(A)＝，P(C)＝，则P(A∪B)＝，故A、B、C正确；故D错误．故选A、B、C．
11．(2022·福州模拟)已知方程＋＝1表示的曲线为C，任取a，b∈{1,2,3,4,5}，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于________．
解析：所有可能的(a，b)的组数为5×5＝25，又因为焦距2c＝2，所以c＝1，所以a－b＝±1，则满足条件的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共8组，所以概率为P＝．
答案：
12．厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替之势，为了备战2023年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为________．
解析：从9名协会会员中随机挑选3人参赛，所包含的总的样本点共有C＝84个；若A，B，C，D这4人中只参加一人，则需从剩下的5名会员中再选2人，所以对应的样本点有CC＝40个；若A，B，C，D这4人中参加两人，则需从剩下的5名会员中再选1人，所以对应的样本点有CCC＝20个；因此事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为P＝＝．
答案：
13．有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等．
(1)在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；
(2)比赛进入决胜局，两队得分均为25分．在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率．
解：(1)用A表示事件“一回合中，甲队赢球”，则三个回合中，所有可能结果是：AAA，AA，AA，AA，A，
A，A，，共8个，其中只有AA，A，AA三个结果，甲队得1分．
设“在连续三个回合中，第一回合由甲队发球．甲队得1分”为事件B，则P(B)＝，
所以，甲队得1分的概率为．
(2)打完四回合的所有可能结果是：AAA，AAA，AA，AA，AA，AA，AA，A，A，A，共10个，其中只有AAA，AAA两个结果，甲队在第四回合比乙队多2分，甲获胜．设“甲队在第四回合获比赛胜利”为事件C，则P(C)＝＝．
所以，甲队在第四回合获得比赛胜利的概率为．

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