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第五节　离散型随机变量及其分布列
(1)通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列；(2)通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．　
重点一　离散型随机变量的分布列
1．对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量．
2．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列．
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示．且具有如下性质：
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
[逐点清]
1．(多选)下列结论正确的有(　　)
A．离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象
B．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1
C．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y必是离散型随机变量
D．随机变量的各个可能取值之间彼此互斥
答案：ACD
重点二　两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中0[逐点清]
2．(选择性必修第三册59页例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝(　　)
A．0　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：B　设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p．依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝，故P(ξ＝0)＝1－p＝．
重点三　超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
[注意]　超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数．主要特征为：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
[逐点清]
3．(选择性必修第三册79页例6改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析：由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝＝．
答案：
离散型随机变量分布列的性质
1．(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0．1 0．2 0．4 0．2 a
则下列计算结果正确的有(　　)
A．a＝0．1　　　　　 B．P(X≥2)＝0．7
C．P(X≥3)＝0．4 D．P(X≤1)＝0．3
解析：ABD　因为0．1＋0．2＋0．4＋0．2＋a＝1，解得a＝0．1，故A正确；由分布列知P(X≥2)＝0．4＋0．2＋0．1＝0．7，P(X≥3)＝0．2＋0．1＝0．3，P(X≤1)＝0．1＋0．2＝0．3，故B、D正确，C错误，故选A、B、D．
2．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P＝________．
解析：由×a＝1，知a＝1，得a＝．故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝．
答案：
1．随机变量的取值与随机试验的结果之间的关系
明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
2．离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．　
求离散型随机变量分布列
　某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球，规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
(1)求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；
(2)记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列．
[解]　(1)由题意可得，第一次模到的是红、黄、白球中的一个，概率为，
不放回的第二次摸球，是从剩余的3个球中摸出黑色的球，概率为，
所以1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为×＝．
(2)顾客摸奖一次获得的奖金数额设为Y，
Y的可能取值0,10,20,30,40，
则P(Y＝0)＝，P(Y＝10)＝＝，
P(Y＝20)＝＋＝，P(Y＝30)＝＝，
P(Y＝40)＝＝．
所以1名顾客5次摸奖获得奖金数额X＝5Y的分布列为
Y 0 10 20 30 40
X＝5Y 0 50 100 150 200
P
离散型随机变量分布列的求解步骤
　为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成如图所示的频率分布直方图：
(1)分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；
(2)从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列．
解：(1)由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0,20]内的人数有0．005 0×20×20＝2(人)，得分落在组(20,40]内的人数有0．007 5×20×20＝3(人)．
因此，所抽取的20人中得分落在组[0,20]内的人数有2人，得分落在组(20,40]内的人数有3人．
(2)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
超几何分布
　在某市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：
空气质量指数 优 良好 轻度污染 中度污染 重度污染
天数 5 a 8 4 b
空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级．若按等级用分层随机抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天．
(1)求a，b的值；
(2)若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年(按366天计算)中大约有多少天的空气质量指数为优？
(3)若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X，求X的分布列．
[解]　(1)由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的，所以5＋a＝15,8＋4＋b＝15，解得a＝10，b＝3．
(2)依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为P＝＝，
则一年中空气质量指数为优的天数约为366×＝61．
(3)由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆；
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．　
　在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝＝．
(2)由题意知X可能的取值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝．
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝15，M＝7，n＝10　　 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
解析：A　根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，故选A．
2．设随机变量ξ的概率分布列如下表，则P(|ξ－3|＝1)＝(　　)
ξ 1 2 3 4
P a
A．　 　　 B．
C．　　　 D．
解析：A　∵＋a＋＋＝1，∴a＝，由|ξ－3|＝1，解得ξ＝2或ξ＝4，∴P(|ξ－3|＝1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝4)＝＋＝，故选A．
3．有6件产品，其中4件是次品，从中任取2件．若随机变量X表示取得正品的件数，则P(X>0)等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＋＝．故选A．
4．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　因为X的分布列服从两点分布，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，因为P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，所以P(X＝0)＝3－4[1－P(X＝0)]，所以P(X＝0)＝，所以a＝．故选C．
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．设随机变量X等可能取1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0．3，则n＝10
B．若随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝n)＝an(n＝0,1,2)，其中a是常数，则a＝
C．设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η＝1)＝2P(η＝0)，则P(η＝0)＝
D．超几何分布的实质是古典概型问题
解析：ACD　由题意知，对于A，P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0．3，∴n＝10，故A正确；对于B，由P(ξ＝n)＝an(n＝0,1,2)，∴P(ξ＝0)＝a，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，∴a＋＋＝1，∴a＝，故B错误；对于C，∵P(η＝1)＝2P(η＝0)且P(η＝1)＋P(η＝0)＝1，∴P(η＝0)＝，故C正确；对于D，由超几何分布的定义可知，D正确．
6．(多选)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　)
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
解析：BD　一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，即总得分最大的概率为P＝＝，故D正确．故选B、D．
7．(2022·深圳模拟)已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P
若P(X2A．4≤x≤9 B．4C．4≤x<9 D．4解析：B　由随机变量X的分布列知，X2的可能取值为0,1,4,9，P(X2＝0)＝P(X＝0)＝，P(X2＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝＋＝，P(X2＝4)＝P(X＝－2)＋P(X＝2)＝＋＝，P(X2＝9)＝P(X＝3)＝，所以P(X2≤4)＝，因为P(X28．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝，又即得－≤d≤．
答案：
9．一批产品共50件，有5件次品，其余均为合格品．从这批产品中任意抽取2件，出现次品的概率为________．
解析：设抽取的2件产品中次品的件数为X，则P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．所以P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．
答案：
10．(2022·南通期中)在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张．
(1)求该顾客中奖的概率；
(2)求该顾客获得的奖品总价值X(单位：元)的分布列．
解：(1)记顾客中奖为事件A，则P(A)＝＝＝，即该顾客中奖的概率为．
(2)X所有可能的取值为(单位：元)0,10,20,50,60，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，P(X＝60)＝＝，
故X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
B级——综合应用
11．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由题意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又由函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，即对于方程x2＋2x＋ξ＝0只有一个根，可得Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝．故选B．
12．(2022·青岛质检)已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B．20%
C．30% D．40%
解析：B　设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，解得x＝2或8．因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为×100%＝20%．
13．(多选)某学校举行文艺比赛，比赛现场有5名专家教师评委给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分由专家教师评分和观看学生评分确定．某选手参与比赛后，现场专家教师评分情况如下表．观看学生全部参与评分，所有评分均在7～10之间，将评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10]分组，绘成频率分布直方图如图，则下列说法正确的是(　　)
现场专家教师评分表
专家教师 A B C D E
评分 9．6 9．5 9．6 8．9 9．7
A．a＝0．3
B．用频率估计概率，估计观看学生评分不小于9分的概率为
C．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则P(X＝2)＝
D．从5名专家教师中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则P(X＝3)＝
解析：ABD　由频率分布直方图知，0．2×1＋a×1＋0．5×1＝1，得a＝0．3，所以选项A正确；由频率分布直方图知，观看学生评分不小于9分的频率为0．5×1＝，所以估计观看学生评分不小于9分的概率为，所以选项B正确；X的可能取值为2,3，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以选项C错误，选项D正确．故选A、B、D．
14．(2021·浙江高考节选)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________．
解析：由题意可得，P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2．所以m－n＝1．
答案：1
15．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|．
(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
(2)求随机变量X的分布列．
解：(1)由题意知，x，y可能的取值为1,2,3，
则|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3．且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，X＝3，因此，随机变量X的最大值为3．
有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，
所以P(X＝3)＝．
故随机变量X的最大值为3，事件“X取得最大值”的概率为．
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3．
当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况；
当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况；
当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况；
当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．
所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝．所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P

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