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第一节　计数原理
(1)通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义；(2)通过实例，理解排列、组合的概念；(3)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．　
重点一　两个计数原理
1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
[注意]　 1 每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事； 2 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．
2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
[注意]　 1 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事； 2 各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏，但有时可以调换各步的顺序．
[逐点清]
1．(选择性必修第三册8页例7改编)如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有(　　)
A．9种　　　　　　　 B．11种
C．13种 D．15种
解析：C　按焊接点脱落的个数分成4类：脱落1个，有1,4，共2种；脱落2个，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种；脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4种；脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种，由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13种．故选C．
2．(选择性必修第三册11页习题6题改编)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(　　)
A．12 B．8
C．6 D．4
解析：C　分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6，故选C．
重点二　排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
[逐点清]
3．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列
B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同
C．若组合式C＝C，则x＝m成立
D．排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了
答案：BD
重点三　排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
[注意]　正确理解组合数的性质
1 C＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数； 2 C＋C＝C：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法．
[逐点清]
4．(多选)(选择性必修第三册20页练习1题改编)下列等式正确的是(　　)
A．(n＋1)A＝A B．＝(n－2)!
C．C＝ D．A＝A
解析：ABD　(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝＝A，故A正确；
＝＝(n－2)！，故B正确；
C＝≠，故C错误；
A＝·＝＝A，故D正确．故选A、B、D．
5．(选择性必修第三册27页习题12题改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________．
解析：末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48．
答案：48
6．(选择性必修第三册26页习题5题改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
解析：分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．
答案：30
两个计数原理
考向1　与数字有关的问题
　用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
[解析]　①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960．②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120．故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
[答案]　1 080
考向2　涂色(种植)问题
　如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法有(　　)
A．360 种　 B．720 种　 　
C．780 种　 D．840 种
[解析]　首先从6种不同颜色的涂料中选出4种分别涂2和9、3和6、4和7、5和8八个区域，共有A种涂法，然后根据条件可知只需从余下的两种不同颜色的涂料中选一种涂区域1即可，有2种涂法，所以满足要求的涂法有2×A＝720(种)．故选B．
[答案]　B
考向3　几何图形问题
　如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)
A．60 B．48
C．36 D．24
[解析]　长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48．
[答案]　B
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么；
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；
(3)弄清分步、分类的标准是什么；
(4)利用两个计数原理求解．　
1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)
A．14 B．13
C．12 D．10
解析：B　方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论．①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解．此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对．②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1．显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)．a≠0时，(a，b)共有3×4＝12(个)实数对，故a≠0时满足条件的实数对有12－3＝9(个)，所以答案应为4＋9＝13．
2．现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　)
A．120 B．140
C．240 D．260
解析：D　法一(分步法)：由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)．
法二(分类法)：第一类：涂四种不同颜色有A＝120(种)涂法；第二类：涂三种不同颜色有2A＝2×60＝120(种)涂法；第三类：涂两种不同颜色有A＝20(种)涂法，综上可知不同涂色方法有120＋120＋20＝260(种)．故选D．
排列与组合
考向1　相邻问题与相间问题
　北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(　　)
A．12种 B．24种
C．48种 D．96种
[解析]　从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B,2位女性领导人分别记作甲、乙；则女性领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素产生的四个位置选一个插入乙，故共有12×4＝48(种)不同排法．
[答案]　C
解定序排列问题的方法
定序问题，消序处理，即先不考虑限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列．
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种数＝A．　
某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120
C．144 D．168
解析：B　安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．
考向2　特殊元素(位置)问题
　某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
[解析]　根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B．
[答案]　B
“特殊”优先原则
常见的“在”与“不在”有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先．一般从以下三种思路考虑：
(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；
(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；
(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．　
　(2022·重庆模拟)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法(用数字作答)．
解析：法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CCA＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CA＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．
法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．
答案：660
考向3　分组、分配问题
　(1)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有(　　)
A．2种 B．3种
C．6种 D．8种
(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
[解析]　(1)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有CA＝6．故选C．
(2)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60(种)取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6(种)分法，故共有60×6＝360(种)不同的分法．
[答案]　(1)C　(2)360
1．对不同元素分组、分配问题的求解策略
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．这类问题有平均分组无序和平均分组有序两种情形；
(2)对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；　
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题也有不平均分组无序和不平均分组有序两种情形．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．　
1．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．(用数学作答)
解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种)．
答案：36
2．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)
解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有两类．第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本．不同的分法共有＝20(种)．第二类，采用“2,2,1,1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有·＝45(种)，所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，共有A种分法，所以不同的分法共有65×A＝1 560(种)．
答案：1 560
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．(2022·东莞一模)有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　)
A．21种　　　　　　　　 B．315种
C．143种 D．153种
解析：C　选出不属于同一学科的书2本，可分三类：一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63(种)；第二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45(种)；第三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35(种)，因此共有63＋45＋35＝143(种)不同选法．
2．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(　　)
A．56 B．54
C．53 D．52
解析：D　在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值，但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重复了4个数值，要减去4，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．
3 4
3．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(　　)
A．6种 B．12种
C．18种 D．24种
1 2 D
3 4 A
C B 9
解析：A　根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A或B处，若8放在B处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A处，也有3种方法，所以共有6种方法．
4．4人站成一排，重新站队时，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(　　)
A．4种 B．8种
C．12种 D．24种
解析：B　将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8(种)站法．
5．(2022·绵阳模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(　　)
A．48 B．72
C．90 D．96
解析：D　由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有CA＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．
6．(多选)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有(　　)
A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法
解析：ABC　对于A：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，A正确；对于B：分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法，B正确；对于C：分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，C正确；对于D：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数N＝3×2＝6．D错误，故选A、B、C．
7．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________．
解析：将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．
答案：24
8．如图所示的几何体是由一个三棱锥P ABC与三棱柱ABC A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
解析：先涂三棱锥P ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C×C×C×C＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．
答案：12
9．(2022·海南调研)某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
解析：甲、乙中裁一人的方案有CC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员方案共有CC＋C＝182(种)．
答案：182
10．(2022·烟台模拟)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，可知共有3×2＝6(个)偶函数．
答案：18　6
B级——综合应用
11．某校毕业典礼上有6个节目，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解析：A　记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类：①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．
12．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________．
解析：法一：先从这8个点中任取3个点，最多构成C个三角形，再减去三点共线的情形即可．共有C－C－C＝42(个)．
法二：分三类，用分类加法计数原理解得CC＋CC＋CC＝18＋12＋12＝42(个)．
答案：42
13．(2022·武汉模拟)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．
解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300．
答案：300

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