资源简介

[真题展示]
(2022·八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)
A．60　　　　　　　 B．80
C．84 D．120
[试题分析]　此问题的条件简洁明了，是在二项展开式中相关项的系数问题基础上进一步提升与拓展．破解此类问题的一般思维角度：(1)二项式定理思维角度；(2)数列思维角度；(3)导数思维角度等，掌握基本的数学思想与数学方法，形成数学知识体系与数学思维能力，不断提升数学品质，培养数学核心素养．
[考题溯源]
(选择性必修第三册34页习题1(1)题)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74 B．121
C．－74 D．－121
[解法探究]
[探究一：运用二项式定理思维]
[解析]　(“硬算”法)由于(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是C＋C＋C＋…＋C，所以C＋C＋C＋…＋C＝1＋＋＋…＋＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＝120．
[答案]　D
[点评]　利用“硬算”法破解本题是很多考生在考场中经常采用的一种基本方法，关系式的规律或性质公式不能准确应用，而数又不太大，运算量不是太繁杂，“硬算”也是一种不错的应对措施．
[探究二：运用数列思维]
[解析]　(等比数列转化法)结合等比数列的求和公式，可得(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝(1＋x)2·＝，则展开式中x2的系数是(1＋x)10展开式中x3的系数C＝＝120．
[答案]　D
[点评]　利用等比数列转化法破解本题的关键是巧妙借助二项式中各项的通项公式规律，结合等比数列的定义及求和公式进行求和处理，再结合和式的特征，通过确定相关二项展开式的系数来达到转化的目的．
[探究三：运用导数思维]
[解析]　(求导法)设二项式(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a9x9，以上等式两边同时取导数，可得2(1＋x)＋3(1＋x)2＋…＋9(1＋x)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋9a9x8，以上等式两边再次同时取导数，可得2＋3×2(1＋x)＋…＋9×8(1＋x)7＝2a2＋3×2a3x＋…＋9×8a9x7，令x＝0，可得2＋3×2＋…＋9×8＝2a2，即a2＝×(2×1＋3×2＋4×3＋5×4＋6×5＋7×6＋8×7＋9×8)＝120．
[答案]　D
[点评]　利用求导法破解本题的关键是设出二项展开式，把确定展开式中x2的系数问题转化确定a2的值问题，利用等式两边同时取导数处理，两次求导解决，再用特殊值赋值处理，进而得以确定a2的值．
[高考还可这样考]
　在5的展开式中，x2项的系数为(　　)
A．－50 B．－30
C．30 D．50
解析：C　5表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选x，其余的3个因式都选1，相乘可得含x2的项；或者有3个因式选x，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含x2的项，故x2项的系数为C＋C·C＝30，故选C．

展开更多......

收起↑