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考点六十 极坐标与参数方程
知识梳理
1．极坐标系
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
2. 直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
，.
3．直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；
(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过M(b，)且平行于极轴：ρsin θ＝b．
4．圆的极坐标方程
(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.
(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.
(3)圆心在点处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.
5．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
6．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称 普通方程 参数方程
直线 y－y0＝k(x－x0) (t为参数)
圆 (x－x0)2＋(y－y0)2＝R2 (θ为参数且0≤θ≤2π)
椭圆 ＋＝1(a>b>0) (t为参数且0≤t≤2π)
抛物线 y2＝2px(p>0) (t为参数)
双曲线 －＝1(a＞0，b＞0) (θ为参数)
典例剖析
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1　（2015湖南文）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．
答案　x2＋y2－2y＝0
解析　将极坐标方程ρ＝2sin θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ，∴x2＋y2＝2y，故曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
变式训练 （2015江苏）(本小题满分10分)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
解析　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
解题要点 极坐标与直角坐标互化的注意点：
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．
题型二 极坐标方程的应用
例2　（2015新课标Ⅰ文）在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程．
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解析　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
所以△C2MN的面积为.
变式训练 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为、，求△AOB(其中O为极点)的面积．
解析 由题意知A，B的极坐标分别为、，则△AOB的面积S△AOB＝
OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3.
解题要点 1.弄清极坐标方程中的ρ和 θ的几何意义，利用数形结合思想解题
2.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
题型三 参数方程的应用
例3　(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解析　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
变式训练 已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
解析 (1)曲线C的标准方程：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
直线l的参数方程：(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的标准方程可得t2＋(2＋3)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
解题要点 1.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
2．根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.
(1)弦长l＝|t1－t2|；
(2)弦M1M2的中点 t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
题型四 极坐标、参数方程的综合应用
例4　（2015新课标Ⅱ文）(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解析　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－
2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
变式训练 （2015湖南理）已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解析　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②
(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
解题要点 1. 化归思想的运用，即涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，体现了．
2. 数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
当堂练习
1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________．
答案 ρcos θ＝1
解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，其极坐标方程为
ρcos θ＝1.
2．直线(t为参数)的倾斜角为________．
答案　20°
解析　将直线参数方程化为标准形式：
(t为参数)，则倾斜角为20°.
3. 极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________．
答案 一个圆和一条射线
解析 原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线.
4．（2015广东理）已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．
答案　
解析　依题已知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，-2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.
5．（2015湖北理）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　2
解析　直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立解得或所以点A，B.
所以|AB|＝ ＝2.
课后作业
填空题
1．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为________．
答案　(x－)2＋y2＝
解析　由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.
2．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线的方程是________．
答案 ρsinθ＝1
解析 点P的直角坐标为(，1)，∵所求直线平行于极轴，∴所求直线的斜率k＝0.所求直线的普通方程为y＝1，化为极坐标方程为ρsinθ＝1.
3．参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cosθ所表示的图形分别是________．
答案　椭圆和圆
解析　参数方程(θ为参数)的普通方程为＋y2＝1，表示椭圆．极坐标方程ρ＝－6cosθ的直角坐标方程为(x＋3)2＋y2＝9，表示圆．
4．在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为________．
答案　(2，)
解析　ρ(cosθ－sinθ)＝2可化为直角坐标方程x－y＝2，即y＝x－2.
ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为(2，).
5．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．
答案 θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2
解析 由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2．
6．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________．
答案 (1，－)
解析 由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－)．
7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
答案
解析 由得y＝(x－2)2，θ＝化为直角坐标方程为y＝x(x≥0)，由得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，∴中点坐标为.
8．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为________．
答案　2
解析　由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝，故弦长＝2＝2.
9．（2015北京理）在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．
答案　1
解析　在平面直角坐标系下，点化为(1，)，
直线方程为：x＋y＝6，∴点(1，)到直线的距离为d＝＝＝1.
10．（2015重庆理）已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．
答案　(2，π)
解析　直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2,0)，其极坐标为(2，π)．
11．（2015广东文）(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．
答案　(2，－4)
解析　∵曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，∴曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2.曲线C2的参数方程为(t为参数)，则其直角坐标方程为y2＝8x，联立解得x＝2，y＝－4，即C1，C2的交点坐标为(2，－4)．
二、解答题
12．（2015福建理）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．
①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
解析 ①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
由ρsin＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0.
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
②依题意，圆心C到直线l的距离等于2，
即＝2，
解得m＝－3±2.
13．（2015陕西文）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解析 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.
(2)设P，又C(0，)，
则|PC|＝ ＝，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，
此时，P点的直角坐标为(3,0)．

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