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7.1.2　复数的几何意义
学习目标　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
知识点一　复平面
思考　有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
答案　不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
知识点二　复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
知识点三　复数的模
1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝.
知识点四　共轭复数
1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
1.复平面内的点与复数是一一对应的.(　√　)
2.复数的模一定是正实数.(　×　)
3.若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　×　)
4.两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.(　√　)
一、复数与复平面内的点的关系
例1　已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上；
(2)在第三象限.
解　(1)若z对应的点Z在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝.
(2)若z对应的点Z在第三象限，则有
解得－1故a的取值范围是.
反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据.
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练1　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
解　若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
则所以m＝1，所以z＝－2.
二、复数与复平面内的向量的关系
例2　(1)已知M(1,3)，N(4，－1)，P(0,2)，Q(－4,0)，O为复平面的原点，试写出，，，所表示的复数；
(2)已知复数1，－1＋2i，－3i,6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；
(3)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解　(1)表示的复数为1＋3i；
表示的复数为4－i；
表示的复数为2i；
表示的复数为－4.
(2)设复数1对应的向量为，其中A(1,0)；
复数－1＋2i对应的向量为，其中B(－1,2)；
复数－3i对应的向量为，其中C(0，－3)；
复数6－7i对应的向量为，其中D(6，－7).
如图所示.
(3)记O为复平面的原点，由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3).
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5).
由题意知，＝，
所以即
故点D对应的复数为－3－2i.
反思感悟　复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
跟踪训练2　已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)
A.－5＋5i B.5－5i
C.5＋5i D.－5－5i
答案　B
解析　向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2).
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
三、复数的模及其应用
例3　(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于(　　)
A.1 B. C. D.2
答案　B
解析　因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，
所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝.
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴z＝－15＋8i.
反思感悟　复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
跟踪训练3　(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是(　　)
A.z1>z2 B.z1C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|
答案　D
解析　|z1|＝|5＋3i|＝＝，|z2|＝|5＋4i|＝＝.
因为<，所以|z1|<|z2|.
(2)已知0A.(1，) B.(1，)
C.(1,3) D.(1,10)
答案　A
解析　0则|z|＝∈(1，).
复数模的几何意义
典例　设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|<3；(2)|z|＝2.
解　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|z|＝.
由题意知<3，
x2＋y2<9.
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.
(2)根据模的几何意义，|z|＝2表示复数z对应的点到原点的距离为2.
所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.
[素养提升]　复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养.
1.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
2.(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　AC
解析　依题意可得＝2，
解得m＝1或3.
3.已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－1,2) B.(－2,1)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)
答案　B
解析　∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴m－1<0，m＋2>0，解得－2则实数m的取值范围是(－2,1).
4.设复数z＝i，则z的共轭复数为______.
答案　－i
1.知识清单：
(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.
(2)复数的模及几何意义.
(3)共轭复数.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合.
3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小；|z－(a＋bi)|表示复平面内的点到点(a，b)的距离.
1.已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则等于(　　)
A. B. C. D.5
答案　C
解析　依题意|z1|＝＝，|z2|＝＝1，所以＝.
2.向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
答案　C
解析　由复数的几何意义，
可得＝(5，－4)，＝(－5,4)，
所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
所以＋对应的复数为0.
3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A.4＋8i B.8＋2i
C.2＋4i D.4＋i
答案　C
解析　因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，
所以A(6,5)，B(－2,3)，
又C为线段AB的中点，
所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.
4.已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A.－1＋i B.1＋i
C.－1＋i或1＋i D.－2＋i
答案　A
解析　因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知， ＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
5.(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中错误的是(　　)
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z一定不是纯虚数
C.z在复平面内对应的点在实轴上方
D.z一定是实数
答案　ABD
解析　2m2＋2m－1＝22－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方.
6.复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数x的取值范围是________.
答案　(3，＋∞)
解析　∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x>3.
7.若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.
答案　3
解析　复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，
所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，
所以|z|＝3.
8.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________.
答案　－6－8i
解析　因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，
所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，
又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，
所以向量表示的复数是－6－8i.
9.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
解　(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，
则点B的坐标为(x1，y1)，
由题意可知，点A的坐标为(2,1).
根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，
故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)，
由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，
故z2＝－2－i.
10.设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积.
解　|w|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|w|≤2.所以w对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－()2]＝2π.
11.已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得即a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的点为(－1,1)，位于第二象限.
12.在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)
A.2 B.－2i
C.－3i D.3＋i
答案　B
解析　复数对应的点为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i.
13.设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，cos B－tan A＝cos B－0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.
14.若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________.
答案　5
解析　由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
15.已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是(　　)
A.一个圆 B.两个圆
C.两点 D.线段
答案　B
解析　由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，
所以|z|＝1或|z|＝2.
由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆.
16.已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R).若与共线，求a的值.
解　因为对应的复数为－3＋4i，
对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1).
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.

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