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7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
学习目标　1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
知识点一　复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
知识点二　复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应.
思考　类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
答案　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
1.两个虚数的和或差可能是实数.(　√　)
2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.(　√　)
3.复数与复数相加减后结果只能是实数.(　×　)
4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.(　×　)
一、复数代数形式的加、减运算
例1　(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解　(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
反思感悟　解决复数加减运算的思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).
跟踪训练1　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限.
二、复数加减法的几何意义
例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)表示的复数；
(2)对角线表示的复数；
(3)对角线表示的复数.
解　(1)因为＝－，
所以表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，
所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
反思感悟　复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
跟踪训练2　已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求：
(1)对应的复数；
(2)对应的复数.
解　(1)因为ABCD是平行四边形，
所以＝＋，于是＝－，
而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)因为＝－，
而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5.
三、复数模的综合问题
例3　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A.1 B. C.2 D.
答案　A
解析　设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以Z点在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.
反思感悟　|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
跟踪训练3　△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
答案　A
解析　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心.
1.复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A.－1＋i B.1－i
C.i D.－i
答案　A
解析　原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
3.若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A.－2 B.4 C.3 D.－4
答案　B
解析　∵z＋(3－4i)＝1，
∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案　－1
解析　∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
5.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________.
答案　5－2i
解析　设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.
1.知识清单：
(1)复数代数形式的加减运算法则.
(2)复数加减法的几何意义.
(3)复平面上两点间的距离公式.
2.方法归纳：类比、数形结合.
3.常见误区：忽视模的几何意义.
1.已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为(　　)
A.－4＋20i B.－2＋10i
C.－8＋20i D.－2＋20i
答案　B
解析　z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.
2.复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围是(　　)
A.m< B.m<1
C.1
答案　B
解析　∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i，
∴m－1<0，∴m<1.
3.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.－1
答案　D
解析　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i
＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
4.如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是(　　)
A. B.i
C.＋i D.＋2i
答案　C
解析　设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，
则|a＋bi|＝.
由题意知a＋bi＋＝5＋i，
即a＋＋bi＝5＋i，
∴解得a＝，b＝.
∴所求复数为＋i.
5.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)
A. B.5 C.2 D.10
答案　B
解析　依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，
因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
6.已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝________.
答案　4－3i
解析　z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.
7.已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________.
答案　±2－2i
解析　因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，
由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±2，
所以z＝±2－2i.
8.设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.
答案　＋i
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝.
∴x＋yi＋＝2＋i.
∴解得
∴z＝＋i.
9.计算：(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).
解　(1)原式＝－i＝－i；
(2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i；
(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i；
(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
10.在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离.
解　因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，所以＝(－3，－1)，＝(5,1)，
所以＋＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，
所以向量＋对应的复数是2，
又＝－＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，
所以对应的复数是－8－2i，
A，B两点之间的距离||＝|－8－2i|＝＝2.
11.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是(　　)
A.1－3i B.－3－i
C.3＋5i D.5＋3i
答案　C
解析　∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，
∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，
∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴　解得
∴点D表示的复数为3＋5i.
12.复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A.3－2 B.－1
C.3＋2 D.＋1
答案　D
解析　|z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝
＝
＝.
∵max＝1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1.
13.A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB为________.
答案　直角三角形
解析　由复数的加、减法的几何意义可知，
当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，∠AOB＝90°.
14.在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________.
答案　4－4i
解析　因为，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，＝－＝－(＋)＝3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.
15.若复数z满足z－1＝cos θ＋isin θ，则|z|的最小值为______，|z|的最大值为______.
答案　0 2
解析　∵|z－1|＝1，
∴复数z对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，1为半径的圆，
∴|z|的最小值为0，最大值为2.
16.已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i.
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的面积.
解　(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，∴向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1).
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝＝.
∴sin B＝.
∵S ABCD＝||||sin B＝××＝7，
故平行四边形ABCD的面积为7.

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