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7.2.2　复数的乘、除运算
学习目标　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
知识点一　复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
思考　|z|2＝z2，正确吗？
答案　不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
知识点二　复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则＝＝＋i(c＋di≠0).
1.(1＋i)(2＋i)＝________.
答案　1＋3i
解析　依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
2.i是虚数单位，复数＝________.
答案　2－i
解析　＝＝＝2－i.
3.复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第________象限.
答案　四
解析　因为z＝i(－2－i)＝1－2i，
所以复数z对应的点在第四象限.
4.已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
答案　
解析　|z|＝＝＝|i＋2|＝.
一、复数代数形式的乘法运算
例1　计算下列各题.
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
反思感悟　(1)两个复数代数形式乘法的一般方法
①首先按多项式的乘法展开.
②再将i2换成－1.
③然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1　(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　)
A.2－13i B.13＋2i
C.13－13i D.－13－2i
答案　D
解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
答案　B
解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，
所以解得a<－1.
二、复数代数形式的除法运算
例2　(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，
对应的点在第二象限.
(2)计算：＋－.
解　原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i.
反思感悟　(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式.
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数.
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
(2)常用公式
①＝－i；
②＝i；
③＝－i.
跟踪训练2　(1)设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)
A.1 B. C. D.2
答案　A
解析　由＝i得1＋z＝i(1－z)，
即z＝＝＝＝i，|z|＝1.
(2)计算：①；②.
解　①＝＝＝1－i.
②＝＝＝－1－3i.
三、在复数范围内解方程
例3　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
解　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，
所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，
即x＝－3±i.
反思感悟　当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数.
跟踪训练3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根.
解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1
答案　D
解析　∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，
∴a＝1，b＝－1.
2.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)
A.6－4i B.－6－4i
C.6＋4i D.－6＋4i
答案　D
解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
3.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i
＝－＋i，对应点在第二象限.
4.(1＋i)2－＝________.
答案　－＋i
解析　(1＋i)2－＝2i－
＝－＋i.
5.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝________.
答案　±i
1.知识清单：
(1)复数的乘法及运算律.
(2)复数的除法运算.
(3)复数的综合运算.
(4)在复数范围内解方程.
2.方法归纳：分母实数化；配方法解方程；求根公式法.
3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
1.复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，
故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限.
2.若z(1＋i)＝2i，则z等于(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
答案　D
解析　z＝＝＝1＋i.
3.设z＝，则|z|等于(　　)
A.2 B. C. D.1
答案　C
解析　z＝＝＝－i，
所以|z|＝.
4.(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)
A.－1 024 B.1 024 C.0 D.512
答案　C
解析　∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，
又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，
∴(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0.
5.若z＋＝6，z·＝10，则z等于(　　)
A.1±3i B.3±i
C.3＋i D.3－i
答案　B
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由题意得解得或
∴z＝3±i.
6.设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.
答案　－3
解析　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)
＝1＋(i)2＋2i－2－2i＝－3.
7.复数(i为虚数单位)的实部等于________.
答案　－3
解析　由题意可得＝－3－i，－3－i的实部为－3.
8.已知关于x的方程ax2＋x＋c＝0(a，c∈R)的一个根是2＋3i，则a－c＝________.
答案　3
解析　由题意，得a(2＋3i)2＋(2＋3i)＋c＝0，
即－5a＋2＋c＋(12a＋3)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
解得所以a－c＝3.
9.计算：
(1)；
(2)；
(3)6＋.
解　(1)＝＝－1－3i.
(2)＝
＝＝＝＋i.
(3)6＋＝6＋
＝i6＋i＝－1＋i.
10.已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值.
解　(1)z＝＝
＝
＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
11.若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上(　　)
A.y＝2x B.y＝
C.y＝|x| D.y＝－2x2－1
答案　D
解析　因为＝＝－＋i，
所以a＝－，b＝，所以A，
把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.
12.已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·等于(　　)
A.1 B.－1 C. D.－
答案　A
解析　依题意，得z＝＝i，
所以＝－i，所以z·＝i·(－i)＝1.
13.设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b＝________.
答案　
解析　因为z＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋
＝－2＋i＋＝－2＋i－－i
＝－＋i，
所以b＝.
14.定义一种运算：＝ad－bc.则复数
的共轭复数是________.
答案　－1－3i
解析　∵＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，
∴其共轭复数为－1－3i.
15.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)
A.a－5b＝0 B.3a－5b＝0
C.a＋5b＝0 D.3a＋5b＝0
答案　D
解析　因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
16.设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数.
(1)解　因为z是虚数，
所以可设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则ω＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i.
因为ω是实数，且y≠0，
所以y－＝0，即x2＋y2＝1.
所以|z|＝1，此时ω＝2x.
又－1<ω<2，所以－1<2x<2.
所以－即z的实部的取值范围是.
(2)证明　μ＝＝
＝
＝.
又x2＋y2＝1，所以μ＝－i.
因为y≠0，所以μ为纯虚数.

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