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第二节　用样本的数字特征估计总体
(1)结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义；(2)结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义；(3)结合实例，能用样本估计总体的取值规律；(4)结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．　
重点一　总体百分位数的估计
定义 意义
百分位数 一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点
[逐点清]
1．(必修第二册202页例2改编)为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10,8，a,8,7,9,6,8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数为(　　)
A．8　　　　　　　　　 B．9
C．8．5 D．9．5
解析：C　由题意可得＝8，解得a＝8，将这组数据从小到大的顺序排列为6,7,8,8,8,8,9,10，因为8×75%＝6，为整数，所以这组数据的第75百分位数为＝8．5，故选C．
重点二　总体集中趋势的估计
1．中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
2．众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
3．平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数 ＝(x1＋x2＋…＋xn)．
[逐点清]
2．(多选)已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如下表所示：
成绩 10 9 8 7
人数 1 4 3 2
则下列说法正确的有(　　)
A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7．4
B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数
C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数8．5
D．这10名男生引体向上测试成绩的第20百分位数为7．5
解析：CD　对于A,10名男生引体向上测试成绩的平均数为×(10＋4×9＋3×8＋2×7)＝8．4，所以A错误；对于B，这10名男生引体向上的测试成绩的众数为9，所以B错误；对于C，这10名男生引体向上测试成绩的中位数为＝8．5，所以C正确；对于D，这10名男生引体向上测试成绩的第20百分位数为＝7．5，所以D正确；故选C、D．
重点三　总体离散程度的估计
1．假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的：
(1)标准差
s＝ ；
(2)方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
2．分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2．
以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为s．则＝xi，s＝(xi－)2，＝i，s＝(yi－)2．
(1)则＝＋；
(2)s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}．
[逐点清]
3．(易错题)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10,11,9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
解析：由＝10，得x＋y＝20，即y－10＝10－x．由[(x－10)2＋(y－10)2＋2]＝2，得(x－10)2＋(y－10)2＝8，即2(x－10)2＝8，∴(x－10)2＝4，x－10＝±2．∴或∴|x－y|＝4．
答案：4
[记结论]
1．简单随机抽样样本平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a；
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2．
2．分层随机抽样样本均值、方差的计算公式的推广
如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，x，第j层的样本量为nj，样本均值为j，样本方差为s，j＝1,2，…，k．记n＝j，所有数据的样本均值和方差s2为：＝(njj)，s2＝njs＋nj(j－)2]．
[提速度]
1．已知一组数据的频率分布直方图如下．则众数是________，中位数是________，平均数是________．
解析：因为最高矩形横坐标的中点为65，所以众数为65；设中位数为60＋x，则0．030×10＋0．04x＝0．5，解得x＝5，所以中位数为65；平均数＝(55×0．030＋65×0．040＋75×0．015＋85×0．010＋95×0．005)×10＝67．
答案：65　65　67
2．(2022·本溪模拟)某学校有高中学生500人．其中男生320人，女生180人．为了获得全体高中生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32，女生样本量为18，通过计算得男生身高样本均值为173．5 cm，方差为17，女生身高样本均值为163．83 cm，方差为30．03，则所有数据的样本均值为________cm，方差为________．
解析：由题意得＝×173．5＋×163．83≈170．02(cm)，s2＝×{[32×17＋32×(173．5－170．02)2]＋[18×30．03＋18×(163．83－170．02)2]}≈43．24．
答案：170．02　43．24
总体百分位数的估计
　某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；
(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中女生的人数．
[解]　(1)由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0．02＋0．04)×10＝0．6，
从而样本中分数小于70的频率为1－0．6＝0．4，
又由频率分布直方图可得样本中分数小于80的频率为0．8，
所以样本数据的70%分位数必定位于[70,80)之间．
由70＋10×＝77．5．
所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77．5．
(2)由题知，样本中分数不小于70的学生人数为(0．02＋0．04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，
所以总体中女生人数为400×＝160(人)．
1．总体百分位数的估计需要注意的两个问题
(1)总体百分位数的估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
(2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值．
2．确定要求的p%分位数所在分组[A，B)，由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×．　
某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0．5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0．8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1．0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
解：(1)当0≤x≤200时，y＝0．5x；
当200当x>400时，y＝0．5×200＋0．8×200＋1．0×(x－400)＝x－140．
所以y关于x的函数解析式为
y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，若用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0．001 5，b＝0．002 0．
(3)设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0．001＋0．002＋0．003)×100×100%＝60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数m在[300,400)内，
所以0．6＋(m－300)×0．002＝0．75，
解得m＝375，即用电量的75%分位数为375．
总体集中趋势的估计
1．十名工人某天生产同一零件，生产的件数是：15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：B　从小到大排列此数据为：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17．平均数为×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14．7；数据17出现了三次，17为众数；第5位、第6位均是15，故15为中位数．所以这组数据的平均数是14．7，中位数是15，众数是17．
2．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则(　　)
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
解析：CD　设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C、D正确，故选C、D．
3．(多选)空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围为[0,50]，[51,100]，[101,200]，[201,300]，[301,500]，对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数变化趋势图，下列说法中正确的是(　　)
A．从2日到5日空气质量越来越好
B．这14天中空气质量指数的极差为195
C．这14天中空气质量指数的中位数是103．5
D．这14天中空气质量指数为“良”的频率为
解析：BC　从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故A不对；
这14天中空气质量指数的极差为220－25＝195，故B正确；
14天空气质量指数由小到大排列，中间为86,121，故中位数为＝103．5，故C正确；
14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，所以空气质量指数为“良”的频率为＝，故D不对．故选B、C．
1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．
2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．
3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．　
总体离散程度的估计
考向1　方差与标准差
　(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9．8 10．3 10．0 10．2 9．9 9．8 10．0 10．1 10．2 9．7
新设备 10．1 10．4 10．1 10．0 10．1 10．3 10．6 10．5 10．4 10．5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s和s．
(1)求，，s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高．
[解]　(1)由表格中的数据易得：
＝＋10．0＝10．0，
＝＋10．0＝10．3，
s＝×[(9．7－10．0)2＋2×(9．8－10．0)2＋(9．9－10．0)2＋2×(10．0－10．0)2＋(10．1－10．0)2＋2×(10．2－10．0)2＋(10．3－10．0)2]＝0．036，
s＝×[(10．0－10．3)2＋3×(10．1－10．3)2＋(10．3－10．3)2＋2×(10．4－10．3)2＋2×(10．5－10．3)2＋(10．6－10．3)2]＝0．04．
(2)由(1)中数据可得－＝10．3－10．0＝0．3，而2＝＝，显然有－＞2成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
利用样本的方差(标准差)解决优化决策问题的依据
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定；
(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．　
　(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0．01，则数据10x1,10x2，…，10xn的方差为(　　)
A．0．01 B．0．1
C．1 D．10
解析：C　∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0．01，∴样本数据10x1,10x2，…，10xn的方差为102×0．01＝1，故选C．
考向2　分层随机抽样的方差与标准差
　(2022·深圳高三月考)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
[解]　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45(岁)，
年龄的方差为s＝×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈39(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差为s2＝×[2＋(38－39)2]＋×[73＋(45－39)2]≈20．67．
计算分层随机抽样的方差的步骤
(1)确定1，2，s，s；
(2)确定；
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]，计算s2．　
　某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215．求在这次测试中全班学生的平均成绩和方差．
解：依题意A＝130，s＝115，B＝110，s＝215，
∴＝×130＋×110＝115(分)，
∴全班学生的平均成绩为115分．
全班学生成绩的方差为s2＝[s＋(A－)2]＋[s＋(B－)2]＝×(115＋225)＋×(215＋25)＝85＋180＝265．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．数据1,2,3,4,5,6的60%分位数为(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．3．5
C．3．6 D．4
解析：D　由6×60%＝3．6，所以数据1,2,3,4,5,6的60%分位数是第四个数，故选D．
2．若数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，则2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为(　　)
A．和s2 B．2＋3和4s2
C．2＋3和s2 D．2＋3和4s2＋12s＋9
解析：B　原数据乘以2加上3得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数和方差分别是2＋3和4s2．
3．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2019年1月至2020年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下折线图．
根据该折线图，下列结论正确的是(　　)
A．2019年各月的仓储指数最大值是在3月份
B．2020年1月至7月的仓储指数的中位数为55
C．2020年1月与4月的仓储指数的平均数为52
D．2019年1月至4月的仓储指数相对于2020年1月至4月，波动性更大
解析：D　2019年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A错误；由题图可知，2020年1月至7月的仓储指数的中位数约为53，所以B错误；2020年1月与4月的仓储指数的平均数约为＝53，所以C错误；由题图可知，2019年1月至4月的仓储指数比2020年1月至4月的仓储指数波动更大，故选D．
4．已知样本甲：x1，x2，x3，…，xn与样本乙：y1，y2，y3，…，yn，满足yi＝2x＋1(i＝1,2，…，n)，则下列叙述中一定正确的是(　　)
A．样本乙的极差等于样本甲的极差
B．样本乙的众数大于样本甲的众数
C．若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数
D．若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数
解析：C　∵yi＝2x＋1，∴yi关于xi单调递增，甲样本极差为xn－x1，乙样本极差为yn－y1＝2(x－x)＝2(xn－x1)(x＋xnx1＋x)，两个数据大小关系不定，∴样本乙的极差不一定等于样本甲的极差，A错误；样本乙的众数不一定大于样本甲的众数，B错误；若xi为样本甲的平均数，yi不一定是样本乙的平均数，D错误；若xi为样本甲的中位数时，则yi一定是样本乙的中位数，C正确．
5．已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x，样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜，则n，m(n，m∈N*)的大小关系为(　　)
A．n＝m B．n≥m
C．n＜m D．n＞m
解析：C　由题意得z＝(nx＋my)＝x＋y，∴a＝，∵0＜a＜，∴0＜＜，又n，m∈N*，∴2n＜n＋m，∴n＜m．故选C．
6．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列结论中，正确的是(　　)
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
C．甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
解析：ABC　甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，∴A正确；s＝191＞110＝s，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，∴C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，∴B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，∴D错误．
7．(多选)某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次．统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2,3,4,4，则第五轮结束后，下列数字特征有可能发生的是(　　)
A．平均数为3，极差是3
B．中位数是3，极差是3
C．平均数为3，方差是0．8
D．中位数是3，方差是0．56
解析：BCD　2＋3＋4＋4＝13，①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，所以极差为4－2＝2，方差为×[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0．8，即选项A错误，C正确；
②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，
当投中的个数为0时，极差为4，平均数为2．6，方差为×[(0－2．6)2＋(2－2．6)2＋(3－2．6)2＋(4－2．6)2×2]＝2．24；
当投中的个数为1时，极差为3，平均数为2．8，方差为×[(1－2．8)2＋(2－2．8)2＋(3－2．8)2＋(4－2．8)2×2]＝1．36；
当投中的个数为2时，极差为2，方差为0．8；
当投中的个数为3时，极差为2，平均数为3．2，方差为×[(2－3．2)2＋(3－3．2)2×2＋(4－3．2)2×2]＝0．56，即选项B和D均正确．故选B、C、D．
8．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为_________．
解析：∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，∴＝5，∴x＝6，∴这组数据的平均数是＝5，这组数据的方差是×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝．
答案：5　
9．某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：
(1)估计这批小龙虾重量的第10百分位数与第90百分位数；
(2)该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：
等级 三等品 二等品 一等品
重量/克 [5,25) [25,45) [45,55]
试估计这批小龙虾划为几等品比较合理？
解：(1)因为40×10% ＝4，所以第10百分位数为第4项与第5项的平均数，在[5,15)范围内约为＝10．
因为40×90%＝36，所以第90百分位数为第36项与第37项的平均数，在[35,55]范围内，约为＝45，
所以估计这批小龙虾重量的第10百分位数为10，第90百分位数为45．
(2)由(1)知，这批小龙虾重量集中在[10,45]范围内，所以划为二等品比较合理．
B级——综合应用
10．(多选)2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217．51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军．中国另一对组合彭程/金杨以213．29分摘得银牌．花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是(　　)
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
解析：BCD　因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以可能变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选B、C、D．
11．(多选)随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是(　　)
A．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个
B．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了
C．8月是空气质量最好的一个月
D．6月的空气质量最差
解析：ABC　1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，所以A是正确的；第一季度合格天数的比重为≈0．736 3，第二季度合格天数的比重为≈0．626 4，所以第二季度与第一季度相比，空气质量合格的天数的比重下降了，所以B是正确的；8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以C是正确的；5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以D是错误的，故选A、B、C．
12．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1 kg的包裹收费10元，重量超过1 kg的包裹，除收费10元之外，超过1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表)．
(1)求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；
(2)该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？
解：(1)每天包裹数量的平均数为0．1×50＋0．1×150＋0．5×250＋0．2×350＋0．1×450＝260(件)，
因为[0,200)的频率为0．2，[200,300)的频率为0．5，
中位数为200＋ ×100＝260(件)，
所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件．
(2)由(1)可知平均每天的揽件数为260件，
利润为260×5－3×100＝1 000(元)，
所以该网点平均每天的利润有1 000元．
C级——迁移创新
13．记样本x1，x2，…，xm的平均数为，样本y1，y2，…，yn的平均数为(≠)．若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为＝＋，则的值为(　　)
A．3 B．4
C． D．
解析：D　由题意知x1＋x2＋…＋xm＝m，y1＋y2＋…＋yn＝n，＝＝＝＋＝＋，所以＝，＝，可得3m＝n，所以＝．
14．某校有高中生2 000人，其中男女生比例约为5∶4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本量为n的样本，得到如图所示的频数分布表和频率分布直方图．方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．
身高(单位：cm) [145，155) [155，165) [165，175) [175，185) [185，195]
频数 m p q 6 4
(1)根据图表信息，求n，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表)
(2)计算方案二中总样本的均值及方差；
(3)计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？
解：(1)因为身高在区间[185,195]的频率为0．008×10＝0．08，频数为4，
所以样本量n＝＝50，m＝0．008×10×50＝4，p＝0．04×10×50＝20，q＝50－4－20－6－4＝16，
所以身高在[165,175)的频率为＝0．32，小矩形的高为0．032，
所以身高在[175,185)的频率为＝0．12，小矩形的高为0．012，
由此补全频率分布直方图：
由频率分布直方图可知样本的身高均值为(150×0．008＋160×0．04＋170×0．032＋180×0．012＋190×0．008)×10＝167．2，
所以由样本估计总体可知，估计该校高中生的身高均值为167．2．
(2)把男生样本记为x1，x2，x3，…，x25，其均值为，方差为s，
把女生样本记为y1，y2，y3，…，y25，其均值为，方差为s，
总体样本均值记为，方差记为s2，
所以＝＋＝＝165，
s2＝＝{25[16＋(170－165)2]＋25[20＋(160－165)2]}＝43．
(3)两种方案总样本均值的差为167．2－165＝2．2，所以用方案二总体样本均值作为总体均值的估计不合适，原因是没有进行等比例的分层随机抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此代表性较差．

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