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高考重难专攻(八)　概率统计与数列、函数的交汇问题
概率统计与其他知识的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年考试追逐的热点，处理这类问题要把握概率与统计的本质，巧妙利用其他知识．
概率与数列的交汇问题
湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人(n∈N*)，记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
[思路引导]　
[解]　(1)由题意知，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参观马王堆的概率为，则X的可能取值为3,4,5,6，
P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C··2＝，P(X＝5)＝C·2·＝，P(X＝6)＝3＝，
所以X的分布列如下表所示
X 3 4 5 6
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5．
(2) 因为这n人的合计得分为n＋1分，则其中只有1人计划参观马王堆，所以Pn＝C··n－1＝，
设Sn＝P1＋P2＋…＋Pn＝＋＋＋…＋，
则Sn＝＋＋＋…＋＋，
由两式相减，得Sn＝＋＋＋…＋－＝2×－＝1－，所以P1＋P2＋…＋Pn＝Sn＝．
(3) 在随机抽取的若干人的合计得分为(n－1)分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或(n＋1)分，记“合计得n分”为事件A，“合计得(n＋1)分”为事件B，A与B是对立事件．
因为P(A)＝an，P(B)＝an－1，所以an＋an－1＝1(n≥2)，
即an－＝－(n≥2)．
因为a1＝，则数列是首项为－，公比为－的等比数列，所以an－＝－n－1，n≥1，
所以an＝－n－1＝＋·n．
因为0<<1，则当n→＋∞时，n→0，所以an→，所以随着抽取人数的无限增加，an趋近于常数．
概率与数列的交汇问题的主要类型
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式；
(2)求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和；
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．　
　某市旅游局准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡)，为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2021年到本市景区旅游的1 000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如图频率分布直方图，由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布N(μ，3．22)，其中μ近似为样本平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)．
(1)若2021年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2021年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1 820元；
(2)现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”．若Pn表示的概率，Pn＝aPn－1＋Pn－2＋bPn－3(n≥3，a，b为常数)，且P0＝P1＝P2＝1．
①求P3，P4及a，b；
②判断并证明数列{Pn}从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．(参考数据：P(μ－σ解：(1)由直方图可得＝(0．012 5×4＋0．05×8＋0．137 5×12＋0．037 5×16＋0．012 5×20)×4＝11．8，
∵μ＝＝11．8，σ＝3．2，∴μ＋2σ＝11．8＋2×3．2＝18．2百元＝1 820元，
∴旅游费用支出不低于1 820元的概率为P(x≥μ＋2σ)＝＝＝0．022 8，∴500×0．022 8＝11．4，
估计2021年有11．4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1 820元．
(2)①P3＝1－＝，P4＝1－＝，
由即
解得
②数列{Pn}从第三项起单调递减．
Pn＝Pn－1＋Pn－2＋Pn－3(n≥3)，
故Pn＋1－Pn＝－＝Pn－Pn－1－Pn－2－Pn－3
＝－Pn－1－Pn－2－Pn－3＝－Pn－3，又Pn>0，∴－Pn－3<0，
即从第三项起数列{Pn}单调递减．
由此可知随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件．
概率统计与函数的交汇问题
　某地盛产橙子，但橙子的品质与当地的气象相关指数λ有关，气象相关指数λ越大，橙子品质越高，售价同时也会越高．某合作社统计了近10年当地的气象相关指数λ，得到了如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)从这10年中任意抽取3年研究气象指数λ对橙子品质的影响，求这3年的气象相关指数λ在[0．9,1]之间的个数X的数学期望；
(3)根据往年数据知，该合作社的利润y(单位：千元)与每亩地的投入x(单位：千元)和气象相关指数λ的关系为y＝100λ－λ－4x－40，x∈[4,8]，求气象相关指数λ取何值时，能使对于任意的x∈[4,8]，该合作社都不亏损．
[思路导引]
(1)―→
(2)―→―→―→
(3)―→―→―→
[解]　(1)由频率分布直方图可知0．1×(1＋1＋a＋5)＝1，解得a＝3．
(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3，
10年中气象相关指数λ在[0．9,1]之间的频率为5×0．1×10＝5，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
(3)由题意得y≥0在x∈[4,8]上恒成立，即25λ≥在x∈[4,8]上恒成立．
令g(x)＝＝x＋＋12，x∈[4,8]，则25λ≥g(x)max．
g′(x)＝1－，
由g′(x)>0，得2由g′(x)<0，得4≤x<2，所以g(x)在[4,2)上单调递．
又g(4)＝21，g(8)＝22．5，所以g(x)max＝22．5，所以25λ≥22．5，解得λ≥0．9．
所以当气象相关指数λ∈[0．9,1]时，能使对于任意的x∈[4,8]，该合作社都不亏损．
概率统计与函数的交汇问题，综合性较强，一是借助二次函数，分段函数的性质，利用单调性求均值和方差的最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．但问题的本质仍是以概率统计为主导，利用函数辅助求解．　
某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响．
(1)当p＝时，
①在甲答对了某道题的条件下，求该题是甲自己答对的概率；
②甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求X的数学期望E(X)﹔
(2)乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值．
解：(1)①记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“该题是甲自己答对的”，
则P(A)＝＋×＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝．
②由题意，X～B，故E(X)＝4×＝．
(2)记事件Ai为“甲答对了i道题”，事件Bi为“乙答对了i道题”，i＝0,1,2．
其中甲答对某道题的概率为＋p＝(1＋p)，答错某道题的概率为1－(1＋p)＝(1－p)，
则P(A1)＝C·(1＋p)·(1－p)＝(1－p2)，P(A2)＝2＝(1＋p)2，
P(B0)＝2＝，P(B1)＝C··＝，
所以甲答对题数比乙多的概率为P(A1B0∪A2B1∪A2B0)＝P(A1B0)＋P(A2B1)＋P(A2B0)
＝(1－p2)·＋(1＋p)2·＋(1＋p)2·＝(3p2＋10p＋7)≥，
解得≤p<1，即甲的亲友团助力的概率p的最小值为．
[课时过关检测]
1．小张准备在某市开一家文具店，为经营需要，小张对该市另一家文具店中的某种水笔在某周周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示．
周一 周二 周三 周四 周五
x 1．4 1．6 1．8 2 2．2
y 13 11 7 6 3
(1)根据表格中的数据，求出y关于x的经验回归方程；
(2)请由(1)所得的经验回归方程预测销售量为18支时，单支售价应定价为多少元？如果一支水笔的进价为0．56元，为达到日利润(日销售量×单支售价－日销售量×单支进价)最大，在(1)的前提下应该如何定价？
参考数据与公式：经验回归方程＝＋x，其中，＝，＝－，iyi＝67，＝16．6．
解：(1)因为＝×(1．4＋1．6＋1．8＋2＋2．2)＝1．8，＝×(13＋11＋7＋6＋3)＝8，
所以＝＝＝－12．5，
＝－＝8－(－12．5)×1．8＝30．5，
所以所求经验回归方程为＝－12．5x＋30．5．
(2)当＝18时，18＝－12．5x＋30．5，解得x＝1．
假设日利润为L(x)元，则L(x)＝(x－0．56)(30．5－12．5x)＝－12．5x2＋37．5x－17．08．
由解得0．56根据二次函数的性质，可知当x＝1．5时，L(x)取最大值，
所以当单支售价为1元时，销售量为18件．为使日利润最大，单支售价应定为1．5元．
2．袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn．
(1)求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；
(2)求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
解：(1)由题意可知X2＝3,4,5．
当X2＝3时，即两次摸球均摸到红球，其概率是P(X2＝3)＝×＝，
当X2＝4时，即两次摸球恰好摸到一红球，一白球，其概率P(X2＝4)＝＋＝，
当X2＝5时，即两次摸球均摸到白球，其概率是P(X2＝5)＝＝，
所以随机变量X2的概率分布如下表所示：
X2 3 4 5
P
故数学期望E(X2)＝3×＋4×＋5×＝．
(2)设P(Xn＝3＋k)＝pk，k＝0,1,2,3,4,5，则p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，
E(Xn)＝3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5．
P(Xn＋1＝3)＝p0，P(Xn＋1＝4)＝p0＋p1，P(Xn＋1＝5)＝p1＋p2，P(Xn＋1＝6)＝p2＋p3，P(Xn＋1＝7)＝p3＋p4，P(Xn＋1＝8)＝p4＋p5，
所以E(Xn＋1)＝3×p0＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝(3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5)＋p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝E(Xn)＋1．
由此可知，E(Xn＋1)－8＝[E(Xn)－8]．因为E(X1)＝3×＋4×＝ ，
又E(X1)－8＝－，所以数列{E(Xn)－8}是以－为首项，为公比的等比数列，
所以E(Xn)－8＝－n－1＝－5·n，
即E(Xn)＝8－5·n．
3．某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k(k∈N*，2≤k(1)假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中的k(k∈N*,2≤k①若k＝4，且E(ξ1)＝E(ξ2)，试运用概率与统计的知识，求p的值；
②若p＝1－，证明：E(ξ1)解：(1)设“恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，
则P(A)＝＝，
即恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为．
(2)①由题意知E(ξ1)＝4，ξ2的取值可能取值为1,5，
P(ξ2＝1)＝(1－p)4，P(ξ2＝5)＝1－(1－p)4，
所以E(ξ2)＝(1－p)4＋5[1－(1－p)4]＝5－4(1－p)4，
由E(ξ1)＝E(ξ2)，得4＝5－4(1－p)4，即(1－p)4＝，
因为0②证明：由题意易知E(ξ1)＝k，E(ξ2)＝(1＋k)－k(1－p)k，
要证明E(ξ1)(1－p)k，又p＝1－，即证明k<，
两边同时取自然对数，即证明－<－ln k，即证明ln k－<0，
设f(x)＝ln x－(x≥2)，则f′(x)＝－＝≤0在[2，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
又因为f(2)＝ln 2－1<0，所以f(x)＝ln x－≤f(2)<0，
即ln k－<0(k≥2)，所以E(ξ1)4．某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日大礼包一份．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．
(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶，求概率P(E5)及P(F4)；
(2)该柜台采用限量出售甲、乙两个系列盲盒的销售方式，即每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn．
①求{Qn}的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
解：(1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A1，A2，A3玩偶，则有两种情况：
若其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有CCA种结果；
若其中两个玩偶各2个，另外两个玩偶1个，则共有CCC种结果，
故P(E5)＝＝＝＝；
若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为，
故P(F4)＝1－－＝．
(2)①由题可知Q1＝，
当n≥2时，Qn＝Qn－1＋(1－Qn－1)＝－Qn－1，则Qn－＝－，Q1－＝，即是以为首项，以－为公比的等比数列．
所以Qn－＝×n－1，即Qn＝＋×n－1．
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作n→＋∞，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则ξ～B，
所以E(ξ)＝100×＝40，即购买甲系列的人数的期望为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．

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