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考点五十一 变量间的相关关系与统计案例
知识梳理
1．相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系．两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．散点图
通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
3．正相关与负相关
从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
4．回归直线方程
(1)曲线拟合
从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．
(2)线性相关
在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线叫回归直线．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
(3)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(4)回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) xi－\x\to(x) yi－\x\to(y) ,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) xi－\x\to(x) 2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x) \x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\x\to(x)2)，,a＝\x\to(y)－b\x\to(x).))
说明：回归直线必过样本中心(，)，但是样本数据不一定在回归直线上，甚至可能所有的样本数据点都不在直线上．
5．相关系数
相关系数r＝ ＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x) \x\to(y),\r( \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\x\to(x)2 \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))y－n\x\to(y)2 )) ；
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
6．独立性检验
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，
变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1；
2×2列联表：
B1 B2 总计
A1 a b a＋b
A2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
构造一个随机变量χ2＝.
利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；
当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
典例剖析
题型一 相关关系判断
例1　变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则________．
①r2答案　③
解析　对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，所以有r2<0变式训练 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423； ②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493； ④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是________．
答案　①④
解析 由回归直线方程＝x＋，知当>0时，x与y正相关，当<0时，x与y负相关，所以①④一定．
解题要点 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱．
题型二 回归分析
例2　已知x，y取值如下表：
x 0 1 4 5 6 8
y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝________．
答案 1.45
解析 ∵＝＝4，＝＝5.25，
又＝0.95x＋a过(，)，∴5.25＝0.95×4＋a，得a＝1.45.
变式训练 已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
已求得关于y与x的线性回归方程＝2.1x＋0.85，则m的值为________．
答案 0.5
解析 ＝＝，＝＝，把(，)代入线性回归方程，＝2.1×＋0.85，m＝0.5.
解题要点 回归直线方程＝x＋必过样本点中心(，)．利用这一结论，可以快速求出回归方程中的参数．
例3　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解析 (1)由题意，作散点图如图．
(2)由对照数据，计算得yi＝66.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
＝4.5，＝3.5，
＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
所以回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)当x＝100时，y＝100×0.7＋0.35＝70.35(吨标准煤)，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
变式训练 (2015新课标Ⅰ文)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi－)2 (wi－)2 (xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中wi＝，＝i.
(I)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(II)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(III)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(II)的结果回答下列问题：
(i)当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？
(ii)当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计为＝－　.
解析 (I)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(II)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于
＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(III)(i)由(II)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
(ii)根据(II)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时， 取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
解题要点 (1)正确运用计算b，a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．
(2)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．
(3) 求解回归方程关键是确定回归系数，，因求解的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如，，x，xiyi等，便可直接代入求解．充分利用回归直线过样本中心点(，)，即有y＝＋，可确定.
题型三 相关分析
例4　有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
总计 105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是________．
列联表中c的值为30，b的值为35
列联表中c的值为15，b的值为50
根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
答案 ③
解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B．根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
变式训练 在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率．
解析 (1)2×2列联表如下：
患色盲 不患色盲 总计
男 38 442 480
女 6 514 520
总计 44 956 1 000
(2)假设H0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得
χ2＝≈27.14，
又P(χ2≥10.828)＝0.001，即H0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.
解题要点 (1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出χ2的值．
(2)弄清判断两变量有关的把握性与犯概率的关系，根据题目要求作出正确的回答．

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