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二项式定理与杨辉三角
【第一学时】
【学习目标】
1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养。
2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养。
【学习重难点】
1．能用计数原理证明二项式定理。
2．掌握二项式定理及二项展开式的通项公式。（重点）
3．能解决与二项式定理有关的简单问题。（重点、难点）
【学习过程】
一、新知初探
二项式定理及相关的概念
二项式定理
概念 公式（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn（n∈N+）称为二项式定理
二项式系数 各项系数C（r＝0，1，2，…，n）叫做展开式的二项式系数
二项式通项 Can－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Can－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N+）
二项展开式 Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn（n∈N+）
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）（a＋b）n展开式中共有n项。 （ ）
（2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响。 （ ）
（3）Can－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项。 （ ）
（4）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相同。 （ ）
2．（x＋1）n的展开式共11项，则n等于（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
3．（y－2x）8展开式中的第6项的二项式系数是（ ）
A．C B、C（－2）5
C．C D．C（－2）6
4．（x＋2）6的展开式中x3的系数是________。
三、合作探究
类型1 二项式定理的正用、逆用
【例1】（1）用二项式定理展开；
（2）化简：C（x＋1）n－C（x＋1）n－1＋C（x＋1）n－2－…＋（－1）rC（x＋1）n－r＋…＋（－1）nC。
类型2 二项式系数与项的系数问题
【例2】（1）求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
（2）（教材P33习题3 3AT2改编）求的展开式中x3的系数。
类型3 求展开式中的特定项
【例3】已知在的展开式中，第6项为常数项。
（1）求n；
（2）求含x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项。
【学习小结】
1．二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅指C，C，…，C，…，而后者指的是除字母以外的所有系数（包括符号）。
2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，而非第k项。
3．对于非二项式展开式的求解可借助二项式定理的原理求解。
【精炼反馈】
1．在（x－）10的展开式中，含x6的项的系数是（ ）
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
2．在的展开式中常数项是（ ）
A．－28 B．－7
C．7 D．28
3．（1－x）10的展开式中第7项为________。
4．化简：C2n＋C2n－1＋…＋C2n－k＋…＋C＝________。
5．设（x－）n的展开式中第二项和第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项。
【第二学时】
【学习目标】
1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养。
2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养。
【学习重难点】
1．掌握二项式系数的性质及其应用。（重点）
2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明。（难点）
3．掌握二项式定理的应用。（难点）
【学习过程】
一、新知初探
1．二项式系数的性质
（1）C＋C＋C＋…＋C＝2n；
（2）C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
2．杨辉三角具有的性质
（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；
（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和。
（3）利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C，C，C，…，C，C，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列。 （ ）
（2）二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的。 （ ）
（3）二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C。 （ ）
2．（1－2x）15的展开式中的各项系数和是（ ）
A．1 B．－1
C．215 D．315
3．在（a＋b）10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（ ）
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
4．（教材P32尝试与发现改编）观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________。
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
三、合作探究
类型1 求展开式的系数和
【例1】设（1－2x）2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021·x2 021（x∈R）。
（1）求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；
（3）求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值。
类型2 二项式系数的性质及应用
【例2】已知f（x）＝（＋3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项。
类型3 与“杨辉三角”有关的问题
【例3】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…。记其前n项和为Sn，求S19的值。
类型4 二项式定理的应用
【例4】（教材P33例5改编）（1）用二项式定理证明：1110－1能被100整除；
（2）求9192被100除所得的余数。
【学习小结】
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出。
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定。一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握。
3．对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用
（1＋x）n≈1＋nx，具体情况视精确度而定。
【精炼反馈】
1．二项式（x－1）n的奇数项二项式系数和是64，则n等于（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
2．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
3．若（n∈N*）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（ ）
A．210 B．252
C．462 D．10
4．设（－3＋2x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________。
5．设a∈Z，且0≤a＜13，若512020＋a能被13整除，求a的值。
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