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2023届高考数学一轮复习专题 函数的奇偶性与周期性
内容要求：
1.结合具体函数，了解奇偶性概念和几何意义。
2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。
基础知识梳理
1.函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x
都有f（- x）= f（x），那么函数f（x）是偶函数 都有f（- x）= - f（x），那么函数f（x）是奇函数
图像特征 关于y轴对称 关于原点对称
2.函数的周期性
（1）周期函数
对于函数y = f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何职时，都有
f（x + T）= f（x），那么就称函数y = f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期。
（2）最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。
常用结论
1.奇（偶）函数定义的等价形式
（1）f（- x）= f（x） f（- x）- f（x）= 0 f（x）为偶函数
（2）f（- x）= - f（x） f（- x）+ f（x）= 0 f（x）为奇函数
2.设f（x）的最小正周期为T，对f（x）的定义域内任一自变量的值x，有如下结论：
（1）若f（x + a）= - f（x），则T = 2 | a |
（2）若f（x + a）= ，则T = 2 | a |
（3）若f（x + a）= f（a + b），则T = | a - b |
3.对称轴与周期性之间的常用结论
（1）若函数f（x）的图像关于直线x =- a 和x = b对称，则函数（x）的最小正周期
T = 2 | b - a |
（2）若函数f（x）的图像关于点（a，0）和点（b，0），则函数f（x）的最小正周期
T = 2 | b - a |
（3）若函数f（x）的图像关于直线x = a和点（b，0）对称，则函数f（x）的最小正周期为T = 4 | b - a |
4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论：
（1）若函数f（x）满足关系f（a + x）= f（a - x），则函数f（x）的图像关于直线x = a对称。
（2）若函数f（x）满足关系f（a + x）= f（b - x），则函数f（x）的图像关于直线x =
对称。
（3）若函数f（x）满足关系f（a + x）= - f（b - x），则函数f（x）的图像关于点（，0）对称
（4）若函数f（x）满足关系f（a + x）+ f（b - x）= c，则函数f（x）的图像关于点
（，）对称。
【注意】判定奇偶性时，不化简解析式导致出错；奇偶性应用不熟练导致的出错，找不到周期函数的周期从而求不出结果而导致出错，利用奇偶性求解析式时，忽略定义域导致出错。
命题考向
考向一 函数奇偶性及延伸
函数奇偶性的判断
1.函数f（x）= | x + 1| - | x - 1 |（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
【答案】A
2.下列函数是奇函数的是（ ）
A.y = cosx + x
B.y = x3sinx
C.y = ln（- x）
D.y = ex + e- x
【答案】C
【总结归纳】
函数具有奇偶性包括两个必备条件：
（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域。
（2）判断f（x）与f（- x）的关系。在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f（x）+ f（- x）= 0（奇函数）或f（x）- f（- x）= 0（偶函数）是否成立。
常见特殊结构的奇偶函数：f（x）= loga（- x）（a＞0且a≠1）为奇函数，
f（x）= ax + a-x（a＞0且a≠1）为偶函数。
函数奇偶性的应用
1.若函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（）= 1，当x＜0时，f（x）= log2（- x）+ m，则实数m =（ ）
A.- 1
B.0
C.1
D.2
【答案】C
【解析】
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（）= 1
∴f（- ）= - f（）= - 1
∵当x ＜0时，f（x）= log 2（- x）+ m
∴f（- ）= log2 + m = - 1
∴m = 1
故选C
2.设函数f（x）= （a∈R，a≠0），若f（-2022）= 2，则f（2022）= （ ）
A.2
B.- 2
C.2022
D.- 2022
【答案】B
【解析】
∵f（x）=
∴f（- x）= = - f（x）
即函数f（x）为奇函数，
若f（-2022）= 2，则f（2022）= - 2
故选B
【总结归纳】
利用函数的奇偶性可以解决一下问题：
（1）求函数值：将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上函数值。
（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上，再利用奇偶性的定义求出。
（3）求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（- x）= 0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程（组），进而得出参数的值。
（4）画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间的图像。
（5）求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值。
奇偶性延伸到其他对称性问题（从平移角度说对称性问题）
1.已知函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）= | f（x + 1）| + g（x + 1），则下列结论中正确的是（ ）
A.h（x）的图像关于点（1,0）对称
B.h（x）的图像关于点（-1,0）对称
C.h（x）的图像关于直线x = 1对称
D.h（x）的图像关于直线x = - 1对称
【答案】D
【解析】
∵函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
设h（x）= | f（x + 1）| + g（x + 1），
∴设t = x + 1
则x = t - 1
则h（x）= | f（x + 1）| + g（x + 1）等价为h（t - 1）= | f（t）| + g（x），
∴h（- t - 1）= h（t - 1）
∴h（x）的图像关于x = - 1对称
故选D
2.已知函数f（x + 2）是偶函数，f（x）在（-∞，2]上单调递减，f（0）= 0，则
f（2 - 3x）＞0的解集是（ D ）
A.（-∞，）∪（2，+∞）
B.（ ，2）
C.（- ，）
D.（-∞，- ）∪（ ，+∞）
【答案】D
【解析】
根据题意，f（x + 2）是偶函数，则函数f（x）的图像关于x = 2对称，
又由f（x）在（-∞，2]上单调递减，则f（x）在[2，+∞）上递增
∵f（0）= 0
∴f（2 - 3x）＞0 = f（0）
∴| 3x | ＞2
解得（- ∞，- ）∪（ ，+∞）
故选D
【总结反思】
由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有：
（1）若函数y = f（x）为极奇函数（或偶函数），则函数y = f（x + a）的图像关于点
（- a，0）对称（或关于直线x = - a对称）。
（2）若函数y = f（x + a）为奇函数（或偶函数），则函数y =（x）的图像关于点（a，0）对称（或关于直线x = a对称）。
考点二 函数的周期性及其应用
1.已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）= f（x + 2）恒成立，当x∈（- 2，,0] 时，
f（x）= x2，当x∈（2,4] 时，函数f（x）的解析式为（ D ）
A.f（x）= x2 - 4
B.f（x）= x2 + 4
C.f（x）=（x + 4）2
D.f（x）=（x - 4）2
【答案】D
【解析】
∵f（x）= f（x + 2）
∴f（x）是以2为周期的周期函数
∴f（x - 4）= f（x - 2）= f（x）
设x - 4∈（- 2,0]
可得f（x - 4）=（x - 4）2
此时x∈（2,4]，
根据f（x）= f（x - 4），
得f（x）= f（x - 4）=（x - 4）2，
因此，当x∈（2,4] 时，函数f（x）的解析式为f（x）=（x - 4）2
故选D
2.定义在R上的函数，且f（x）满足f（x）= - ，当x∈（- 2，0]时，f（x）= 2x - ，
则f（log220）= （ ）
A.- 16
B.-
C.-
D.- 4
【答案】A
【解析】
∵f（x）= - ，
∴f（x - 2）= f（x + 2）
∴f（x - 2 - 2）= f（x - 2 + 2），
即f（x - 4）= f（x）
∴f（x）的周期是4
∵ - 2 ＜ log220 - 6 ＜ - 1
又∵当x∈（- 2，0]时，f（x）= 2x - ，
∴则f（log220）= - 16
故选A
【总结反思】
（1）注意周期性的常见表达式的应用。
（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式（或函数值）得到整个定义域内的解析式（或相应的函数值）。
（3）在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期”的应用。
考点三 以函数性质的综合为背景的问题
奇偶性与单调性的结合
已知函数f(x)是定义在R.上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则三个数a= f(-log313)，
b= f (），c= f (20.6)的大小关系为（ ）
A.a> b> c
B.a>c>b
C.b> a> c
D.c> a> b
【答案】C
【解析】
∵2 = log39 < log313 < log327 = 3， = 3，0<20.6<2
即: 0<20.6 < log313 <
∵f(x)为偶函数
∴a= f (log313),
又∵f (x )在[0, +∞)上单调递增,
∴f（）＞ f（log313）＞ f（20.6）
即b> a> C
故选:C
【总结归纳】
（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小。
（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞ f（x2）的形式，在结合单调性脱去法则，变成常规不等式。
奇偶性与周期性的结合
1.已知函数f (x)是R上的偶函数，且对任意的x ∈ (0, +∞),都有f (x + 3)= - f (x)，当x ∈ (-3,0)时，f (x) = 2x - 5,则f (8) =（ ）
A.11
B.5
C.-9
D.-1
【答案】C
【解析】
由题意，对任意的x∈(0,+∞),都有f (x + 3) = - f (x),
f (x + 6) = f (x + 3 + 3) = - f(x + 3) = f (x)
∴函数f (x )是周期为6的周期函数,
.∴f (8) = f (6 + 2) = f (2)，
又x ∈ (-3,0)时，f (x) = 2x - 5,
∴f (-2) = 2x (- 2) - 5= - 9 ,
∵函数f(x)为R上的偶函数,
∴f (2) = f (- 2) = - 9,
∴f (8) = f (2)= - 9.
故选: C
2.已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x + 2)= - f (x),当0 ≤ x ≤ 1时，f (x) = x2，则f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (2022) =（ ）
A.2022
B.0
C.1
D.-1
【答案】B
【解析】
∵f (x+2) = - f (x);
∴f (x+4) = f (x);
∴f (x)的周期为4;
f (x)是R上的奇函数，则f (0) = 0
∴f (2) = - f (0) = 0，f (3)= - f (1)，f (4) = - f (2) = 0，
∴f (1)+ f(2) = 0,
∴f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 0;
∴f (1) + f (2) + f (3) +...+ f (2022)
= 505 [f(1) + f (2)+ f (3) + f(4)] + f (1) + f (2) = 0
故选: B。
【总结归纳】
周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值。

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