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随机变量及其与事件的联系
【学习目标】
1．通过学习随机变量，培养数学抽象的素养。
2．借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养。
【学习重难点】
1．理解随机变量的含义。（重点）
2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义。（难点）
3．会借助随机变量间的关系解题。（易错点）
【学习过程】
一、新知初探
1．随机变量
（1）定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量。
（2）表示：用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示。
（3）取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围。
2．随机变量与事件的联系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且：
（1）当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
（2）事件X≤a与X＞a相互对立，因此P（X≤a）＋P（X＞a）＝1．
3．随机变量的分类
（1）离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量。
（2）连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，连续型随机变量的取值范围包含一个区间。
4．随机变量之间的关系
如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，且P（X＝t）＝P（Y＝at＋b）。
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个。 （ ）
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量。
（ ）
（3）随机变量是用来表示不同试验结果的量。 （ ）
（4）在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值。 （ ）
2．下列变量中，是离散型随机变量的是（ ）
A．到2020年10月1日止，我国发射的卫星
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
3．如果X是一个离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y（ ）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
4．（教材P65练习BT3改编）若P（X≤1）＝0.7，则P（X＞1）＝________。
三、合作探究
类型1 随机变量的判断
【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由。
（1）标准大气压下，水沸腾的温度；
（2）王老师在某天内接电话的次数；
（3）在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
（4）体积为64 cm3的正方体的棱长。
类型2 随机变量的取值范围及其应用
【例2】写出下列随机变量的取值范围。
（1）张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ；
（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ；
（3）一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
（4）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟。
类型3 随机事件的关系及其应用
【例3】（教材P64例2改编）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪800元，每工作1 h再获取15元。从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元。
（1）当X＝100时，求Y的值；
（2）写出X与Y之间的关系式；
（3）若P（X≤120）＝0.8，求P（Y＞2 600）的值。
【学习小结】
1．随机变量的取值是由随机试验的结果决定的，可类比函数的知识学习。
2．随机变量X，Y之间若存在线性关系，即Y＝aX＋b，则X，Y的类型相同，即要么同为离散型随机变量，要么同为连续型随机变量。
【精炼反馈】
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量。
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是（ ）
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的取值范围是________。
4．甲进行3次射击，击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________。
5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ。
（1）列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量。
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