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第一节　函数及其表示
最新考纲·
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
考向预测·
考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合仍是高考的热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度．
学科素养：通过函数概念考查数学抽象的核心素养；通常通过函数定义域、函数解析式及分段函数问题考查数学运算及直观想象的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．函数与映射的概念
函数 映射
两个集 合A，B 集合A，B是两个非空的________ 集合A，B是两个非空的________
对应 关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应． 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个元素a，在集合B中都有________的元素b与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：__________、__________和__________．
(3)相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：________________、________________、________________．
[提醒]　函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[提醒]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
二、必明3个常用结论
1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)对于函数f：A→B，其值域是B.(　　)
(2)函数与映射是相同的概念，函数是映射，映射也是函数．(　　)
(3)只要集合A中的任意元素在集合B中有元素对应，那么这个对应关系就是函数．(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(5)分段函数不是一个函数而是多个函数．(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P18例2改编]下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
3．[必修1·P17例1改编]已知f(x)＝，若f(－2)＝0，则a的值为________．
(三)易错易混
4．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝ ,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．
5．(忽视新元范围)已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
(四)走进高考
6．[2021·浙江卷]已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　函数的定义域　[基础性]
1．函数y＝＋(x－1)0的定义域是(　　)
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|0D．{x|12．如果函数f(x)＝ln (－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．[2022·江西抚州模拟]若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数的定义域为(　　)
A．(0，3) B．[1，3)
C．[1，3) D．[0，3)
4．[2022·陕西渭南高三检测]若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．　B．　C．　D．
一题多变　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　●
1．(变问题)将题3中的“函数的定义域”改为“函数f(x－5)的定义域为________．”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件，变问题)将题3改为“已知函数f(x－5)的定义域为[0，6]，则函数f(x)的定义域为________．”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　
1．给定函数的解析式，求函数的定义域
2．求抽象函数定义域的方法
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点二　函数的解析式　[综合性]
[例1]　(1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(2)(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)的解析式为________．
(3)[2022·佛山一中月考]已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________．
听课笔记：
反思感悟　求函数解析式常用的方法
[提醒]　由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．
【对点训练】
1．若函数f(1－2x)＝(x≠0)，那么f()等于(　　)
A．1　 　 　B．3　　　C．15　　　D．30
2．已知f＝x＋，则函数f(x)的解析式为________．
3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．
4．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________．
考点三　分段函数　[基础性、综合性]
角度1　求分段函数的函数值
[例2]　(1)[2022·安徽合肥检测]已知函数
f(x)＝则f(f(1))＝(　　)
A．－ B．2
C．4 D．11
(2)[2022·郑州模拟]已知f(x)＝则f＋f的值为(　　)
A． B．－
C．－1 D．1
听课笔记：
反思感悟　分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度2　分段函数与方程
[例3]　[2022·长春模拟]已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
听课笔记：
反思感悟
根据分段函数的函数值求自变量的值时，应根据自变量与分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的范围.
角度3　分段函数与不等式
[例4]　[2022·湘赣皖长郡十五校一联]设函数f(x)＝则满足f(x＋2)>f(3x)的x的取值范围是(　　)
A．x<1 B．x≥1
C．－2听课笔记：
反思感悟
　与分段函数有关的不等式问题主要表现为解不等式(有时还需要结合函数的单调性)．若自变量取值不确定，往往要分类讨论求解；若自变量取值确定，但分段函数中含有参数，则只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解即可.
【对点训练】
1．[2022·长沙长郡中学月考]已知函数f(x)＝且f(x0)＝3，则实数x0的值为(　　)
A．－1 B．1
C．－1或1 D．－1或－
2．[2022·福州市高三质量检测]函数f(x)＝则f(2)＋f(－1)＝________．
3．[2021·深圳模拟]已知函数f(x)＝，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是________．
微专题 学通学活巧迁移新定义函数　
交汇创新
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
[例]　[2022·广东深圳模拟]在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝；④φ(x)＝ln x．其中是一阶整点函数的是 (　　)
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D项；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A项；对于函数h(x)＝()x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B项．故选C项．
答案：C
名师点评
本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
[变式训练]　
1．[2022·山东滨州月考]具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．只有①
2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1) x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2) x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.
在①f(x)＝sin x，②f(x)＝＝1－x这三个函数中，____________是“优美函数”．
第二章　函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节　函数及其表示
积累必备知识
一、
1．数集　集合　任意　唯一确定　任意　唯一确定
2．(1)定义域　值域　(2)定义域　值域　对应关系　(3)定义域　对应关系　解析法　图象法　列表法
3．对应关系
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2．解析：对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；
对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；
对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选B.
答案：B
3．解析：因为f(x)＝，
所以f(－2)＝＝0，解得a＝1.
答案：1
4．解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1，即(x＋1)2≥1.
解得x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1，即4－≥1，解得1≤x≤10.
综上所述，x≤－2或0≤x≤10.
答案：(－∞，－2]
5．解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)．即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
6．解析：因为>＝2，所以f()＝()2－4＝2，
所以f(f())＝f(2)＝|2－3|＋a＝1＋a＝3，解得a＝2.
答案：2
提升关键能力
考点一
1．解析：要使函数解析式有意义，须有
解得所以－3答案：B
2．解析：因为－2x＋a>0，所以x<，又因为函数定义域为(－∞，1)，所以＝1，所以a＝2.
答案：D
3．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以x≠3，函数的定义域为[0，3)．故选D项．
答案：D
4．解析：要使函数的定义域为R，则ax2－4ax＋2>0恒成立．①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立；②当a≠0时，要使不等式恒成立，则即解得0答案：D
一题多变
1．解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，则0≤x－5≤6，即5≤x≤11，所以函数f(x－5)的定义域为[5，11].
答案：[5，11]
2．解析：因为函数f(x－5)的定义域是[0，6]，则0≤x≤6，有－5≤x－5≤1，所以函数f(x)的定义域为[－5，1].
答案：[－5，1]
考点二
例1　解析：(1)(换元法)令＋1＝t，则x＝.因为x>0，所以t>1，所以f(t)＝lg ，即f(x)的解析式是f(x)＝lg (x>1)．
(2)方法1：(换元法)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，所以f(t)＝4－6×＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法2：(配凑法)因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9.
方法3：(待定系数法)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9.
解析：(3)(消去法)f(x)＋2f(－x)＝ex，　①
f(－x)＋2f(x)＝e－x，　②
①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex，
所以f(x)＝e－x－ex.
答案：(1)f(x)＝lg (x>1)
(2)f(x)＝x2－5x＋9
(3)f(x)＝e－x－ex
对点训练
1．解析：(1)方法1：由于f(1－2x)＝(x≠0)，
当x＝时，f()＝＝15.故选C.
方法2：设1－2x＝t，则x＝，
结合f(1－2x)＝(x≠0)可知，
f(t)＝－1＝，
所以f()＝＝15.故选C.
答案：C
2．解析：令t＝(x>0)．
因为≥2，则t2＝x＋＋2(t≥2)，得到x＋＝t2－2，(t≥2)．
所以由f()＝x＋，得：
f(t)＝t2－2(t≥2)，即f(x)＝x2－2(x≥2)．
答案：f(x)＝x2－2(x≥2)
3．解析：(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，
所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，
所以解得所以f(x)＝2x＋7.
答案：2x＋7
4．解析：(解方程组法)因为2f(x)＋f＝3x，①
所以将x用替换，得2f＋f(x)＝，②
由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)，
即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)
考点三
例2　解析：(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C项．
(2)f＝f＋1＝f＋1＝cos ＋1＝，
f＝cos ＝cos ＝－，
∴f＋f＝＝1.
答案：(1)C　(2)D
例3　解析：∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，
综上有a＝－3.
答案：A
例4　解析：
因为函数f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示．则由函数的图象可得当x＋2≤0时，f(x＋2)＝1，f(3x)＝1，不满足f(x＋2)>f(3x)．当x＋2>0时，要满足f(x＋2)>f(3x)，则需或x＋2>3x>0，解得－2答案：C
对点训练
1．解析：由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝＝3，所以x0＝－1，所以实数x0的值为－1或1.
答案：C
2．解析：因为f(x)＝所以f(2)＋f(－1)＝e2－1－1＝e2－2.
答案：e2－2
3．解析：函数f(x)＝在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上函数值保持不变，若f(x－4)>f(2x－3)，则或x－4<2x－3≤0，解得x∈(－1，4)．
答案：(－1，4)
微专题 　学通学活巧迁移新定义函数
变式训练
1．解析：(逐项验证法)对于①，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，f＝＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，f＝满足f＝－f(x)．故③满足“倒负”变换，故选C.
答案：C
2．解析：由条件(1)得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)得f(x)是R上的减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②

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