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第二节　函数的单调性与最值
·最新考纲·
1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性．
考向预测·
考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题．
学科素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是________
图象描述 自左向右看图象是 ________ 自左向右看图象是 ________
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的________．
(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当________时，f(x)在区间D上为增函数；当________时，f(x)在区间D上为减函数．
(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．
[提醒]　有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有________； (2)存在x0∈I，使得________ (1)对于任意x∈I，都有________； (2)存在x0∈I，使得________
结论 M是y＝f(x)的最大值 M是y＝f(x)的最小值
[提醒]　(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)．
二、必明3个常用结论
1．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
2．“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，].
3．增函数与减函数形式的等价变形： x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　)
(2)函数y＝的单调减区间是(－∞，0).(　　)
(3)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　)
(5)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P39习题A组T3改编]下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A. y＝2|x|　 B．y＝6－x
C． y＝ D．y＝－x2＋6
3．[必修1·P31例4改编]函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．2　　　B． C．　　　D．－
(三)易错易混
4．(忽视函数的定义域出错)函数f(x)＝ln (4＋3x－x2)的单调递减区间是________．
5．(忘记函数的单调区间出错)已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)(四)走进高考
6．[2021·全国甲卷]下列函数中是增函数的为(　　)
A．f(x)＝－x B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　确定函数的单调性或单调区间　[基础性]
角度1　判断或证明函数的单调性
1．(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
听课笔记：
反思感悟 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是定义域内的任意两个值，且x1(2)作差、变形：作差f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
(3)定号：确定差的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．
(4)判断：根据定义作出结论．
[提醒]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度2　利用函数图象求函数的单调区间
2．求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
听课笔记：
一题多变
(变条件)若题2中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
反思感悟　由图象确定函数的单调区间需注意两点
(1)单调区间必须是函数定义域的子集；
(2)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
角度3　复合函数的单调区间
3．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
听课笔记：
反思感悟　复合函数单调性的确定方法
若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.
考点二　函数单调性的应用　[综合性]
角度1　比较函数值的大小
[例1]　(1)[2022·武汉模拟]已知函数f(x)＝，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b(2)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
听课笔记：
反思感悟　利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.
角度2　求函数的最值(值域)
[例2]　(1)[2022·河南郑州调研]函数f(x)＝在x∈[1，4]上最大值为M，最小值为m，则M－m的值是(　　)
A．　　　B．2 C．　　　D．
(2)函数y＝的最大值为________．
听课笔记：
反思感悟　利用函数单调性求最值应先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(可结合本节微专题理解)
[提醒]　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
角度3　解函数不等式
[例3]　已知R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
听课笔记：
一题多变
(变条件，变问题)例3中，函数f(x)满足的条件改为“定义域为(0，＋∞)，f＝f(x1)－f(x2)，当x>1时，f(x)<0”．
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)求不等式f(2x＋1)>f(2－x)的解集．
反思感悟
求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)角度4　求参数的值或取值范围
[例4]　(1)[2022·哈尔滨模拟]已知函数f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递增函数，则a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，2)
C．(1，2] D．(0，2]
(2)[2022·贵阳市高三摸底]函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a<3
C．a≤－3 D．a≥－3
听课笔记：
反思感悟 利用单调性求参数的方法
(1)依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间与已知单调区间比较．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
(3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
【对点训练】
1．[2022·西安模拟]已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x1≠x2且x1，x2∈(1，＋∞)时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
2．设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
3．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．(1，2)
C．(2，＋∞) D．
4．[2022·济南模拟]已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
微专题 求函数最值的常用方法
思想方法
一、单调性法
[例1]　函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________．
解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f()＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
答案：1　
名师点评　利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．
二、不等式法
主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常用的不等式有以下几种：
a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；
(a≥0，b≥0)；
ab≤(a，b为实数)．
[例2]　已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值为________．
解析：设t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝＝t＋－4(1≤t≤3)，由“对勾函数”的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g(1)＝1，g(3)＝，所以g(t)max＝g(1)＝1.即f(x)的最大值为1.
答案：1
名师点评　在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正”“二定”“三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
三、换元法
换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
[例3]　(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________；
(2)求函数y＝x－的值域．
解析：(1)设＝t(t≥0)，所以x＝1－t2，所以y＝f(x)＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以当t＝1即x＝0时，ymax＝f(x)max＝2.
(2)换元法：由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，
则y＝2cos θ－＝2cosθ－2sin θ
＝2cos ，
因为θ＋∈，
所以cos ∈，
所以y∈[－2，2].
答案：(1)2　(2)y∈[－2，2]
名师点评　在使用换元法时注意换元后新元的范围(即定义域)，特别是三角换元后新函数的周期性对值域的影响．
四、数形结合法
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．
[例4]　对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
解析：由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.
所以x≥.所以f(x)＝
其图象如图所示：
由图象易知，当x＝时，函数有最小值，所以＝f()＝＝.
答案：
第二节　函数的单调性与最值
积累必备知识
一、
1．(1)增函数　减函数　上升的　下降的　(2)增函数　减函数　单调区间　(3)f′(x)>0　f′(x)<0
2．f(x)≤M　f(x0)＝M　f(x)≥M　f(x0)＝M
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2．解析：对于A，y＝2|x|在[0，＋∞)上是增函数，所以在(0，1)上是增函数，正确；对于B，函数y＝6－x在R上是减函数，所以在(0，1)上是减函数，错误；对于C，函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以在(0，1)上是减函数，错误；对于D，函数y＝－x2＋6在[0，＋∞)上是减函数，所以在(0，1)上是减函数，错误．故选A.
答案：A
3．解析：因为y＝在[2，3]上单调递减，所以ymin＝＝.故选B.
答案：B
4．解析：由4＋3x－x2>0得出函数f(x)的定义域为－1答案：
5．解析：由条件知，解得：－1≤a<1.
答案：[－1，1)
6．解析：对于f(x)＝－x，由正比例函数的性质可知，f(x)是减函数，故A不符合题意；对于f(x)＝，由指数函数的单调性可知，f(x)是减函数，故B不符合题意；对于f(x)＝x2，由二次函数的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C不符合题意；对于f(x)＝＝，由幂函数的性质可知，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故选D.
答案：D
提升关键能力
考点一
1．解析：方法1：设－1f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)方法2：
f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
2．解析：f(x)＝
＝
画出函数图象，如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．
一题多变
解析：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示，由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1]和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1－]和(1，1＋].
3．解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
答案：D
考点二
例1　解析：(1)函数f(x)＝是R上的减函数，又log38<2<21.3<21.4＝40.7，所以f(40.7)(2)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.故选D项．
答案：(1)C　(2)D
例2　解析：(1)因为y＝和y＝－在[1，4]上是增函数，所以f(x)＝在[1，4]上是增函数，所以M＝f(x)max＝f(4)＝2－＝，m＝f(1)＝0.因此M－m＝.故选A项．
(2)令＝t，则t≥2，
∴x2＝t2－4，∴y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t)min＝h(2)＝，
∴y≤＝(x＝0时取等号)．
即y最大值为.
答案：(1)A　(2)
例3　解析：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x1>x2，
则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，
即f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
一题多变
解析：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)(3)因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以不等式f(2x＋1)>f(2－x)等价于，解得－故原不等式的解集为.
例4　解析：(1)要使函数f(x)＝，在(0，＋∞)上为增函数，则满足，故1(2)y＝＝＝1＋，所以当a－3<0时，y＝的单调递增区间是(－∞，a＋2)，(a＋2，＋∞)；当a－3≥0时不符合题意．又y＝在(－1，＋∞)上单调递增，所以(－1，＋∞) (a＋2，＋∞)，所以a＋2≤－1，即a≤－3，综上知，a的取值范围是(－∞，－3].
答案：(1)C　(2)C
对点训练
1．解析：依题意f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，且f(x)关于x＝1对称，
∴a＝f＝f，
∴f(e)即c答案：D
2．解析：因为f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减．
所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.故选D.
答案：D
3．解析：因为对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f(x)在R上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
答案：D
4．解析：根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．
∴2－x2>x，∴－2答案：(－2，1)

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