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第三节　函数的奇偶性与周期性
最新考纲·
1．了解函数奇偶性的含义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
·考向预测·
考情分析：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍是高考考查的热点．题型以选择、填空题为主，中等偏上难度．
学科素养：通过函数奇偶性和周期性的概念考查数学抽象的核心素养；通过函数性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果函数f(x)的定义域内______x都有______________________，那么函数f(x)是偶函数 关于______对称
奇函数 如果函数f(x)的定义域内______x都有______________________，那么函数f(x)是奇函数 关于______对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中______________的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
二、必明3个常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(　　)
(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(　　)
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(　　)
(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(6)若T为y＝f(x)的一周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．(　　)
(二)教材改编
2．[必修1·P36练习T1改编]下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
3．[必修1·P45复习题B组T4改编]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
(三)易错易混
4．(不化简函数解析式出错)函数f(x)＝是________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)
5．(找不到函数的周期从而求不出结果)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f()＝3，则f＝________．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷理]设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　函数奇偶性的判断　[基础性]
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(x＋1)；
(3)f(x)＝.
(4)f(x)＝
听课笔记：
反思感悟　判定函数奇偶性的两种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
[注意]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
考点二　函数奇偶性的应用　[综合性、应用性]
[例2]　(1)[2019·全国Ⅱ卷]已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
听课笔记：
反思感悟　函数奇偶性的应用
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
[注意]　对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.
【对点训练】
1．[2022·武汉质检]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A．y＝x sin x B．y＝x ln x
C．y＝ D．y＝x ln (－x)
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________．
3．[2022·贵阳市第一学期监测考试]函数f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)等于(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
考点三　函数的周期性及其应用　[综合性]
[例3]　(1)[2022·重庆质检]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f＝(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
(2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0 C．2　 D．50
(3)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．
听课笔记：
反思感悟　求函数周期的方法
方法 解读 适合题型
定义法 具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期 非零常数T容易确定的函数
递推法 采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期 含有f(x＋a)与f(x)的关系式
换元法 通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期 f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
【对点训练】
1．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f()＝，f(0)≠0，则f(2021)＝(　　)
A．2021　　　B．1　　　C．0　　　D．－1
2．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　)
A．f＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
考点四　函数性质的综合运用　[综合性]
角度1　函数的单调性与奇偶性
[例4]　(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b(2)[2020·新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]
B．[－3，－1]
C．[－1，0]
D．[－1，0]
听课笔记：
反思感悟
1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2．对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
角度2　函数的奇偶性与周期性
[例5]　(1)[2022·贵阳调研]定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当－1≤x<0时，f(x)＝2x－1，则f(log220)＝(　　)
A．　　B．　　C．－ 　　D．－
(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，4) B．(－2，0)
C．(－1，0) D．(－1，2)
听课笔记：
反思感悟
周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
角度3　函数的奇偶性与对称性相结合
[例6]　已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－5)＝2，则f(2 021)＝________．
听课笔记：
反思感悟　函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．
【对点训练】
1．[2022·佛山调研]已知函数f(x)＝log2，则不等式f(lg x)>3的解集为(　　)
A． B．
C．(1，10) D．
2．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论不正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝－1
微专题 函数性质中“三个二级”结论的应用
数学抽象
函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
结论1　抽象函数的对称性
　已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．
[例1]　定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函数；③f(1＋x)＝f(3－x)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(7)B．f(7)C．f(4.5)D．f(4.5)解析：由①知函数f(x)的周期为4，由f(1＋x)＝f(3－x)，知函数f(x)图象关于直线x＝2对称，由②知函数f(x)在[0，2]上单调递增，则在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)答案：D
结论2　奇函数的最值性质
　已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
[例2]　设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析：显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min
＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案：2
结论3　抽象函数的周期性
　(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
[例3]　[2022·江西鹰潭模拟]偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝＋1，则f(2 020)＝(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．1
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝0对称，f(x)＝f(－x)．又f(x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f(x)＝－f(2－x)，即f(x)＝－f(x－2)．
∴f(x)的周期为4.
∴f(2 020)＝f(2 020－4×505)＝f(0)，
又当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，
∴f(2 020)＝f(0)＝1.
答案：D
第三节　函数的奇偶性与周期性
积累必备知识
一、
1．任意一个　f(－x)＝f(x)　y轴　任意一个　f(－x)＝－f(x)　原点
2．f(x)　存在一个最小　最小正数
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×
2．解析：D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其余A，B，C选项均不满足f(－x)＝f(x)．
答案：D
3．解析：f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
4．解析：由得－1因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
答案：奇
5．解析：因为f(x)＝－f，所以f(x＋1)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是以1为周期的周期函数，所以f＝f＝f()＝3.
答案：3
6．解析：方法1：f(x)＝－1＋，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y＝f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x－1)＋1的图象，关于(0，0)对称，所以函数f(x－1)＋1是奇函数，故选B.
方法2：选项A，f(x－1)－1＝－2，此函数为非奇非偶函数；选项B，f(x－1)＋1＝，此函数为奇函数；选项C，f(x＋1)－1＝，此函数为非奇非偶函数；选项D，f(x＋1)＋1＝，此函数为非奇非偶函数，故选B.
答案：B
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)由得x＝±3.
∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)由，得－1∵f(x)的定义域为(－1，1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
解析：(3)由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2，0)关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
考点二
例2　解析：(1)由题意得，当x>0，－x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－a ln 2＝＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.
(2)由图象知，当00；当2∴当－20.
综上，f(x)<0的解集为(－2，0)
答案：(1)－3　(2)(－2，0)
对点训练
1．解析：A中，y＝x sin x为偶函数，D中，y＝x ln (－x)是偶函数．B中，函数y＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数．C中，f(－x)＝＝＝－f(x)，则y＝为奇函数．
答案：B
2．解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f(x)＝2x－1(x≥0)，
则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
答案：－7
3．解析：由已知得f(x)＝(x－1)2＝x2－2x＋1＝h(x)＋g(x)，
∵h(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴g(x)＝x2＋1，h(x)＝－2x，
∴g(1)＝12＋1＝2.
答案：D
考点三
例3　解析：(1)由f(x－2)＝f(x＋2)知y＝f(x)的周期T＝4，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f＝f＝f＝－f＝－.
(2)方法一　∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
方法二　由题意可设f(x)＝2sin ，作出f(x)的部分图象如图所示．
由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
解析：(3)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．
答案：(1)A　(2)C　(3)7
对点训练
1．解析：令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，
故2f(0)(f(0)－1)＝0，
故f(0)＝1，(f(0)＝0舍)
令x＝y＝，则f(1)＋f(0)＝2f()f()，
故f(1)＝0.
∴f(x＋1)＋f(x－1)＝2f(x)f(1)＝0，
即f(x＋1)＝－f(x－1) f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝f(x)，
故f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数．
∴f(2021)＝f(1)＝0.
答案：C
2．解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，
因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以，f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，
故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．
答案：B
考点四
例4　解析：(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.
(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]
答案：(1)C　(2)D
例5　解析：(1)依题意，知f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4.
又2所以f(log220)＝f(2＋log25)＝f(log25－2)
＝－f(2－log25)＝－(－1)＝－＝.
(2)因为f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数．
∴f(5)＝f(－1)＝f(1)<1.
从而<1，解得－1答案：(1)B　(2)A
例6　解析：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 021)＝f(5＋252×8)＝f(5)＝f(－5)＝2.
答案：2
对点训练
1．解析：∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
且f(－x)＝f(x)，则y＝f(x)是偶函数，
易知f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
f(1)＝log22＋＝3，
所以不等式f(lg x)>3可化为0<|lg x|<1，
即－1所以所求不等式的解集为
答案：D
2．解析：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，
则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则有f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋4)＝－f(x)，
即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：
对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；对于D，若f(－5)＝－1，则f(2 019)＝f(－5＋2 024)＝f(－5)＝－1，D正确．
答案：A

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