资源简介

独立性检验
【学习目标】
1．通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养。
2．借助χ2计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养。
【学习重难点】
1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义。（重点）
2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用。（难点）
【学习过程】
一、新知初探
1．2×2列联表
（1）定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式。
A 总计
B a b a＋b
c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表。
（2）χ2计算公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋D．
2．独立性检验
任意给定一个α（称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等），可以找到满足条件P（χ2≥k）＝α的数k（称为显著性水平α对应的分位数），就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立（也称为A与B有关）；或说有1－α的把握认为A与B有关。若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论。这一过程通常称为独立性检验。
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量。 （ ）
（2）事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响。 （ ）
（3）应用独立性检验对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的。 （ ）
2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”（ ）
A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710
C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014
3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个变量之间有关系。
4．（一题两空）下面是2×2列联表。
y1 y2 合计
x1 a 21 73
x2 2 25 27
合计 b 46 100
则表中a＝________，b＝________。
三、合作探究
类型1 由χ2进行独立性检验
【例1】在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用。
未感冒 感冒 合计
使用血清 258 242 500
未使用血清 216 284 500
合计 474 526 1 000
类型2 独立性检验的综合应用
【例2】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 6
女生 10
合计 48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为。
（1）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值。
【学习小结】
1．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，该公式较准确的刻画了两个变量相关性的可靠程度。
2．χ2越大说明“两个变量之间有关系”的可能性越大，反之越小。
【精炼反馈】
1．利用独立性检验来考查两个变量A，B是否有关系，当随机变量χ2的值（ ）
A．越大，“A与B有关系”成立的可能性越大
B．越大，“A与B有关系”成立的可能性越小
C．越小，“A与B有关系”成立的可能性越大
D．与“A与B有关系”成立的可能性无关
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 合计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
经计算得
χ2＝≈7.8．
则正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝13.097，认为“两个变量有关系”犯错误的概率不超过________。
4．某大学在研究性别与职称（分正教授、副教授）之间是否有关系，你认为应该收集的数据是______________________________。
5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”。下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据。
总成绩好 总成绩不好 总计
数学成绩好 478 a 490
数学成绩不好 399 24 423
总计 b c 913
（1）计算a，b，c的值；
（2）文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
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