资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题13二次函数与交点公共点综合问题
【例题解析】
【例1】（2021 宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．
（1）写出A点坐标；
（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
【例2】（2021 德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：　 　；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．
【例3】（2021 黔西南州）如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　，抛物线的解析式为 　 　．
（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．
（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】（2021 绵阳）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
【例5】（2020 襄阳）如图，直线yx+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线yx2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【实战演练】
【题组一】
1．（2021 苏州模拟）问题一：已知二次函数：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m为常数），当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是　 　．
问题二：已知直线l：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m为常数）图象的顶点为C．
（1）如图1，若点C在Rt△AOB的内部（不包括边界），求m的取值范围；
（2）如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上（AB的下方）是否存在点P，使∠ABO＝∠ABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在．请说明理由．
2．（2021 东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
3．（2021 南关区一模）在平面直角坐标系中，把函数y＝ax2+2bx+2（a、b为常数）的图象记为G．
（1）求G与y轴交点的坐标．
（2）当b＝2时，G与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）①设k≠0，若点A（2﹣k，t）在G上，则点B（2+k，t）必在G上，且G过点C（3，﹣1），求G的函数表达式．
②点D（1，y1）、E（4，y2）是①中函数图象上的两点，比较y1与y2的大小．
③点P（m，y3）、Q（m+3，y4）是①中函数图象上的两点，比较y3与y4的大小．
（4）矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F（1，﹣2）、H（4，﹣2）、M（4，4）、N（1，4），当a＝﹣1时，函数y＝ax2+2bx+2（x≥0）的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围．
4．（2021 九江一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；
（3）已知点B（m﹣1，m﹣2），C（2，2）．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
【题组二】
5．（2021 邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．
（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；
（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；
（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；
（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
6．（2021 姜堰区一模）已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）的图象与x轴交于点A、B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，将点A绕着点C顺时针旋转90°至点P．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设点P的坐标为（m，n），试判断m+n的值是否发生变化？若不变，请求出m+n的值；若变化，请说明理由；
（3）若点D、Q在平面直角坐标系中，且D（0，﹣1），D、Q、P、C四点构成 CPDQ．
①求点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
②若 CPDQ的边DQ与二次函数的图象有公共点，直接写出满足条件的a的取值范围．
7．（2021 襄州区二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．
（1）求c的值，并用含a的代数式表示b．
（2）当a＝时，
①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值．
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若线段GH的端点G、H的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围．
8．（2021 朝阳区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．
（1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；
（3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．
【题组三】
9．（2021 天心区二模）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：x+y＞3是二元一次不等式，（1，4）是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．
（1）已知A（，1），B（1，﹣1），C（2，﹣1），D（﹣1，﹣1）四个点．请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是　 　．
（2）设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G．
①求G的面积；
②反比例函数y＝（x＞0）的图象和图形G有公共点，求k的取值范围；
（3）设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点时m的取值范围．
10．（2021 西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2，
（1）该抛物线的顶点坐标为 　 　（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），其中x1＜m＜x2，且x1+x2＜2m，则y1与y2的大小关系是：y1　 　y2（填“＞，＝，或＜”号）；
（3）点C（﹣4，﹣2），将点C向右平移6个单位长度，得到点D．当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围．
11．（2021 商水县三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（1，）两点，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，y1），D（n，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c上两点（m＜n）．
Q为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点Q纵坐标的取值范围为，求m+n的值；
（3）已知点E（p，﹣p），F（2，1），若抛物线与线段EF有一个交点，求p的取值范围．
12．（2021 靖江市一模）已知抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣3，抛物线与坐标轴交于点A（3，0）、B两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P（2，a）在抛物线上时．
①如图1，过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，求直线l1的方程；
②如图2，若直线l2：y＝2x+b交抛物线于M，点M在点P的右侧，过点P（2，a）作PQ∥y轴交直线l2于点Q，延长MQ到点N使得MQ＝NQ，试判断点N是否在抛物线上？请说明理由．
【题组四】
13．（2020 滨湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC下方抛物线上一动点；
①连接CD，是否存在点D，使得AC平分∠OCD？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S，则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有两个？
14．（2020 姜堰区二模）二次函数yx2x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．
（1）当m＝1时，求顶点P的坐标；
（2）若点Q（a，b）在二次函数yx2x+m（m＞0）的图象上，且b﹣m＞0，试求a的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．
15．（2020 天心区模拟）如图，抛物线y（x﹣3m）（其中m＞0）与x轴分别交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C；
（1）点B的坐标为　（，0）　，点A的坐标为　（3m，0）　（用含m的代数式表示），点C的坐标为　（0，m）　（用含m的代数式表示）；
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n及不等式2n4x02x0恒成立，求n的取值范围．
16．（2020 开福区校级二模）如图，抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的右边），顶点为C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△ABC为等边三角形，点M（x0，y0）为抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）上任意一点，总有nmy02+40y0﹣298成立，求n的最小值；
（3）若m，点P为x轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB，当tanα＝4时，求P点的坐标．
【题组五】
17．（2020 天心区校级模拟）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；
（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足t≤1？
18．（2020 思明区校级模拟）已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1．
（1）判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假，并说明理由；
（2）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（3）①当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，直接写出m的取值范围；
②当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
19．（2020 海陵区一模）已知抛物线y1＝ax2﹣2amx+am2+4，直线y2＝kx﹣km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．
（1）抛物线的顶点坐标是　 　，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点（说明理由）；
（2）若a＜0，m＝2，t≤x≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；
（3）抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ（不包括端点）上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．
20（2020 遵化市三模）已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．
（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；
（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；
（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．
【题组六】
21．（2020 中原区校级模拟）如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；
（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；
（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．
22．（2020 丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
23．（2020 密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
24．（2020 惠安县校级模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；
（2）若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有成立．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题13二次函数与交点公共点综合问题
【例题解析】
【例1】（2021 宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．
（1）写出A点坐标；
（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）
（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；
（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
【分析】（1）令y1＝0，得到x值即为A、B的横坐标，
（2）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标．
（3）讨论k1﹣k2＝n2﹣5与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得k1、k2大小．
（4）两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1与y2得解析式（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2得解析式x2+（4n﹣1）x＝0，解得n＝，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，即（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，该方程判别式Δ＜0，②当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，解得∴n＝，由①而知直线MN与抛物线y2公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，x1≠x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1得：﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，△＝21n2+2n﹣27，当n＝时，Δ＜0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，n≠．
【解答】解：（1）∵y1＝﹣（x+4）（x﹣n），
令y1＝0，﹣（x+4）（x﹣n）＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝n，
∴A（﹣4，0）；
（2）y1＝﹣（x+4）（x﹣n）＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
∴k1＝n2+2n+4，
∵y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9，
∴k2＝﹣n2+2n+9，
（3）k1﹣k2＝n2﹣5，
①当n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2，
即当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k1＞k2；
②当n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2，
即当﹣2＜n＜2时，k1＜k2；
③当n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2，
即当n＝2或n＝﹣2时，k1＝k2；
（4）设直线MN的解析式为：y＝kx+b，
则，
由①﹣②得，k＝﹣1，
∴b＝﹣5n2+2n+9，
直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．
①如图：
当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，
联立抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n与y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
（5n﹣4）x＝﹣5n2﹣2n+9①，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：
x2+（4n﹣1）x＝0，
则x1＝0，x2＝1﹣4n②，
当x1＝0时，把x1＝0代入y1得：y＝4n，
把x1＝0，y＝4n代入直线的解析式得：
4n＝﹣5n2+2n+9，
∴5n2+2n﹣9＝0，
∴n＝，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
当x2＝1﹣4n时，把x2＝1﹣4n代入①得：
（5n﹣4）（1﹣4n）＝﹣5n2﹣2n+9，
该方程判别式Δ＜0，
所以该方程没有实数根；
②如图：
当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，
当直线MN与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
此时Δ＝0，即（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝0，
∴21n2+2n﹣27＝0，
∴n＝，
由①而知直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，
当n＝时，1﹣4n≠0，
∴x1≠x2，
所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，
③如图：
当直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点，
∵x1＝0，x2＝1﹣4n，
∴n＝，
联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n，
﹣x2+（n﹣3）x+5n2+2n﹣9＝0，
△＝（n﹣3）2+4（5n2+2n﹣9）＝21n2+2n﹣27，
当n＝时，Δ＜0，
此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，
∴n≠，
综上所述：n1＝，n2＝，n3＝，n4＝．
【例2】（2021 德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：　抛物线的顶点坐标为（2，7）　；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．
【分析】（1）根据表格中数据的特征可得顶点坐标；
（2）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式；
（3）①利用已知得出C2的顶点坐标与解析式，结合两条抛物线的位置，两抛物线联立，利用判别式求解，即可得到b的取值范围；
②利用点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，设点P（m，﹣m2﹣4m），利用待定系数法求得直线AP的解析式，从而得到点Q的坐标；利用直角三角形的边角关系求得∠ABO和∠QDO的正切值，再利用同位角相等，两直线平行得出结论．
【解答】解：（1）∵表中的数据关于（2，7）对称，
∴该抛物线的顶点为（2，7）．
故答案为：抛物线的顶点坐标为（2，7）（答案不唯一）；
（2）由题意抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：
，
解得：．
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3．
（3）①由（1）知：抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3，
∴将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2的顶点为（﹣2，4）．
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．
由题意得：或，
∴﹣x2+4x+3＝x+b或﹣x2﹣4x＝x+b．
即2x2﹣7x+2b﹣6＝0或x2+x+b＝0．
∵当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，
∴72﹣4×2×（2b﹣6）＝0或（）2﹣4×1×b＝0．
解得：b＝或b＝．
∵直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，
∴＜b＜．
②由题意画出图形如下：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣4x，
∴令y＝0，则﹣x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣4．
∵抛物线C2与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），
∴B（﹣4，0），C（0，0）．
∴OB＝4．
由①知：抛物线C2的顶点为A（﹣2，4）．
∴AE＝4，OE＝2，
∴BE＝OB﹣OE＝2．
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝2．
∵点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，
∴设点P（m，﹣m2﹣4m），则m＜0，﹣m2﹣4m＞0．
∵PD⊥x轴，
∴OD＝﹣m．
设直线AP的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m+2）x﹣2m．
令x＝0，则y＝﹣2m．
∴Q（0，﹣2m）．
∴OQ＝﹣2m．
在Rt△ODQ中，tan∠QDO＝＝＝2．
∴tan∠ABE＝tan∠QDO．
∴∠ABE＝∠QDO．
∴AB∥DQ．
【例3】（2021 黔西南州）如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．
（1）填空：m＝　1　，n＝　3　，抛物线的解析式为 　y＝2x2﹣4x+1　．
（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．
（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x+1，可求m、n的值，再将A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2+bx+c，可求函数解析式；
（2）由题意可得y＝2x+1﹣a，联立，得到2x2﹣6x+a＝0，再由判别式Δ≥0即可求a是取值范围；
（3）设Q（t，s），则M（，），P（，0），半径r＝，再由AQ2＝t2+（s﹣1）2＝（s+1）2，即可求t的值．
【解答】解：（1）将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x+1，
可得m＝1，n＝3，
∴A（0，1），B（3，7），
再将A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2+bx+c得，
，
可得，
∴y＝2x2﹣4x+1，
故答案为：1，3，y＝2x2﹣4x+1；
（2）由题意可得y＝2x+1﹣a，
联立，
∴2x2﹣6x+a＝0，
∵直线l与抛物线C仍有公共点
∴Δ＝36﹣8a≥0，
∴a≤，
∴0＜a≤；
（3）存在以AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下：
设Q（t，s），
∴M（，），P（，0），
∴半径r＝，
∵AQ2＝t2+（s﹣1）2＝（s+1）2，∴t2＝4s，
∵s＝2t2﹣4t+1，
∴t2＝4（2t2﹣4t+1），
∴t＝2或t＝，
∴P（1，0）或P（，0），
∴以AQ为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为P（1，0）或P（，0）．
【例4】．（2021 绵阳）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
【分析】（1）将A（a，﹣2a）代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），建立方程求解即可；
（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，得出P的坐标为（1，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），进而得出M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解方程即可得出答案；
（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得R'M＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，进而可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，
解得：a＝﹣，
抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，
当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为（x，y），
则，
解得或（舍去），
∴P的坐标为（1，﹣2）；
（2）经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，
由（1）方法知，P的坐标为（t，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），
由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），
矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，
然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，
将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，
解得：t＝，或t＝﹣1（舍），
将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，
解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．
所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，
时间t的取值范围是：≤t≤1+；
（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），
当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），
过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，
则R'M＝＝，
又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，
消去m得：R'M＝
＝
＝
＝，
当n＝时，R'M长度的最小值为，
此时，n＝﹣m2﹣2m+2＝，
解得：m＝﹣1±，
∴点R的坐标是（﹣1±，）．
【例5】（2020 襄阳）如图，直线yx+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线yx2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，由yx+2，得A点坐标，令y＝0，由yx+2，得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y＝0，便可求得B点坐标；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，），则N（a，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．
【解析】（1）令x＝0，得yx+2＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，得yx+2＝0，解得，x＝4，
∴C（4，0），
把A、C两点代入yx2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令y＝0，得0，
解得，x＝4，或x＝﹣2，
∴B（﹣2，0）；
（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，
设M（a，），则N（a，），
∴，
∵，
∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC，
∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，
此时M的坐标为（2，2）；
（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，
∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，
∴O′（m，m），A′（m+2，m），
当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，
解得，m＝﹣3，
当点O′（m，m）在抛物线上时，有，
解得，m＝﹣4或2，
∴当﹣3m≤﹣4或﹣3m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．
【实战演练】
【题组一】
1．（2021 苏州模拟）问题一：已知二次函数：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m为常数），当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是　y＝﹣2x﹣　．
问题二：已知直线l：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m为常数）图象的顶点为C．
（1）如图1，若点C在Rt△AOB的内部（不包括边界），求m的取值范围；
（2）如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上（AB的下方）是否存在点P，使∠ABO＝∠ABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在．请说明理由．
【分析】问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为（m，﹣2m﹣），故设x＝m，则y＝﹣2m﹣＝﹣2x﹣，即可求解；
问题二：（1）当顶点在y＝﹣2x﹣上和直线AB的交点左侧时，点C在Rt△AOB的内部（不包括边界），即可求解；
（2）证明∠BQP＝∠ABO＝∠ABP，则PB＝PQ，即可求解．
【解答】解：问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为（m，﹣2m﹣），
故设x＝m，则y＝﹣2m﹣＝﹣2x﹣，
故答案为：y＝﹣2x﹣①；
问题二：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，则点A、B的坐标分别为（3，0）、（0，﹣2）．
（1）由问题一知，顶点在y＝﹣2x﹣上，
则当顶点在y＝﹣2x﹣上和直线AB的交点左侧时，点C在Rt△AOB的内部（不包括边界），
联立①和直线l的表达式并解得x＝，
故m的取值范围为0＜m＜；
（2）设平移后抛物线的表达式为y＝x2+bx+c，
则，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
故点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点Q，
∴PH∥y轴，则∠BQP＝∠ABO＝∠ABP，
∴PB＝PQ，
设点P的坐标为（m，m2﹣m﹣2），则点Q（m，m﹣2），
则m2+（m2﹣m﹣2+2）2＝（m2﹣m﹣2﹣m+2）2，
解得m＝0（舍去）或，
故点P的横坐标为．
2．（2021 东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将抛物线y＝ax2﹣3ax+1化成顶点式，抛物线对称轴可得；
（2）先求出点A坐标，利用抛物线的对称性即可求点B的坐标；
（3）分a＞0和a＜0两种情形讨论解答，首先依据题意画出图形，观察图象，利用点Q的位置确定Q的横坐标a+1的大小，a的取值范围可以求得．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣3ax+1＝a（x2﹣3x）+1＝a+，
∴抛物线y＝ax2﹣3ax+1的对称轴为直线x＝．
（2）令x＝0，则y＝1．
∴A（0，1）．
∵点B是点A关于对称轴的对称点，
∴A与B的纵坐标相同．
∵对称轴为直线x＝，
∴点A与B到直线x＝的距离均为，
∴点B的横坐标为．
∴B（3，1）．
（3）由题意：a≠0．
①当a＞0时，如图，
∵Q（a+1，1），A（0，1），B（3，1），
∴点Q，A，B在直线y＝1上．
∵P（0，2），
∴从图上可以看到：当点Q在点A的左侧（包括点A）或在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∵A（0，1），B（3，1），
∴a+1≤0（不合题意，舍去）或a+1≥3．
∴a≥2．
②当a＜0时，如图，
由①知：点Q，A，B在直线y＝1上．
∵P（0，2），
∴从图上可以看到：当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．
∵A（0，1），B（3，1），
∴0≤a+1＜3．
∴﹣1≤a＜2．
又∵a＜0，
∴﹣1≤a＜0．
综上，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，a的取值范围为：﹣1≤a＜0或a≥2．
3．（2021 南关区一模）在平面直角坐标系中，把函数y＝ax2+2bx+2（a、b为常数）的图象记为G．
（1）求G与y轴交点的坐标．
（2）当b＝2时，G与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）①设k≠0，若点A（2﹣k，t）在G上，则点B（2+k，t）必在G上，且G过点C（3，﹣1），求G的函数表达式．
②点D（1，y1）、E（4，y2）是①中函数图象上的两点，比较y1与y2的大小．
③点P（m，y3）、Q（m+3，y4）是①中函数图象上的两点，比较y3与y4的大小．
（4）矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F（1，﹣2）、H（4，﹣2）、M（4，4）、N（1，4），当a＝﹣1时，函数y＝ax2+2bx+2（x≥0）的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）将x＝0代入求解．
（2）分类讨论a＝0及a≠0两种情况，其中a≠0时，方程Δ＝0满足题意．
（3）①由A，B两点坐标可得对称轴为直线x＝2，即可得出a，b的关系，再将点C坐标代入求解．
②分别将x＝1，4代入求解．
③图象开口向上，根据抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大求解．
（4）b从小到大结合图象与图形交点情况画图求解．
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+2bx+2得y＝2，
∴G与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）当b＝2时，y＝ax2+4x+2，
①当a＝0时，一次函数y＝4x+2与x轴只有一个交点．
②若a≠0，由抛物线y＝ax2+4x+2与x轴只有一个交点可得：
ax2+4x+2＝0中Δ＝0，
即16﹣8a＝0，
解得a＝2．
∴a＝0或a＝2．
（3）①∵＝2，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣＝2，
∴b＝﹣2a，
将点C（3，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+2得：
﹣1＝9a﹣12a+2，
解得a＝1．
∴y＝x2﹣4x+2．
②把x＝1，x＝4分别代入抛物线解析式得y1＝﹣1，y2＝2，
∴y1＜y2．
③∵抛物线y＝x2﹣4x+2开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大，
∴|m﹣2|＝|m+3﹣2|时，y3＝y4，
解得m＝．
|m﹣2|＞|m+3﹣2|时，y3＞y4，
解得m＜．
|m﹣2|＜|m+3﹣2|时，y3＜y4，
解得m．
（4）图象y＝﹣x2+2bx+2（x≥0），开口向下，对称轴为直线x＝b，
与NF所在直线x＝1交点坐标为（1，1+2b），与MN所在直线x＝4交点坐标（4，﹣14+8b），
当b≤1时，如图，抛物线经过点F（1，﹣2）时1+2b＝﹣2，
解得b＝﹣，
b增大满足题意，b＝1时抛物线顶点落在NF上，
∴﹣＜b≤1满足题意．
b增大，抛物线对称轴在NF右侧，当抛物线过点N（1，4）时，1+2b＝4，
解得b＝，
b增大，抛物线经过点M（4，4）时，﹣14+8b＝4，
解得b＝，
∴≤b＜满足题意．
综上所述，﹣＜b≤1或≤b＜．
4．（2021 九江一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；
（3）已知点B（m﹣1，m﹣2），C（2，2）．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
【分析】（1）由y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m，即可求解；
（2）点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），则OA＝m＝，解得m＝1，即可求解；
（3）分m≤2、2＜m＜3、m≥3三种情况，利用数形结合的方法即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m，
故点A的坐标为（m，m）；
（2）∵点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），
则OA＝m＝，解得m＝1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x；
（3）将点B的坐标代入抛物线表达式得：m﹣2＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+m，此方程无解；
将点C的坐标代入抛物线表达式得：2＝﹣22+2m×2﹣m2+m，解得m＝2或3，
如图1，当m≤2时，抛物线和线段BC有公共点；
如图2，当2＜m＜3时，抛物线和线段BC无公共点；
如图3，当m≥3时，抛物线和线段BC有公共点；
故m≤2或m≥3时，抛物线和线段BC有公共点．
【题组二】
5．（2021 邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．
（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；
（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；
（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；
（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝ax2﹣4ax+1，列方程求出a的值；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x＝2，可知顶点的纵坐标就是y的最小值﹣1，由此求出抛物线的解析式，再由二次函数的性质求出y的最大值；
（3）由直线与抛物线都经过y轴上的定点（0，1），可知直线与抛物线的两个交点到x轴的距离都为1，由另一个交点的纵坐标为﹣1，求出这个点的坐标并且代入抛物线的解析式即可求出此时a的值；
（4）抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形，这样只考虑x轴下方（或上方）的情况即可，即抛物线G当x等于1时的y值不小于﹣2而小于﹣1，其顶点的纵坐标不小于﹣3而小于﹣2，列不等式组求出a的取值范围．
【解答】解：（1）把A（﹣1，6）代入y＝ax2﹣4ax+1，得a+4a+1＝6，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．
（2）∵y＝ax2﹣4ax+1＝a（x﹣2）2﹣4a+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线的顶点的横坐标在1≤x≤5的范围内，
∴抛物线的顶点的纵坐标就是y的最小值﹣1，
∴﹣4a+1＝﹣1，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1，
当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y最大＝﹣2+1＝﹣；
当2＜x≤5时，y随x的增大而增大，当x＝5时，y最大＝﹣10+1＝，
∵﹣＜，
∴y的最大值为．
（3）∵直线y＝﹣x+1及抛物线y＝ax2﹣4ax+1与y轴的交点都是（0，1），
∴直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1的两个交点到x轴的距离都是1，且其中一个交点坐标为（0，1），
∴另一个交点的纵坐标为﹣1，
当y＝﹣1时，由﹣1＝﹣x+1，得x＝2，
∴另一交点坐标为（2，﹣1），
把（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1得4a﹣8a+1＝﹣1，解得．
（4）由题意可知，抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形，
∴该区域内x轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，x轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于x轴对称．
如图，对于抛物线G，当x＝1时，y＝﹣3a+1；当x＝2时，y＝﹣4a+1，
由题意，得，
解得＜a≤1，
∴a的取值范围是＜a≤1．
6．（2021 姜堰区一模）已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）的图象与x轴交于点A、B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，将点A绕着点C顺时针旋转90°至点P．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设点P的坐标为（m，n），试判断m+n的值是否发生变化？若不变，请求出m+n的值；若变化，请说明理由；
（3）若点D、Q在平面直角坐标系中，且D（0，﹣1），D、Q、P、C四点构成 CPDQ．
①求点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
②若 CPDQ的边DQ与二次函数的图象有公共点，直接写出满足条件的a的取值范围．
【分析】（1）根据Y＝0，解方程即可求得A、B两点的坐标；
（2）求出C点坐标，根据旋转性质，表示出P点坐标即可；
（3）①根据平行四边形的性质，点的坐标平移规律即可求解；②分类讨论，根据Q点和C点的位置确定a的取值范围即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，0＝ax2+2ax﹣3a，
解得，x1＝1，x2＝﹣3，
A、B两点的坐标为：A（1，0），B（﹣3，0）；
（2）当x＝0，y＝﹣3a，C点坐标为（0，﹣3a），a＞0时，
如图所示，
作PH⊥y轴于H，由旋转得，
△AOC≌△CHP，
PH＝OC＝3a，CH＝OA＝1，
则m＝3a，n＝﹣3a﹣1，m+n＝﹣1，
当a＜0时，同理可得，
m＝3a，n＝﹣3a﹣1，m+n＝﹣1；
（3）①由（2）得P（3a，﹣3a﹣1），
当a＜0时，如图所示，
根据平行四边形的性质可知，点P平移到点C，横坐标加﹣3a，纵坐标加1，
则可知Q点坐标为（0﹣3a，﹣1+1），即（﹣3a，0）；
当a＞0时，如图所示，
根据平行四边形的性质可知，点P平移到点C，横坐标减3a，纵坐标加1，
则可知Q点坐标为（0﹣3a，﹣1+1），即（﹣3a，0）；
综上，Q点坐标为（﹣3a，0）；
②当a＜0时，如上图所示，
当抛物线经过Q点时，DQ与二次函数的图象刚好有公共点，
把Q（﹣3a，0）代入得，
0＝9a ﹣6a2﹣3a，
解得a1＝0（舍去），a2＝1（舍去），a3＝﹣，
∴a的取值范围为a≤﹣；
当a＞0时，如上图所示，
当抛物线经过Q点时，DQ与二次函数的图象刚好有公共点，
把Q（﹣3a，0）代入得，
0＝9a ﹣6a2﹣3a，
解得a1＝0（舍去），a2＝1，a3＝﹣（舍去），
∴a的取值范围为a≥1；
当点C在D点上方时，DQ与二次函数的图象刚好有公共点，
此时﹣3a＞﹣1，
解得a＜，
∴a的取值范围为0＜a＜，
综上a的取值范围为：a≤﹣或0＜a＜或a≥1．
7．（2021 襄州区二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．
（1）求c的值，并用含a的代数式表示b．
（2）当a＝时，
①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值．
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若线段GH的端点G、H的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围．
【分析】（1）分别把 A（0，6）和B（﹣2，﹣2）代入解析式，可得c和b的值．
（2））①当时，此函数表达式为，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x＝2时，y有最大值．②令y＝0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A（0，6），C（﹣6，0）代入可得直线AC解析式，设则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．
（3）①当a＞0时，若抛物线与线段GH只有一个公共点，当x＝1时，y＝3a+10，则抛物线上的点（1，3a+10）在H点的上方，②当a＜0时，抛物线与线段只有一个公共点，又图象经过点A（0，6），和B（﹣2，﹣2）则抛物线的顶点必在线段GH上，即．可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）把（0，6）代入y＝ax2+bx+c，
得c＝6．
把（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx+6，
得4a﹣2b+6＝﹣2，
∴b＝2a+4．
（2）①当时，此函数表达式为，图象开口向上．
由顶点坐标公式可知顶点坐标为，
∵﹣4≤x≤2，
∴当时，y的最小值为．
观察图象结合增减性，当x＝2时，y有最大值，
把x＝2代入，
y的最大值为20．
②∵，
令y＝0，则x＝﹣6或，
∵点C在左侧，
∴C（﹣6，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A（0，6），C（﹣6，0）代入，
得k＝1，m＝6，
∴y＝x+6
设则F（x，x+6）
∴，
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，
∴∠COA＝90°，
∵DF∥AO，
∴∠DFM＝∠CAO＝45°，
，
设△FDM的周长为l，
则
当FD最大时，周长最大，
又∵，
又∵且﹣6＜x＜0，
∴x＝﹣3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．
把x＝﹣3代入，
得，
∴．
（3）①当a＞0时，若抛物线与线段GH只有一个公共点（如图），
y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a+4）x+6，
当x＝1时，y＝3a+10，
则抛物线上的点（1，3a+10）在H点的上方，
∴25a﹣10a﹣20+6＜10．
解得．
0＜．
②当a＜0时，
∵抛物线与线段只有一个公共点，
又图象经过点A（0，6），和B（﹣2，﹣2）则抛物线的顶点必在线段GH上，（如图）
∴．
即4a×6﹣（2a+4）2＝40a，
解得或，
∵a＜0，对称轴在y轴左侧，2a+4＜0，
∴a＜﹣2，故只能是
综上，a的取值范围是或，
8．（2021 朝阳区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．
（1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；
（3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）由顶点公式（）得；
（2）由“﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0”，列出等式，求出m的值，得到函数表达式；
（3）数形结合，找到直线l特殊的位置，求出对应的k，最后得出k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：a＝1，b＝﹣2，c＝1+m，
∴＝＝1，＝m，
∴顶点坐标为：（1，m）．
（2）∵当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，如图，
∴当x＝﹣1时，y＝0，即：1+2+1+m＝0，
解得：m＝﹣4，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（3）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3．
∴沿x轴向上翻折后的图象解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
当直线l经过点A（﹣1，0）时，直线与M的只有一个交点，如图中直线l，
把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x+k，得：1+k＝0，
解得：k＝﹣1，
当直线l经过点B（3，0）时，直线与M的有三个交点，如图中直线m，
把点B（3，0）代入y＝﹣x+k，得：﹣3+k＝0，
解得：k＝3，
当直线l与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，
由，得：x2﹣3x+k﹣3＝0，
∴Δ＝9﹣4（k﹣3）＝0，
解得：k＝，
∴k的取值范围：﹣1＜k＜3或k＞．
【题组三】
9．（2021 天心区二模）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：x+y＞3是二元一次不等式，（1，4）是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．
（1）已知A（，1），B（1，﹣1），C（2，﹣1），D（﹣1，﹣1）四个点．请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是　A，B，C　．
（2）设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G．
①求G的面积；
②反比例函数y＝（x＞0）的图象和图形G有公共点，求k的取值范围；
（3）设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点时m的取值范围．
【分析】（1）x﹣y﹣2≤0变形为y≥x﹣2，分析出（x，y）满足y≥x﹣2的点在这条直线上及直线的上方，得A，B，C是x﹣y﹣2≤0的解的点；
（2）①的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G，是直线y＝﹣x+6，x＝1，y＝2所围成的三角形，当x＝1时，y＝﹣x+6＝5，当y＝2时，x＝4，得三顶点坐标分别为（1，2），（1，5），（4，2），即可求解；
②点E，F，G的坐标分别为（1，5），（4，2），（1，2），根据反比例函数的几何意义，当反比例函数经过点C时，k最小＝2，直线AB的函数关系式为y＝﹣x+6，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6），k＝x（﹣x+6）＝﹣（x﹣3）2+9，当x＝3时，k最大＝9，即可求解；
（3）3）的解集围成的图形为M，是四条直线y＝2x﹣1，y＝﹣2x+1，y＝2x+1，y＝2x﹣1所围成的四边形边上及内部，抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点，分两种情况：①当m＜0时，②当m＞0时，分析出临界位置，即可求解．
【解答】解：（1）x﹣y﹣2≤0变形为y≥x﹣2，
∵y＝2x﹣2的图象如图所示，
∴（x，y）满足y≥x﹣2的点在这条直线上及直线的上方，
∴A，B，C是x﹣y﹣2≤0的解的点，
故答案为A，B，C；
（2）①的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G，是直线y＝﹣x+6，x＝1，y＝2所围成的三角形，如图所示，
当x＝1时，y＝﹣x+6＝5，
当y＝2时，x＝4，
∴三顶点坐标分别为（1，2），（1，5），（4，2），
∴S＝＝；
②∵点E，F，G的坐标分别为（1，5），（4，2），（1，2），
根据反比例函数的几何意义，当反比例函数经过点C时，k最小＝2，
直线AB的函数关系式为y＝﹣x+6，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6），
∴k＝x（﹣x+6）＝﹣（x﹣3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x＝3时，k最大＝9，
∴k的取值范围是2≤k≤9；
（3）3）的解集围成的图形为M，
是四条直线y＝2x﹣1，y＝﹣2x+1，y＝2x+1，y＝2x﹣1所围成的四边形边上及内部，
抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点，分两种情况：
①当m＜0时，
交点的临界位置是经过点（0，1），如图3，
把点（0，1）代入抛物线y＝mx2﹣2mx+m+，
得m+＝1，
解得m＝，
∴0＜m≤；
②当m＞0时，
交点的临界位置是经过点（，0），如图4，
把点（，0）代入抛物线y＝mx2﹣2mx+m+，
得m﹣2m +m+＝0，
解得m＝﹣2，
∴﹣2≤m＜0；
∴0＜m≤或﹣2≤m＜0．
10．（2021 西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2，
（1）该抛物线的顶点坐标为 　（m，m+2）　（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），其中x1＜m＜x2，且x1+x2＜2m，则y1与y2的大小关系是：y1　＜　y2（填“＞，＝，或＜”号）；
（3）点C（﹣4，﹣2），将点C向右平移6个单位长度，得到点D．当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围．
【分析】（1）运用配方法求出抛物线的顶点坐标即可；
（2）判断出抛物线的开口方向和对称轴，再根据点距离对称轴的远近进行判断函数值的大小即可；
（3）根据图象过线段的端点，可得m的值，从而可得答案．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2
＝﹣（x﹣m）2+m+2
∴抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2
的顶点坐标为（m，m+2），
故答案为：（m，m+2）；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（m，m+2），
∴抛物线的对称轴方程为x＝m，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
又x1＜m＜x2，且x1+x2＜2m，
∴0＜x2﹣m＜m﹣x1，
∴x1到对称轴的距离大于x2到对称轴的距离，
∴y1＜y2，
故答案为：＜；
（3）点C（﹣4．﹣2），将点C向右平移6个单位长度，得到点D （2，﹣2），
∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2经过点C（﹣4，﹣2）时，则﹣16﹣2m×4﹣m2+m+2＝﹣2，
解得：m1＝﹣3，m2＝﹣4，
又抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2经过点C（2，﹣2）时，则﹣4+2m×2﹣m2+m+2＝﹣2，
解得：m3＝0，m4＝5，
所以，结合图象可得，y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，m的取值范围是：﹣4≤m＜﹣3或0＜m≤5．
11．（2021 商水县三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（1，）两点，对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，y1），D（n，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c上两点（m＜n）．
Q为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点Q纵坐标的取值范围为，求m+n的值；
（3）已知点E（p，﹣p），F（2，1），若抛物线与线段EF有一个交点，求p的取值范围．
【分析】（1）把点A、B坐标代入解析式求解；
（2）利用Q点纵坐标的取值范围，反推出x的值，进而得到m+n的值；
（3）数形结合法得出抛物线与线段EF有一个交点的情况，再根据具体情况求出两端的E点坐标，从而求出p的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：，
把点A（2，0），B（1，）代入抛物线y＝ax2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x．
（2）∵点Q纵坐标的取值范围为，
∴当y＝时，，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
得点（﹣1，），（3，），
当y＝时，，
解得：x3＝，x4＝，
得点（，），（，），
如图（1），
∵m＜n，
∴m＝﹣1，n＝，
∴m+n＝﹣1+＝，
如图（2），m＝，n＝3，
∴m+n＝+3＝4+，
综上所述：m+n＝或4+．
（3））∵点E（p，﹣p），
∴点E在直线y＝﹣x上，
设直线EF为：y＝kx+b（k≠0），
把点F（2，1）代入，得：
2k+b＝1，化简得：b＝1﹣2k，
∴直线EF的解析式为：y＝kx+1﹣2k，
由，得：x2+（2k﹣2）x+（2﹣4k）＝0，
∵抛物线与线段EF有一个交点，
∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4（2﹣4k）＝0，
解得：k1＝﹣1﹣，k2＝﹣1+，
当k＝﹣1﹣时，直线EF的解析式为：y＝（）x+（3﹣2），
由，解得：x1＝，
当k＝﹣1+时，直线EF的解析式为：y＝（﹣﹣1）x+（3+2），
由，解得：x4＝，
联立y＝x2+x和y＝﹣x成方程组，
解得：x2＝0，x3＝4，
∴p＝或或0＜p＜4．
12．（2021 靖江市一模）已知抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣3，抛物线与坐标轴交于点A（3，0）、B两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P（2，a）在抛物线上时．
①如图1，过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，求直线l1的方程；
②如图2，若直线l2：y＝2x+b交抛物线于M，点M在点P的右侧，过点P（2，a）作PQ∥y轴交直线l2于点Q，延长MQ到点N使得MQ＝NQ，试判断点N是否在抛物线上？请说明理由．
【分析】（1）将A（3，0）代入y＝x2+（m﹣2）x﹣3中，求出m的值，进而即可求解；
（2）①设直线l1的解析式为y＝mx+n，联立抛物线和直线的函数解析式，得到关于x一元二次方程，结合判别式得到m，n的关系，进而即可得到答案；
②过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥l，过点N作NF⊥l，可得△MEQ≌△NFQ，设QE＝QF＝n，表示出xM＝2+n，xN＝2﹣n，再联立：，求出另外一个交点的横坐标为x1，进而即可得到结论．
【解答】解：（1）将A（3，0）代入y＝x2+（m﹣2）x﹣3中，
得：0＝32+（m﹣2）×3﹣3，
解得：m＝0，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①设直线l1的解析式为y＝mx+n，
∴x2﹣2x﹣3＝mx+n，
即：x2﹣（2+m）x﹣（3+n）＝0，
∵过点P且不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，
∴△＝（2+m）2+4×1×（3+n）＝0①，
∵P（2，a）在抛物线上，
∴a＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
即：P（2，﹣3），
将P（2，﹣3）代入y＝mx+n得：2m+n＝﹣3②，
∴联立①②得：，
解得：，
∴直线l1的解析式为：y＝2x﹣7；
②点N在抛物线上，理由如下：
过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥l，过点N作NF⊥l，
在△MEQ和△NFQ中，
，
∴△MEQ≌△NFQ（AAS），
∴QE＝QF，FN＝ME，
设QE＝QF＝n，
∵PQ∥y轴，
∴xP＝xQ＝2，
∴xM＝xQ+QE＝2+n，
xN＝xQ﹣QF＝2﹣n，
联立：
，
得：x2﹣4x﹣3﹣b＝0，
设直线l2与抛物线的另一个交点的横坐标为x1，
则x1+xM＝4，
∴x1＝4﹣xM＝2﹣n＝xN，
∴另外一个交点就是N点，即点N在抛物线上．
【题组四】
13．（2020 滨湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC下方抛物线上一动点；
①连接CD，是否存在点D，使得AC平分∠OCD？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
②在①的条件下，若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S，则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有两个？
【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点A、C的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）①作点O关于直线AC的对称点F，过F作FG⊥y轴于点G，延长CF与抛物线交于点D，此时∠ACO＝∠ACD，即AC平分∠OCD，由三角形面积公式求得OE，进而求得OF，再证明△OAC∽△GOF，便可求得F点的坐标，进而求得直线CF的解析式，最后求得直线CF与抛物线的交点坐标便可；
②需要分类讨论：点P在OC的左侧、右侧两种情况．利用分割法求得S的值，进行比较即可得到答案．
【解析】（1）令x＝0，得yx﹣2＝﹣2，
令y＝0，得yx﹣2＝0，解得x＝4，
∴A（4，0），C（0，﹣2），
把A（4，0），C（0，﹣2）代入yx2+bx+c中，得
，
解得，，
∴抛物线的函数表达式为yx2x﹣2；
（2）①作点O关于直线AC的对称点F，过F作FG⊥y轴于点G，延长CF与抛物线交于点D，
此时∠ACO＝∠ACD，即AC平分∠OCD，
∵OA＝4，OC＝2，
∴AC＝2，
∵OF⊥AC，
∴OE，
∴，
∵∠COE+∠ACO＝∠COE+OFG＝90°，
∴∠ACO＝∠OFG，
∵∠AOC＝∠OGF＝90°，
∴△OAC∽△GOF，
∴，即，
∴GF，OG，
∴F（），
设直线CF的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，，
∴直线CF的解析式为：y，
联立方程组，
解得，，，
∴存在点D，使得AC平分∠OCD，点D的横坐标为；
②设P（x，x2x﹣2）．
若点P在D点的左侧，如图2，过D作DE⊥x轴于E，连接OP，CP，PE，PD，AD，
S＝S△OCP+S△OPE+S△PDE+S△ADE﹣S△OAC
（4）4×2
（x）2，
∴当x时，S取最大值为，
若点P在D点的右侧，如图3，过D作DE⊥x轴于点E，连接CD，DP，PE，PA．
S＝S梯形OCDE+S△PDE+S△APE﹣S△AOC
（x）2，
∴当x时，S取最大值为，
综上，根据抛物线的对称性质可知，当S时，P点有且只有两个．
14．（2020 姜堰区二模）二次函数yx2x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．
（1）当m＝1时，求顶点P的坐标；
（2）若点Q（a，b）在二次函数yx2x+m（m＞0）的图象上，且b﹣m＞0，试求a的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．
【分析】（1）当m＝1时，yx2x+m（x﹣2）2，即可求解；
（2）对于yx2x+m，令x＝0，则y＝m，即点A（0，m），b﹣m＞0，即点Q在点A的上方，即可求解；
（3）①证明△AOB≌△DHA（AAS），则HD＝AO＝m，AH＝BO＝3，即可求解；②分x＝m、m≥5、m≥2三种情况，即可求解．
【解析】（1）当m＝1时，yx2x+m（x﹣2）2，
故点P（2，）；
（2）对于yx2x+m，令x＝0，则y＝m，即点A（0，m），
∵b﹣m＞0，即点Q在点A的上方，
而抛物线的对称轴为x＝2，故点A关于对称轴的对称点的横坐标为4，
故a的取值范围为：a＜0或a＞4；
（3）①由抛物线的表达式知，点P（2，m），
由点A（0，m）和点P的坐标得，直线PA的表达式为ymx+m，
令ymx+m＝0，解得x＝3，故点B（3，0），
过点D作DH⊥y轴于点H，
∵∠HAD+∠HDA＝90°，∠HAD+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠HDA，
∵∠AOB＝∠DHA＝90°，AD＝AB，
∴△AOB≌△DHA（AAS），
∴HD＝AO＝m，AH＝BO＝3，
故D（m，m+3）；
②同①的方法得，C（m+3，3），
∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，
∴当x＝m时，y≤m+3，可得，
化简得：m3﹣4m2≤18．
∵m＞0，
∴，
∴，
显然：m＝1，2，3，4是上述不等式的解，
当m≥5时，（m﹣2）2﹣4≥5，，此时，，
∴符合条件的正整数m＝1，2，3，4；
当x＝m+3时，y≥3，可得m≥3，
∵m＞0，
∴，即，
显然：m＝1不是上述不等式的解，
当m≥2时，（m+1）2+2≥11，，此时，恒成立，
∴符合条件的正整数m＝2，3，4；
综上：符合条件的正整数m的值为2，3，4．
15．（2020 天心区模拟）如图，抛物线y（x﹣3m）（其中m＞0）与x轴分别交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C；
（1）点B的坐标为　（，0）　，点A的坐标为　（3m，0）　（用含m的代数式表示），点C的坐标为　（0，m）　（用含m的代数式表示）；
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n及不等式2n4x02x0恒成立，求n的取值范围．
【分析】（1）分别令x＝0和y＝0，即可求解；
（2）根据特殊三角函数值可得∠CAO＝30°，证明△OPA∽△CPO，则∠POC＝∠OAC＝30°，可得tan∠APO，过P作PE⊥x轴于E，表示OE和PE的长，根据点P在第二象限，可得P的坐标；
（3）根据中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的解析式可得m的值，计算对称轴，得x0的取值范围，根据两个不等式确定其解集即可．
【解析】（1）当x＝0时，y（﹣3m）m，
∴C（0，m），
∴OCm，
当y＝0时，即y（x﹣3m）＝0，
解得：x1，x2＝3m，
∵A在B的右侧，其中m＞0，
∴A（3m，0），点B（，0）；
故答案为：（，0）、（3m，0）、（0，m）；
（2）Rt△AOC中，tan∠OAC，
∴∠CAO＝30°，
∵OP2＝PC PA，
∵∠OPC＝∠OPC，
∴△OPA∽△CPO，
∴∠POC＝∠OAC＝30°，
∵∠ACO＝∠POC+∠APO，
∴∠APO＝60°﹣30°＝30°，
∴tan∠APO，
过P作PE⊥x轴于E，
∵∠APO＝∠OAC＝30°，
∴PO＝OA＝3m，∠POE＝60°，
Rt△PEO中，∠EPO＝30°，
∴OEOP，PE，
∵点P在第二象限，
∴P（，）；
（3）由（2）知：P（，），
∵点Q恰好为OP的中点，
∴Q（，），
∵Q在抛物线上，
则（）（3m），
解得：m，
∴抛物线的解析式为：y（x）（x﹣3）x2x+3，
则对称轴是x，
作抛物线的对称轴交抛物线于点F，
∵M在点C与顶点F之间（含点C与顶点F），
∴0≤x0，
∵n，
设w1＝x0，
∵1＞0，
∴w1随x0的增大而增大，
∴当x0时，w1有最大值，即有最小值为2，
∴n≤2，
对于不等式2n4x0x0，
则n≥﹣2x02（x0）2，
设w2＝﹣2（x0）2，
∵﹣2＜0，
∴w2有最大值，
∵0，
∴当x0时，w2有最大值为，
∴n，
综上，n的取值范围是n≤2．
16．（2020 开福区校级二模）如图，抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的右边），顶点为C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△ABC为等边三角形，点M（x0，y0）为抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）上任意一点，总有nmy02+40y0﹣298成立，求n的最小值；
（3）若m，点P为x轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB，当tanα＝4时，求P点的坐标．
【分析】（1）令y＝mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或﹣6，即可求解；
（2）设tmy02+40y0﹣298，则t＝﹣4y02+40y0+2＝﹣4（y0﹣5）2﹣298≥﹣4（45）2+2＝﹣10，故有n10，即可求解；
（3）证明α＝∠MCH，在△CHM中，tan∠CMH，tan∠MCH＝tanα＝4，利用三角形的边角关系即可求出点H的坐标，进而求解．
【解析】（1）令y＝mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或﹣6，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；
（2）由点AB的坐标知，AB＝8，函数的对称轴为x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝mx2+4mx﹣12m＝﹣16m，
∵△ABC为等边三角形，则yC＝ACsin∠CAB＝ABsin60°＝84，
故点C的坐标为（﹣2，4），
则﹣16m＝4，解得m，
则抛物线的最大值为4，即y0≤4，
设tmy02+40y0﹣298，
则t＝﹣4y02+40y0﹣298＝﹣4（y0﹣5）2+2≥﹣4（45）2+2＝﹣10，
故有n10，解得n，
故n的最小值为；
（3）连接BC并延长交y轴于点M，设直线CP与y轴交于点H，
过点H作HK⊥CM于点K，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝2x+12，则点M（0，12），
则tan∠CBA＝2，则tan∠CMH，
由点C、M的坐标得，CM，
根据函数的对称性，BC＝CA，则∠ABC＝CAB，
则α＝∠CAB+∠CPB＝∠CBA+∠CPB＝∠MCH，
在△CHM中，tan∠CMH，tan∠MCH＝tanα＝4，
则设HK＝4x，则CK＝x，MK＝8x，
则CM＝CK+KM＝x+8x＝9x，解得x，
HMx，
则OH＝12，故点H（0，），
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为yx，
令y＝0，则x＝34，
当点P在y轴左侧时，
同理可得，点P（﹣38，0），
故点P的坐标为（34，0）或（﹣38，0）．
【题组五】
17．（2020 天心区校级模拟）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；
（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足t≤1？
【分析】（1）在x的取值范围内，y（x＞0）的y无最大值，不是有界函数；y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，其边界值是4；
（2）由一次函数的增减性，可得当x＝a时，ymax＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，由边界值定义可列出不等式，即可求解；
（3）先设m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，y＝﹣m＜﹣1，此时边界值t＞1，与题意不符，故m≤1，判断出函数y＝x2所过的点，结合平移，即可求解．
【解析】（1）∵y（x＞0）的y无最大值，
∴y不是有界函数；
∵y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，
当x＝﹣4时，y＝﹣2，
当x＝2时，y＝4，
对于﹣4≤x≤2时，任意函数值都满足﹣4＜y≤4，
∴边界值为4；
（2）∵y＝﹣x+2，y随x的增大而减小，
∴当x＝a时，ymax＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，
∵边界值是3，b＞a，
∴﹣3≤﹣b+2＜3，
∴﹣1＜b≤5；
（3）若m＞1，图象向下平移m个单位后，x＝0时，y＜﹣m＜﹣1，此时函数的边界值t＞1，不合题意，故m≤1．
∴函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0），当x＝﹣1时，ymax＝1，当x＝0时，ymin＝0，
∴向下平移m个单位后，ymax＝1﹣m，ymin＝﹣m，
∵边界值t≤1，
∴1﹣m≤1互﹣1≤﹣m，
∴0≤m或m≤1．
18．（2020 思明区校级模拟）已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1．
（1）判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假，并说明理由；
（2）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（3）①当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，直接写出m的取值范围；
②当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
【分析】（1）抛物线C的对称轴为x＝h，当h＝0时，抛物线C的对称轴即为y轴，即可求解；
（2）由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，﹣1），然后证明点（h，﹣1）在直线y2＝kx﹣kh﹣1的解析式上即可；
（3）①令y3＝x﹣3，依据抛物线的解析式可得到抛物线的顶点在直线y＝﹣1上，由m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立可得到抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），然后找出抛物线y1＝a（x﹣2）2﹣1位于直线y3＝x﹣3上方时自变量x的取值范围，即可求解；
②由（2）可知抛物线C与直线l都过点A（h，﹣1）．当0＜a≤2时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x＝h+2时，y2＞y1恒成立，然后由y2＞y1可得到关于k的不等式，进而求解．
【解析】（1）抛物线C的对称轴为x＝h，
当h＝0时，抛物线C的对称轴即为y轴，
故命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”为假命题；
（2）抛物线C的顶点坐标为（h，﹣1），
当x＝h 时，y2＝kh﹣kh﹣1＝﹣1，
所以直线l恒过抛物线C的顶点；
（3）①当a＝﹣1时，抛物线C解析式为y1＝﹣（x﹣h）2﹣1，
不妨令y3＝x﹣3，
如图1所示，抛物线C的顶点在直线y＝﹣1上移动，
当m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，
则可知抛物线C的顶点为（2，﹣1），
设抛物线C与直线y3＝x﹣3 除顶点外的另一交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最小值，
由，
解得：或，
所以m的最小值为1，
m的取值范围为：2≥m≥1；
②如图2所示，由（2）可知：抛物线C与直线l都过点A（h，﹣1）．
当0＜a≤2时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x＝h+2时，y2＞y1恒成立．
所以k（h+2）﹣kh﹣1＞a（h+2﹣h）2﹣1，整理得：k＞2a．
又因为0＜a≤2，
所以0＜2a≤4，
所以k＞4．
19．（2020 海陵区一模）已知抛物线y1＝ax2﹣2amx+am2+4，直线y2＝kx﹣km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．
（1）抛物线的顶点坐标是　 　，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点（说明理由）；
（2）若a＜0，m＝2，t≤x≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；
（3）抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ（不包括端点）上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．
【分析】（1）由抛物线y1＝ax2﹣2amx+am2+4＝a（x﹣m）2+4，可得顶点坐标，由x＝m时，可得y2＝4，即直线y2＝kx﹣km+4恒过点（m，4），即可求解；
（2）由二次函数的性质可得当x＝2时，y1有最大值4，结合t≤x≤t+2，y1的最大值为4，列出不等式组，可求解；
（3）先求出点Q的横坐标，结合“1≤k≤4，线段PQ（不包括端点）上至少存在两个横坐标为整数的点”，分两种情况，列出不等式可求解．
【解析】（1）∵y1＝ax2﹣2amx+am2+4＝a（x﹣m）2+4，
∴顶点坐标为（m，4），
∵y2＝kx﹣km+4＝k（x﹣m）+4，
当x＝m时，y2＝4，
∴直线y2＝kx﹣km+4恒过点（m，4），
∴抛物线与直线都经过同一点（m，4），
故答案为（m，4）；
（2）当m＝2时，y1＝a（x﹣2）2+4，
∵a＜0，
∴当x＝2时，y1有最大值4，
又∵t≤x≤t+2，y1的最大值为4，
∴，
∴0≤t≤2；
（3）令y1＝y2，则有ax2﹣2amx+am2+4＝kx﹣km+4，解得x1＝m，x2＝m，
∵线段PQ上至少存在两个横坐标为整数的点，k＞0，
∴当a＞0时，mm＞2，
∴2a＜k，
又∵1≤k≤4，
∴2a＜1，即a，
∴0＜a；
同理当a＜0时，可求得a＜0，
综上所述：0＜a或a＜0．
20（2020 遵化市三模）已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．
（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；
（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；
（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）点P（2，﹣3）代入抛物线上，则k＝﹣3﹣a；抛物线L的对称轴为直线x1，即x＝1．
（2）点（3，3），代入抛物线上，则有k＝﹣3﹣a，解得a＝2，k＝﹣5，即可求解．
（3）顶点坐标（1，﹣a﹣3），2＜﹣a﹣3≤3时在指定区域内有5个整数点．
（4）当a＞0时，t≥3或t+1≤﹣1；当a＜0时，t+1≤3或t≥﹣1．
【解析】（1）∵点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数且a≠0）上，
∴﹣3＝4a﹣4a+a+k，
∴k＝﹣3﹣a；
抛物线L的对称轴为直线x1，即x＝1，
与y轴的交点为（0，3）．
（2）∵L经过点（3，3），
∴9a﹣6a+a+k＝3，
∵k＝﹣3﹣a，
∴a＝2，k＝﹣5
∴L的表达式为y＝2x2﹣4x﹣3；
∵y＝2（x﹣1）2﹣5，
∴顶点坐标为（1，﹣5）；
（3）顶点坐标（1，﹣a﹣3），
∵在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，
∴1＜﹣a﹣3≤2，
∴﹣5≤a＜﹣4；
（4）当a＞0时，t≥3或t+1≤﹣1，
∴t≥3或t≤﹣2；
观察图象，此时有不符合条件的点使y1≥y2，
故此情况舍去；
当a＜0时，t+1≤3且t≥﹣1，
∴﹣1≤t≤2；
综上所述，﹣1≤t≤2；
【题组六】
21．（2020 中原区校级模拟）如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；
（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；
（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．
【分析】（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为，则，即可求解；
（2）△APC的面积S＝S△PHA+S△PHCPH×OA6×（x+4x2x﹣4）＝﹣2x2+12（1＜x＜6），即可求解；
（3）当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点P（x，y），则x+y＝0，即可求解；
（4）求出直线AP的表达式为：y（m﹣1）（x﹣6），则直线OQ的表达式为：y（m﹣1）x②，联立①②求出Q的坐标，又四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，即可求解．
【解析】（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为，则，解得，
故抛物线的抛物线为：yx2x+4；
（2）对于yx2x+4，令y＝0，则x＝1或6，故点B、A的坐标分别为（1，0）、（6，0）；
如图，过点P作PH∥y轴交AC于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+4①，
设点P（m，m2m+4），则点H（m，m+4），
△APC的面积S＝S△PHA+S△PHCPH×OA6×（m+4m2m﹣4）＝﹣2m2+12m（1＜m＜6），
故在0＜S≤10时，整数的P点的个数为10个；
在10＜S＜18时，整数的P点的个数为14个；
在S＝18时，整数的P点的个数有1；
共计25个；
（3）不可能，理由：
当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，
此时，OA＝6，故点P（3，﹣3），
当x＝3时，yx2x+4≠﹣3，
故点P不在抛物线上，
故四边形OPAQ不可能是正方形；
（4）设点P（m，m2m+4），而点A（6，0），
设直线AP的表达式为：y＝kx+t，
将点P、A的坐标代入上式并解得：直线AP的表达式为：y（m﹣1）（x﹣6），
∵AP∥OQ，则AP和OQ表达式中的k值相同，
故直线OQ的表达式为：y（m﹣1）x②，
联立①②并解得：x，则点Q（，4），
∵四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，
则m6，解得：m＝3，
则3，
故Q的横坐标的值为3．
22．（2020 丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A即可直接写出点A的坐标；
（2）解方程即可得到结论；
（3）根据点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A，
∴A的坐标为（0，3a）；
（2）当y＝0时．即ax2﹣4ax+3a＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
（3）当抛物线过点Q（0，a﹣2）时，a＝﹣1，
∴P（﹣1，0），
此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．
当抛物线过点P（a，0）时，a＝1或a＝3（不合题意舍去），
此时，Q（0，﹣1），抛物线与线段PQ有一个公共点；
综上所述，当﹣1≤a＜0或1≤a＜3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
23．（2020 密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出平移后解析式，将点B坐标代入可求k的值，即可求直线解析式，可得点C坐标；
（2）将点B，点C坐标代入解析式可求抛物线解析式，即可求点D坐标；
（3）利用函数图象列出不等式组，即可求解．
【解析】（1）∵将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度，
∴平移后直线解析式为：y＝kx+3，
∵直线y＝kx+3经过点B（3，0），
∴3k+3＝0，
∴k＝﹣1，
∴平移后解析式为：y＝x+3，
∵y＝﹣x+3与y轴的交点为C，
∴y＝0+3＝3，
∴点C（0，3）；
（2）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线C1的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D的坐标为（2，﹣1）；
（3）∵抛物线C1：y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（1，0），点B（3，0），
∵点E是点D关于原点的对称点，
∴点E的坐标为（﹣2，1），
如图，
由图象可得：，
∴a的取值范围是a＜2．
24．（2020 惠安县校级模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；
（2）若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有成立．
【分析】（1）抛物线顶点坐标为（1，1），当x＝1时，y＝a+b+c＝1，而x1，即可求解；
（2）①PQ＝2t，OPOQ，△OPQ是等腰直角三角形，则OP2+OQ2＝PQ2，即可求解；②求出点A、B、R的横坐标，即可求解．
【解析】（1）抛物线与直线y＝1只有一个公共点，则抛物线顶点的纵坐标为1，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，故顶点坐标为（1，1），
当x＝1时，y＝a+b+c＝1，
而x1，即b＝﹣2a，
故﹣a+c＝1，
故a＝c﹣1；
（2）①b＝﹣2，则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2x+c，
设点P（t，1），则点Q（﹣t，1），
则PQ＝2t，OPOQ，
∵△OPQ是等腰直角三角形，
∴OP2+OQ2＝PQ2，即2（t2+1）＝4t2，
解得：t＝±1（舍去﹣1），
故点P（1，1），
由（1）得，b＝﹣2a＝﹣2，解得：a＝1，c＝a+1＝2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+2；
②如图，过点A、R、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、H、N，
则，
设（m＞0，m为常数），
则OM＝m AO，ON＝m OB，OH＝m OR
∵点A、B是直线y＝kx与抛物线的交点，
∴联立两个函数表达式并整理得：x2﹣（2+k）x+2＝0，
故x1+x2＝2+k，x1 x2＝2，
故，
∴，即，
联立两条直线表达式得，解得：xOH＝m OR，
∴（），
故每个给定的实数k，总有成立．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑