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专题14圆与相似三角函数综合问题
【例题解析】
【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．
【例2】（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【例3】（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．
（1）求证：；
（2）设，求的面积（用的式子表示）；
（3）若，求的长．
【例4】（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．
【例5】（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．
【例6】（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E，直线于点F，交的延长线于点H．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的值．
【实战演练】
【题组一】
1．（2021·广东·深圳市龙园外语实验学校三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
(1)求证：AE＝AF．
(2)若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．
2．（2021·广东韶关·一模）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径OD的长；
(3)求线段BM的长．
3．（2021·广东花都·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径．
(1)尺规作图：作∠ABD＝∠ABC，与⊙O交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接CD交AB于点E，已知BD＝35，BE＝7AE，求⊙O的半径长．
4．（2021·广东深圳·三模）如图，⊙O的内接四边形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是⊙O的切线．
(1)求证：FD＝FC；
(2)若EF＝3，DE＝4，求AB的长．
【题组二】
5．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．
(1)求证：AC为⊙O切线．
(2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
6．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC MN的值．
7．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知四边形内接于，．
（1）如图1，求证：点到两边的距离相等；
（2）如图2，已知与相交于点，为的直径．
①求证：；
②若，，求的长．
8．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点．
（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求；
（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；
（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．
【题组三】
9．（2021·广东·西南中学三模）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．
求证：（1）DP＝AB；
（2）DE为半圆O的切线；
（3）连结OE，求tan∠BOE的值．
10．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）求证：AF平分∠BAC；
（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
11．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）已知是圆直径，点为圆上一点，于，过作切线，交延长线于．
（1）求证：为圆切线；
（2）连接并延长交于，若为弧中点，，求．
12．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，已知，在ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若tan∠BDE，BC=6，求⊙O的半径．
【题组四】
13．（2020 西乡塘区模拟）如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点．连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM＝BM，EB＝AO．
（1）求∠EAM的度数；
（2）求证：AC2＝2BM OB；
（3）若OA，求△CNE的面积．
14．（2020 黄石模拟）如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若DF＝2，∠F＝45°，求由线段BF、FD及所围成的图形（阴影部分）面积．
（3）若tanA，BD＝1，求FD的长．
15．（2020 路北区二模）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A　在　（填“在”或“不在”）半圆O上；
当时，tan∠AEF的值是　1　；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，请直接写出EH、AE、DH三条线段的数量关系．
16．（2020 博罗县一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB垂直于弦CG，垂足为点H，过点C作ED⊥CG，交⊙O于点E，且∠CBD＝∠A，连接BE，交CG于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝BF BE；
（3）若CG＝8，AB＝10，求sinE的值．
【题组五】
17． （2020 成华区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）连接BC，求证：BC2＝2BE BO；
（3）当BD，sin∠F，求CD的长．
18．（2020 姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DF2＝FH FC；
（3）若DH＝9，tanC，求半径OA的长．
19．（2020 惠城区校级二模）如图（1），在⊙O中，AC是直径，AB，BD，CD是切线，点E为切点．
（1）求证：AB CDAC2；
（2）如图（2），连接AD，BC，交于点F，连接EF并延长，交AC于点G，求证：EF＝FG；
（3）如图（3），延长DB，CA，交于点P，连接CE，过点P作PQ⊥DO，交DO的延长线于点Q．若CD＝6，PE＝4，求OQ的长．
20．（2020 石家庄模拟）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝　6　；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
【题组六】
21．（2020 天台县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，以AB，BC为邻边作 ABCE，点E在⊙O内，延长CE交AD于F，连接AC、BE交于点G，连接OG．
（1）直接写出OG与AC的位置关系及OG与DE的数量关系；
（2）猜想线段DE，AC和BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）求证：△CDF～△AEF；
（4）若BC＝4，CD＝3，求9AF2+16DF2的值．
22．（2020 越秀区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC，BE＝7，求线段PC的长．
23．（2020 苍溪县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；
（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．
24．（2020 宁波模拟）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，以点A为圆心，为半径作圆，点D为⊙A上的动点，连结DC，以C为直角顶点作Rt△CDE（点C，D，E按逆时针排列），并使∠CDE＝30°，连接AD、BE．
（1）求证：△BEC∽△ADC．
（2）当点D在AB上时，如图②，画出△BEC，连接AE，求AE的长．
（3）在点D运动过程中，AE是否有最大值或最小值？若有，请直接写出AE的最大值或最小值，并写出取得最大值或最小值时∠DAC的度数；若没有，请说明理由
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专题14圆与相似三角函数综合问题
【例题解析】
【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，的半径为2，
，
，
如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，连接，
在中，，，
，
．
【点睛】
此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
【例2】（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；
（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．
【详解】
（1），
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
【点睛】
本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．
【例3】（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．
（1）求证：；
（2）设，求的面积（用的式子表示）；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由矩形性质可得,然后证明即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出，根据相似三角形性质得出，则，根据勾股定理得出的值，运用三角形面积公式表示即可；
（3）记与圆弧交于点，连接，证明，即可得出，求出的值，过作于，过作于．运用等面积法得出，根据勾股定理得出，代入数据联立的值，解方程得出，，设，则，根据相似三角形性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵四边形为的内接矩形，
∴，过圆心，且．
∵,
∴,
又∵是的切线，故，
由此可得，
又∵与都是圆弧所对的圆周角，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由，，则，
由题意．
由（1）知，则，
代入，，，
可得，解得．
在直角中，，
所以；
（3）解：记与圆弧交于点，连接．
∵，，，
∴．
又，所以，
∴．
∴，故．
由（2）知，由，，则，
由题意可得，
代入数据，，，
得到，解得①．
过作于，过作于．
易知．
由等面积法可得，
代入数据得，即．
在直角三角形中，
．②
由①②可得，得，
解得，（舍去）．
所以，．
由，故，故．
设，则，代入得，
解得，即的长为．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，相似三角形判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟练运用相似三角形性质列出方程是解题的关键．
【例4】（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．
【答案】（1）相切，见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径半径，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．
∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点．
【例5】（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理和等量代换可得∠BAC＝∠ACD，进而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，从而得出结论；
（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由锐角三角函数可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面积公式求出DF，再根据圆周角定理可求出∠AMD＝45°，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出DM即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，
∵⊙O的半径为6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面积公式可得，
CN DF＝DN CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理，掌握锐角三角函数以及勾股定理是解决问题的前提．
【例6】（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E，直线于点F，交的延长线于点H．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OE，先证明∠C=∠OEB，可得OE∥AC，从而得HF⊥OE，进而即可得到答案；
（2）连接AE，由，可得AB =18，AE=，再证明，设HA=x，则HE=x，OH=x-9，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】
（1）证明：连接OE，
∵，
∴∠C=∠ABC，
∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴∠C=∠OEB，
∴OE∥AC，
∵，
∴EF⊥OE，即：HF⊥OE，
∴是的切线；
（2）连接AE，
∵AB是的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵，
∴AB=EB÷=6÷=18，AE=，
∴OA=OE=，
∵OE⊥HF，∠AEB=90°，
∴∠HEB+∠BEO=∠AEO+∠BEO，即：∠HEB=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO，
∴∠HEB=∠EAO，
又∵∠H=∠H，
∴，
∴，
设HA=x，则HE=x，OH=x-9，
∴在中，HE2+OE2=OH2，即：(x)2+92=( x-9)2，解得：或x=0（舍去），
∴HE=×=，
∴．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定定理，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
【实战演练】
【题组一】
1．（2021·广东·深圳市龙园外语实验学校三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F．
(1)求证：AE＝AF．
(2)若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由切线的性质得出∠FAB=90°，由圆周角定理得出∠CAE=∠D，∠D=∠B，证得∠F=∠CEA，则可得出结论；
（2）由锐角三角函数的定义得出，求出AE=10，由勾股定理求出AC，则可求出AB的长．
(1)
证明：∵AF与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AB，
∴∠FAB=90°，
∴∠F+∠B=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CEA=90°，
∵，
∴∠CAE=∠D，
∴∠D+∠CEA=90°，
∵∠D=∠B，
∴∠B+∠CEA=90°，
∴∠F=∠CEA，
∴AE=AF；
(2)
解：∵AE=AF，∠ACB=90°，
∴CF=CE=EF=6，
∵∠ABF=∠D=∠CAE，
∴sin∠ABF=sin∠CAE=，
∴，
∴AE=10，
∴AC==8，
∵sin∠ABC=，
∴AB=，
∴OA=AB=．
即⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
2．（2021·广东韶关·一模）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径OD的长；
(3)求线段BM的长．
【答案】(1)见解析
(2)1；
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求得∠ODB＝90°，按照切线的判定定理可得答案；
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半及圆的半径相等可得答案；
（3）先由勾股定理求得BE的长，再连接DM，利用有两个角相等的三角形相似可判定△BMD∽△BDE，然后利用相似三角形的性质可得比例式，从而求得答案．
(1)
证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线BD是⊙O的切线；
(2)
∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，
∴OD＝OB，
∵OC＝OD，
∴BC＝OC＝1，
∴⊙O的半径OD的长为1；
(3)
∵OD＝1，
∴DE＝2，BD＝，
∴BE＝＝，
如图，连接DM，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DME＝90°，
∴∠DMB＝90°，
∵∠EDB＝90°，
∴∠EDB＝∠DME，
又∵∠DBM＝∠EBD，
∴△BMD∽△BDE，
∴，
∴BM＝．
∴线段BM的长为．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似的判定是解题的关键．
3．（2021·广东花都·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径．
(1)尺规作图：作∠ABD＝∠ABC，与⊙O交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接CD交AB于点E，已知BD＝35，BE＝7AE，求⊙O的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，只需作弦AD=AC即可．
（2）连接OA，交DC于H，可得AO∥BD，O是BC中点，可知OH是BD的一半，可得△BDE∽△AHE，利用性质可求AH长，最后可得半径长．
(1)
解：如图，以点A为圆心，AC为半径画弧与圆O交于点D，连接BD，
则∠ABD即所求．
(2)
解：如图，连接OA，交DC于H，
在⊙O中：设OB＝OA＝OC＝r，
∴∠OBA＝∠OAB，r＝OH+HA，
∵∠ABD＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠OAB，
∴BD∥OA，
∴∠BDC＝∠OHC，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝∠OHC=90°，
连接OD，
∵OD=OC，OH⊥CD，
∴DH=CH，
∴H是CD的中点，
∵点O是BC的中点，
∴OH是△BCD的中位线，
∴OH＝BD＝，
∵BE＝7AE，
∴，
∵BD∥OA，
∴△BDE∽△AHE，
∴，
∴AH＝5，
∴r＝OH+HA＝+5＝．
∴⊙O的半径长是．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
4．（2021·广东深圳·三模）如图，⊙O的内接四边形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是⊙O的切线．
(1)求证：FD＝FC；
(2)若EF＝3，DE＝4，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，根据半圆所对的圆周角是直角得到是的直径，根据切线的性质得到，求得，由等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，求得，又根据相似三角形的性质即可得到结论．
(1)
解：证明：连接，
，
是的直径，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
(2)
解：，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确的识别图形．
【题组二】
5．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．
(1)求证：AC为⊙O切线．
(2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接OA，根据已知条件得到∠AOE＝∠BEF，根据平行线的性质得到OA⊥AC，于是得到结论；
（2）连接OF，设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根据全等三角形的性质得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
(1)
证明：连接OA，
∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∴AC为⊙O切线；
(2)
解：连接OF，
∵∠BEF＝，
∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，
∴∠BAF＝∠BEF＝2α，
∵∠B＝∠AFE＝α，
∴∠BAO＝∠B＝α，
∴∠OAF＝∠BAO＝α，
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴AB＝AF＝5，
∵DF＝4，
∴AD＝，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴BE＝，
∴⊙O半径＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解本题的关键．
6．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC MN的值．
【答案】（1）见解析；（2）18
【解析】
【分析】
（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可，根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP即可；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ABM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN MC，根据锐角三角函数求出BM，代入数据可得MN MC= BM2=18．
【详解】
（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴，
∴BM2＝MN MC．
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∴∠ABM=∠BAM=45°，
∵AB＝6，
∴BM＝ABsin45°==，
∴MN MC＝BM2＝18．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
7．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知四边形内接于，．
（1）如图1，求证：点到两边的距离相等；
（2）如图2，已知与相交于点，为的直径．
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】
（1）连接，由等弦对等弧，等弧对等角得，即可得证；
（2）①由，得到，由直径所对的圆周角是直角，可推得；过点作，交延长线于点，根据角的关系证明，又由，得到，进一步等量代换得，即可得证；
（2）②由第一小问知，，设，则，由条件求出BD的值，建立等量关系，分别求出DE的值，再证明，根据相似三角形线段成比例得，代入相关数值求解即可．
【详解】
证明：（1）如图1，连接，
，
，
，
点到两边的距离相等；
（2）①，
，
为直径，
，
，
如图2，过点作，交延长线于点，
，，
又由（1）知：，
，
，
，
，
，
②如图，
由（2）①得：，
则，
设，则，
为直径，
，
，
，
，
解得：，
，，
又，
，
，，
，
，
．
【点睛】
本题考查三角形的相似的性质和判定，等弦对等弧，等弧对等角，平行线分线段成比例等相关知识点，牢记知识点是解题关键．
8．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点．
（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求；
（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；
（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和角的计算问题；
（2）证明，则，得到，即可求解；
（3）设，，，则，由，得到，同理可得：，即可求解．
【详解】
解：（1）由题意知，，
，
，又，
；
（2）如图2，为圆的切线，连接，
则，，，
，
，
，，且．
．
，
；
（3）过作的垂线交于，过作的垂线交于，连接，
，，
，
设，，，则，
而，
，
则，
，
则，
，
，
同理可得：，
则，
所以．
【点睛】
本题为圆的综合题，主要考查圆的有关性质以及圆中切线性质的应用，题目难度不大．
【题组三】
9．（2021·广东·西南中学三模）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．
求证：（1）DP＝AB；
（2）DE为半圆O的切线；
（3）连结OE，求tan∠BOE的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由正方形和圆的性质可知DC＝AB，又DC＝DP，即AB＝DP；
（2）通过SSS证明△ODP≌△OCD，得∠DPO＝∠C＝90°即可证明；
（3）通过HL证明Rt△OBE≌Rt△OPE，得∠BOE＝∠POE，由（2）知∠DOP＝∠DOC，可证∠DOE＝90°，从而∠BOE＝∠ODC，求出tan∠ODC即可得出答案．
【详解】
证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AB，
又∵DC＝DP，
∴DP＝AB，
（2）连接DO，PO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
在△ODP与△OCD中，
，
∴△ODP≌△ODC（SSS），
∴∠DPO＝∠C＝90°，
又∵OP是⊙O的半径，
∴DE为半圆O的切线．
（3）连接EO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝90°，
∵∠DPO＝90°，
∴∠EPO＝90°＝∠B，
在Rt△OBE与Rt△OPE中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OPE（HL），
∴∠BOE＝∠POE，
由（2）得△ODP≌△OCD，
∴∠DOP＝∠DOC，
∴∠BOE+∠DOC＝90°，
又∵∠DOC+∠CDO＝90°，
∴∠BOE＝∠CDO，
∵点O是AB的中点，
∴，
在Rt△COD中，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．
10．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）求证：AF平分∠BAC；
（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）AD =．
【解析】
【分析】
（1）连结OF，由FH是⊙O的切线，可得OF⊥FH ，由FH∥BC ，可得OF垂直平分BC ，根据垂径定理可得，根据圆周角性质可得∠1=∠2即可；
（2）根据∠ABC的平分线BD，可得∠4=∠3，可证∠FDB=∠FBD，可得BF=FD ，再证△BFE∽△AFB ，根据性质可得， 再求BF=DF= 7，可求，即可求AD．
【详解】
（1）证明：连结OF，
∵FH是⊙O的切线，
∴OF⊥FH ，
∵FH∥BC ，
∴OF垂直平分BC ，
∴，
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC，
（2）解∵∠ABC的平分线BD交AF于D，
∴∠4=∠3，
∠1=∠2，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠5=∠2，
∴∠1+∠4=∠5+∠3 ，
∴∠FDB=∠FBD，
∴BF=FD ，
在△BFE和△AFB中，
∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠EFB，
∴△BFE∽△AFB ，
∴，
∴，
∴ ，
∵BF=DF=EF+DE=7，
∴，
∴AD=AF-DF==．
【点睛】
本题考查圆的切线性质，平行线性质，垂径定理，圆周角性质，等腰三角形判定，三角形相似判定与性质，线段的和差，掌握圆的切线性质，平行线性质，垂径定理，圆周角性质，等腰三角形判定，三角形相似判定与性质，线段的和差是解题关键．
11．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）已知是圆直径，点为圆上一点，于，过作切线，交延长线于．
（1）求证：为圆切线；
（2）连接并延长交于，若为弧中点，，求．
【答案】（1）见详解； （2）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，先证明△COE≌△BOE，可得∠OBE=∠OCE=90°，即可求证；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，根据是圆直径，，可得∠ACB=90°，AB=2OB=20，又由为弧中点，可得到△ABC是等腰直角三角形，进而△DOB是等腰直角三角形，从而DH=OH=OB=5，再证明△ADH～△AFB，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】
（1）证明：如图1，连接OC，
∵CE是圆切线，
∴∠OCE=90°，
∵OC=OB，，
∴∠COE=∠BOE，
∵OE=OE，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴为圆切线；
（2）如图，过点D作DH⊥AB于点H，
∵是圆直径，，
∴∠ACB=90°，AB=2OB=20，
∵为弧中点，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵，
∴△DOB是等腰直角三角形，
∵DH⊥AB，
∴DH=OH= OB=5，
∴AH=AO+OH=15，
∵BE⊥AB，
∴DH∥BF，
∴△ADH～△AFB，
∴ ，即 ，
解得：BF= ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握切线的判定与性质，证明△COE≌△BOE，△ADH～△AFB是解题的关键．
12．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，已知，在ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若tan∠BDE，BC=6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）4.5
【解析】
【分析】
（1）作OF⊥AC于F，利用角平分线的性质证明OF=OB，即可证明AC是⊙O的切线．
（2）利用圆周角定理证明△CBE∽△CDB，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：作OF⊥AC于F，
∵⊙O与BC相切于点B，∴OB⊥BC，
∵CO平分∠ACB，
∴OF=OB ，
又OB是半径，OF⊥AC于F，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵DE是直径，
∴∠DBE=90°，
又tan∠BDE，∴，
由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC ，
∴∠OBC=90° ，
∴∠DBC=∠OBE，
∴∠E=∠OBE，
∴∠E=∠DBC，
又 ∠C=∠C，
∴△CBE∽△CDB，
∴，
∵BC=6，
∴，
∴，
∴DE=9，
∵OD=4.5，即⊙O的半径是4.5．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【题组四】
13．（2020 西乡塘区模拟）如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点．连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM＝BM，EB＝AO．
（1）求∠EAM的度数；
（2）求证：AC2＝2BM OB；
（3）若OA，求△CNE的面积．
【分析】（1）由切线的性质证得∠OEM＝90°，即∠EOM+∠EMO＝90°，根据EM＝BM，得到∠EMO＝2∠B，由EB＝AO＝OE得到∠EOM＝∠B，由此得到3∠B＝90°，进而得到∠EOM＝∠B＝30°，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得结论；
（2由等边三角形的性质和∠EOM＝30°得到∠COB＝90°，即∠COA＝90°，由等腰直角三角形得到性质ACOA，即AC2＝2OA2，证得△BEM∽△BOE，得到BE2＝BM BO，AO2＝BM BO，即可证得结论；
（3）过点N作NP⊥CE于点P，根据等腰直角三角形的性质得到∠NAF＝45°，根据等边三角形的性质得到NE＝CE＝OE＝OA，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）连接OE，
∵直线MN与⊙O相切于点E，
∴OE⊥MN，
∴∠OEM＝90°，
∴∠EOM+∠EMO＝90°，
∵EM＝BM，
∴∠B＝∠BEM，
∵在⊙O中，AO＝EO，EB＝AO，
∴EB＝EO，
∴∠B＝∠EOM，
∵∠EMO＝∠B+∠BEM＝2∠B，
∴∠EOM+∠EMO＝∠B+2∠B＝3∠B，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠EOM＝∠B＝30°，
∴在⊙O中，∠EAM∠EOM30°＝15°；
（2）证明：连接CO，在⊙O中，CO＝EO，
∵∠CEO＝∠EOM+∠B＝2∠B＝60°，
∴△CEO是等边三角形，
∴EO＝CO＝CE，∠COE＝60°，
∴∠COB＝∠EOM+∠COE＝30°+60°＝90°，
∴∠COA＝90°，
∵在⊙O中，OA＝OC，
∴在RtAOC中，ACOA，
∴AC2＝2OA2，
由（1）可知，∠B＝∠BEM＝∠EOM，∠B＝∠B，
∴△BEM∽△BOE，
∴，
∴BE2＝BM BO，
∵EB＝AO，
∴AO2＝BM BO，
∵AC2＝2AO2，
∴AC2＝2BM OB；
（3）解：过点N作NP⊥CE于点P，
∵在Rt△OEM中，OE＝OA，∠EOM＝30°，
∴EM＝BM＝1，OM＝2，
由（2）可知，△AOC为等腰直角三角形，
∴∠NAF＝45°，
∵在△ANM中∠ANM＝180°﹣∠NAF﹣∠NMA＝180°﹣45°﹣30°＝75°，
∴∠NCE＝∠NAF+∠B＝45°+30°＝75°，
∴∠NCE＝∠ANM，
∴NE＝CE，
由（2）可知，△CEO是等边三角形，
∴NE＝CE＝OE＝OA，
∵∠NEC＝∠BEM＝30°，
∴在Rt△NPE中，NP＝sin∠NEC NE＝sin30° ，
∴S△CNECE NP．
14．（2020 黄石模拟）如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若DF＝2，∠F＝45°，求由线段BF、FD及所围成的图形（阴影部分）面积．
（3）若tanA，BD＝1，求FD的长．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可证OD∥BC，可得DE⊥OD，可证DF是⊙O的切线；
（2）由等腰直角三角形的性质可求，由面积和差关系可求解；
（3）通过证明△FDB∽∠FAD，可得，由锐角三角函数可求AD＝3，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解析】证明：（1）连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠ODA＝∠BCA，
∴OD∥BC，
又∴DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
又∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）∵∠F＝45°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴S阴影＝S△ODF﹣S扇OBD＝4﹣π；
（3）由（1）知，∠FDB＝90°﹣∠ODB，
又∵∠FAD＝90°﹣∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠FDB＝∠FAD．
又∵∠BFD＝∠DFA，
∴△FDB∽∠FAD．
∴，
∵，BD＝1，
∴AD＝3，
∴AB，
∴，
∴FD＝3FB，FA＝3FD，
∴FA＝9FB＝AB+FB，
∴8FB，
∴FB，
∴FD．
15．（2020 路北区二模）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A　在　（填“在”或“不在”）半圆O上；
当时，tan∠AEF的值是　1　；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，请直接写出EH、AE、DH三条线段的数量关系．
【分析】（1）连接OA，根据直角三角形的性质得到OAEF＝OE＝OF，得到点A与圆的关系，根据弧与圆心距的关系、正切的定义求出tan∠AEF；
（2）证明△AFE≌△DHF，根据全等三角形的性质得到DF＝AE，DH＝AF，结合图形计算即可证明结论；
（3）延长EF交CD的延长线于点G，证明△AFE≌△DFG，根据全等三角形的性质得到AE＝DG，EF＝GF，证明结论．
【解析】（1）解：连接OA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△EAF中，O为EF的中点，
∴OAEF＝OE＝OF，
∴点A在半圆O上，
∵，
∴AE＝AF，
∴tan∠AEF1，
故答案为：在；1；
（2）证明：∵EF⊥FH，
∴∠AFE+∠DFH＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DHF+∠DFH＝90°，
∴∠AFE＝∠DHF，
在△AFE和△DHF中，
，
∴△AFE≌△DHF（AAS），
∴DF＝AE，DH＝AF，
∴AD＝AF+DF＝AE+DH；
（3）解：EH＝AE+DH，
理由如下：延长EF交CD的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠G，
在△AFE和△DFG中，
，
∴△AFE≌△DFG（AAS），
∴AE＝DG，EF＝GF，
∵EF＝GF，EF⊥FH，
∴EH＝HG，
∴EH＝HG＝DH+DG＝AE+DH．
16．（2020 博罗县一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB垂直于弦CG，垂足为点H，过点C作ED⊥CG，交⊙O于点E，且∠CBD＝∠A，连接BE，交CG于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝BF BE；
（3）若CG＝8，AB＝10，求sinE的值．
【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠A+∠ABC＝90°，证出∠ABD＝90°，则BD⊥AB，即可得出结论；
（2）证CG∥BD，由平行线的性质得∠CBD＝∠BCF，证出∠BCF＝∠E，证明△CBF∽△EBC，得BC：BE＝BF：BC，即可得出BC2＝BF BE；
（3）连接OC，由垂径定理得CHCG＝4，由勾股定理得OH＝3，则AH＝OA+OH＝8，由勾股定理求出AC＝4，由三角函数定义即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠CBD+∠ABC＝90°，
即∠ABD＝90°，
∴BD⊥OB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB⊥CG，BD⊥AB，
∴CG∥BD，
∴∠CBD＝∠BCF，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠BCF＝∠A，
∵∠E＝∠A，
∴∠BCF＝∠E，
又∵∠CBF＝∠EBC，
∴△CBF∽△EBC，
∴BC：BE＝BF：BC，
∴BC2＝BF BE；
（3）解：连接OC，如图所示：
∵AB⊥CG，
∴CHCG＝4，
∵AB＝10，
∴OC＝OAAB＝5，
∴OH3，
∴AH＝OA+OH＝8，
∴AC4，
∵∠E＝∠A，
∴sinE＝sinA．
【题组五】
17． （2020 成华区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）连接BC，求证：BC2＝2BE BO；
（3）当BD，sin∠F，求CD的长．
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接BC，根据切线的性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）连接AD．如图所示：解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）连接OC．如图所示：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1．
又∵∠4＝2∠1，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝∠ACB，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠1＝∠BCE，
∴△CBE∽△ABC，
∴，
∴BC2＝AB BE，
∵AB＝2OB，
∴BC2＝2BE BO；
（3）连接AD．如图所示：
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF，
∴ABBD＝6，
∴OB＝OC＝3，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF，
解得：OF＝5，
由勾股定理得：CF4，
∵OC∥DB，
∴，
即，
解得：CE，
∴EF，
∵BF＝OF﹣OB＝2，
∴BE，
∴DE＝BD+BE，
∴CD12．
18．（2020 姑苏区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DF2＝FH FC；
（3）若DH＝9，tanC，求半径OA的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）连接AD，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）∵D是的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE⊥AB；
（2）∵OD＝OB，
∴∠B＝∠FDH，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠FDH，
∵∠DFH＝∠CFD，
∴△DFH∽△CFD，
∴，
∴DF2＝FH CF；
（3）连接AD，在Rt△ADH中，
∵∠DAC＝∠C，
∴tan∠DAC＝tanC，
∵DH＝9，
∴AD＝12，
在Rt△BDA中，∵tanB＝tanC，
∴sinB，
∴AB＝20，
∴OAAB＝10．
19．（2020 惠城区校级二模）如图（1），在⊙O中，AC是直径，AB，BD，CD是切线，点E为切点．
（1）求证：AB CDAC2；
（2）如图（2），连接AD，BC，交于点F，连接EF并延长，交AC于点G，求证：EF＝FG；
（3）如图（3），延长DB，CA，交于点P，连接CE，过点P作PQ⊥DO，交DO的延长线于点Q．若CD＝6，PE＝4，求OQ的长．
【分析】（1）如图1中，连接OB，OE，OD．证明△OEB∽△DEO即可解决问题．
（2）首先证明EG∥CD，再证明即可．
（3）如图3中，连接OE，设OD交EC于J．解直角三角形求出PC，OE，OC，DJ，OJ，再利用平行线分线段成比例定理求出JQ即可．
【解析】（1）证明：如图1中，连接OB，OE，OD．
∵AB，CD，BD是⊙O的切线，AC是直径，
∴AB⊥AC，CD⊥AC，OE⊥BD，AB＝BE，DC＝DE，∠OBA＝∠OBE，∠ODE＝∠ODC，
∴AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠OBD+∠ODB（∠ABD+∠CDB）＝90°，
∵∠OEB＝∠OED＝90°，
∴∠EBO+∠EOB＝90°，∠BOE+∠EOD＝90°，
∴∠OBE＝∠EOD，
∴△OEB∽△DEO，
∴，
∴OE2＝BE DE，
∴AB CDAC2．
（2）证明：如图2中，
∵AB∥CD，
∴，
∵AB＝BE，CD＝DE，
∴，
∴EF∥CD，
∴EG∥CD∥AB，
∴，，，
∴，
∴EF＝FG．
（3）解：如图3中，连接OE，设OD交EC于J．
∵CD＝DE＝6，PE＝6，
∴PD＝DE+PE＝10，
在Rt△PCD中，∵∠PCD＝90°，
∴PC8，
设OC＝OE＝x，
在Rt△POE中，∵∠PEO＝90°，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴OD3，
∵DE＝DC，OE＝OC，
∴OD垂直平分线段EC，
∴EJ＝JC，
∴OJ，
∴DJ＝OD﹣OJ，
∵PQ⊥DQ，EC⊥DQ，
∴EJ∥PQ，
∴，
∴，
∴JQ，
∴OQ＝JQ﹣OJ．
20．（2020 石家庄模拟）如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝　6　；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
【分析】（1）连接OG，如图1，先由正方形的边长与已知线段求得半径OE，再由勾股定理求得DG，进而得AG；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，由三角形的中位线求得O′Q，进而由线段和差求得MH便可；
②由弧长公式求得∠PO′Q的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算便可；
③分两种情况：当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时；当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时．分别求出结果便可．
【解析】（1）连接OG，如图1，
∵正方形ABCD中，AB＝10，
∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，
∴DG，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，
故答案为：6；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，则∠QHC＝90°，
根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，
∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，
∴四边形QHCD是矩形，
∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．
∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，
∵DE＝8，
∴，
∴O'H＝6，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，
∴MH＝1，
即点M到BC的最短距离为1；
②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，
由题意得，的长为，
∴∠PO'R＝60°，
∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，
∴，
∵O'R＝PO'，
∴△O'RP是等边三角形，
∴，
∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为；
③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，
∴O′G＝5﹣2＝3，
∴CN＝GE，
∴，
NE，
∵，
∴，
∴NH，
∴tan∠END；
当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF′⊥CD，
∴tan∠END，
综上，tan∠END．
【题组六】
21．（2020 天台县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，以AB，BC为邻边作 ABCE，点E在⊙O内，延长CE交AD于F，连接AC、BE交于点G，连接OG．
（1）直接写出OG与AC的位置关系及OG与DE的数量关系；
（2）猜想线段DE，AC和BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）求证：△CDF～△AEF；
（4）若BC＝4，CD＝3，求9AF2+16DF2的值．
【分析】（1）连接AO、CO，由平行四边形的性质得AG＝CG，BG＝EG，易证OG为△BDE的中位线，则OGDE，证明△AOC为等腰三角形，即可得出结果；
（2）由BD为⊙O的直径，得OB＝ODBD，由（1）知AG＝CG，OG⊥AC，OGDE，在Rt△AOG中，由勾股定理得OG2+AG2＝AO2，又AO＝OBBD，OGDE，AGAC，即可得出结果；
（3）由圆周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，由平行四边形的性质得AB∥CE，AE∥BC，则∠CFA＝∠CFD＝∠BAD＝90°，∠AEF＝∠BCF，∵∠BCD＝90°，证∠FAE＝∠DCF，再由∠AFE＝∠DFC＝90°，即可得出结论；
（4）由（3）知△CDF∽△AEF，得，由平行四边形的性质得AE＝BC＝4，，则4DF＝3EF，推出16DF2＝9EF2，在Rt△AEF中，由勾股定理得AF2+EF2＝AE2，则9AF2+16DF2＝9AF2+9EF2＝9（AF2+EF2）＝9AE2＝144．
【解析】（1）解：OG与AC的位置关系为：OG⊥AC，OG与DE的数量关系为：OGDE，理由如下：
连接AO、CO，如图所示：
∵平行四边形ABCE的对角线交于点G，
∴AG＝CG，BG＝EG，
∵O为直径BD的中点，G为BE的中点，
∴OG为△BDE的中位线，
∴OGDE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，AG＝CG，OA＝OC，
∴△AOC为等腰三角形，
∴OG⊥AC；
（2）解：线段DE，AC和BD之间的数量关系为：DE2+AC2＝BD2，理由如下：
∵BD为⊙O的直径，
∴OB＝ODBD，
由（1）知：AG＝CG，OG⊥AC，OGDE，
∴在Rt△AOG中，由勾股定理得：OG2+AG2＝AO2，
∵AO＝OBBD，OGDE，AGAC，
∴（DE）2+（AC）2＝（BD）2，
∴DE2+AC2＝BD2；
（3）证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵四边形ABCE为平行四边形，
∴AB∥CE，AE∥BC，
∴∠CFA＝∠CFD＝∠BAD＝90°，∠AEF＝∠BCF，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠DCF＝90°，
∵∠AFC＝90°，
∴∠FAE+∠AEF＝90°，
∴∠FAE＝∠DCF，
∵∠AFE＝∠DFC＝90°，
∴△CDF∽△AEF；
（4）解：由（3）知：△CDF∽△AEF，
∴，
∵四边形ABCE为平行四边形，
∴AE＝BC＝4，
∴，
∴4DF＝3EF，
∴16DF2＝9EF2，
∵∠AFE＝90°，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF2+EF2＝AE2，
∴9AF2+16DF2＝9AF2+9EF2＝9（AF2+EF2）＝9AE2＝9×42＝144．
22．（2020 越秀区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC，BE＝7，求线段PC的长．
【分析】（1）按题意画出图形即可；
（2）由条件可得∠BCP＝∠CAB，∠BCF＝∠ACF，结合外角性质可得∠PCF＝∠PFC，即可证得PC＝PF，则可得出结论；
（3）求出AB＝14，易证△PAC∽△PCB，由相似三角形的性质可得到，又因为tan∠ABC，所以可得，进而可得到，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，利用勾股定理可得PC2+OC2＝OP2，进而可建立关于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的长
【解析】（1）解：如图，
（2）证明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD＝90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠PCB．
又∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO＝∠DAC．
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF，
即△PCF是等腰三角形；
（3）解：连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴，
∴AE＝BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵BE＝7，
∴ABBE＝14，
∵∠PAC＝∠PCB，∠CPB＝∠APC，
∴△PAC∽△PCB，
∴．
又∵tan∠ABC，
∴，
∴，
设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，
∵PC2+OC2＝OP2，
∴（4k）2+72＝（3k+7）2，
∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．
∴PC＝4k＝4×6＝24．
23．（2020 苍溪县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；
（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．
【分析】（1）由圆周角定理得出ADC＝∠CDE＝90°，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，进而得出答案；
（2）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值；
（3）过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理可得BG＝DG，利用PD2+PB2＝8，可求半径为2，即可求解．
【解析】证明：（1）证明：如图，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∵F是EC的中点，
∴DF＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AC⊥CE，
∴∠OCF＝90°，
∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠FCD＝∠OCF＝90°，即DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，
∴∠E＝∠ACD，
又∠ACE＝∠ADC＝90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴，即AC2＝AD AE．
设DE＝x，则ACx，
即（x）2＝AD（AD+x）．
整理，得AD2+AD x﹣20x2＝0．
解得AD＝4x或AD＝﹣5x（舍去）．
∴DC2x．
∴tan∠ABD＝tan∠ACD2；
（3）如图，过点O作OG⊥BD于点G，
由垂径定理，得BG＝DG，
设BG＝DG＝m，则PD＝m+PG，PB＝m﹣PG，
∵PD2+PB2＝8，
∴（m+PG）2+（m﹣PG）2＝8，整理，得2m2+2PG2＝8，即m2+PG2＝4．
∵∠DPC＝45°，
∴OG＝PG．
∴OD2＝DG2+OG2＝m2+PG2＝4，
∴⊙O的半径为2．
∴AC＝4．
24．（2020 宁波模拟）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，以点A为圆心，为半径作圆，点D为⊙A上的动点，连结DC，以C为直角顶点作Rt△CDE（点C，D，E按逆时针排列），并使∠CDE＝30°，连接AD、BE．
（1）求证：△BEC∽△ADC．
（2）当点D在AB上时，如图②，画出△BEC，连接AE，求AE的长．
（3）在点D运动过程中，AE是否有最大值或最小值？若有，请直接写出AE的最大值或最小值，并写出取得最大值或最小值时∠DAC的度数；若没有，请说明理由
【分析】（1）由勾股定理得BC2，Rt△CDE中，CE＝tan∠CDE CDCD，证明，∠ACD＝∠BCE，即可得出结论；
（2）易证∠ABC＝60°，由（1）得△BEC∽△ADC，则∠CBE＝∠CAD＝30°，，求出BE＝1，由勾股定理即可得出结果；
（3）由（1）得△BEC∽△ADC，，得出BE＝1是定值，则点E是在以点B为圆心，半径为BE＝1的圆上，当点E在AB的延长线上，此时，AE取得最大值，AE＝AB+BE＝5，∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，由△BEC∽△ADC，得出∠EBC＝∠DAC＝120°；当点E在线段AB上时，AE取得最小值，AE＝AB﹣BE＝3，由△BEC∽△ADC，得出∠EBC＝∠DAC＝60°．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，
∴由勾股定理得：BC2，
∵Rt△CDE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝tan∠CDE CD＝tan30°×CDCD，
∵，，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ABC﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
∴△BEC∽△ADC；
（2）解：画出△BEC，如图②所示：
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，
由（1）得：△BEC∽△ADC，
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝60°+30°＝90°，
∵点D为⊙A上，⊙A的半径为，
∴AD，
∵△BEC∽△ADC，
∴，即，
∴BE＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE；
（3）解：由（1）得：△BEC∽△ADC，
∴，即，
∴BE＝1是定值，
∴点E是在以点B为圆心，半径为BE＝1的圆上，
当点E在AB的延长线上，此时，AE取得最大值，如图③所示：
AE＝AB+BE＝4+1＝5，
∠EBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∵△BEC∽△ADC，
∴∠EBC＝∠DAC＝120°，
∴AE取得最大值时，∠DAC＝120°；
当点E在线段AB上时，AE取得最小值，如图④所示：
AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∵△BEC∽△ADC，
∴∠EBC＝∠DAC＝60°，
∴AE取得最小值时，∠DAC＝60°．
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