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专题20几何综合探究-四边形
【例题解析】
1．（2021·江苏南通·中考真题）如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．
（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．
【答案】(1) ．
(2)DG//CF．理由见解析．
(3) ．
【解析】
【分析】
(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为 算出 ．
(2)作辅助线BF、AC，先导角证明 是等腰直角三角形、 是等腰直角三角形．再证明 、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．
(3) 为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．
【详解】
(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．
点A关于直线BE的对称点为点F
BE是AF的垂直平分线
，AB=BF
四边形ABCD是正方形
AB=BC，
．
(2) 位置关系：平行．
理由：连接BF，AC，DG
设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N
由(1)可知，
是等腰直角三角形
四边形ABCD是正方形
是等腰直角三角形
垂直平分AF
在 和 中，
在 和 中，
CF//DG
(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：
①当FH=BH时，作 于点M
由(1)可知：AB=BF，
四边形ABCD是正方形
设AB=BF=BC=a
将绕点B顺时针旋转得到
FH=BH
是等腰三角形，
在 和 中，
BM=AE=
②当BF=FH时，
设FH与BC交点为O
绕点B顺时针旋转得到
由(1)可知：
此时， 与 重合，与题目不符，故舍去
③当BF=BH时，
由(1)可知：AB=BF
设AB=BF=a
四边形ABCD是正方形
AB=BC=a
BF=BH
BF=BH=BC=a
而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为 )、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系()、正弦函数定义式(对边：斜边) ．
2．（2021·辽宁阜新·中考真题）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且．
（1）如图2，求证：；
（2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：；
（3）设正方形ABCD的中心为O，，用含的式子表示的度数（不必证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．
【解析】
【分析】
（1）四边形ABCD是正方形，，，又知道，可得到即可求解；
（2）作交AC于点H,则,知道四边形ABCD是正方形可得，推出，，，，，得到，，又知道得到即可求解
（3）分三种情况①点E在线段AB上、②点E在线段BA的延长线上、③点E在线段AB的延长线上，逐一进行讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）（解法一）作交AC于点H，如图1．则．
图1
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
由（1）同理可得，
∴．
（解法二）作交AC于点H ，如图2．
图2
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
连接CE，FH ．
又∵．
∴四边形CEHF是平行四边形．
∴．
由（1）同理可得，
∴．
（3）解：①当点E在线段AB上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDF=∠2=45°，
∴∠1=45°-∠3，
∵∠BCD=90°，
∴∠3+∠2+∠CFE=90°，
∴∠3=90°-45°-α=45°-α，
∴∠1=45°-∠3=α，
∵∠DGO=∠ACD+∠1，
∴∠DGO=α+45°；
②当点E在线段BA的延长线上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
即∠EDF=90°，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDF=∠GFD=∠BDC=45°，
∴∠1=∠2，
∵∠BCD=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵∠3=∠CFE-∠GFD=α-45°，
∴∠2=90°-α+45°=135°-α，
∴∠1=∠2=135°-α，
∴∠DGO=90°-∠1=α-45°；
③当点E在线段AB的延长线上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD=45°，∠ABC=∠ADC=90°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°，
∴∠2=∠3，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDE=∠DEG=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG=90°，
∵∠CFE-∠2=45°，
∴∠CFE=∠1=α，
∴∠DGO+∠1=∠ACD=45°，
∴∠DGO=45°-α．
综上：∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE=DF，利用等腰直角三角形的性质求解．
3．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤≤360°）．
（1）如图1，当＝0°时，DG与DN的关系为____________________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝时，连结GN，请直接写出GN的长．
【答案】（1）DG＝DN，且DG⊥DN；（2）成立，理由见解析；（3）GN＝或
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接AE，AF，CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；
（2）如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；
（3）分两种情形：如图3-1中，当点G落在AD上时，如图3-2中，当点G落在AB上时，分别利用勾股定理求出GN即可．
【详解】
解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CB=CD，∠B=∠ADF=90°，
∵CE=CF，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵EN=NF，
∴AN⊥EF，CN=NF=EN，
∵CE=CF，EN=NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF=90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG=FN=CN，∠GAN=90°，
∵∠DCA=∠DAC=45°，
∴∠GAD=∠NCD=45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，
∴∠GDN=∠ADC=90°，
∴DG⊥DN，DG=DN．
故答案为：DG⊥DN，DG=DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG=NF，
∴∠DAG=∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J=∠CKE，
∵CE=CF，EN=NF，
∴CN=NE=NF=AG，CN⊥EF，
∴∠ECN=∠CEN=45°，
∴∠EKC+∠ECK=∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN=∠CKE，
∴∠GAD=∠DCN，
∵GA=CN，AD=CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，
∴∠GDN=∠ADC=90°，
∴DG⊥DN，DG=DN；
（3）如图3-1中，当点G落在AD上时，
∵△ECN是等腰直角三角形，EC=5，
∴EN=CN=NF=5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG=NF=5，
∵AD-CD=12，
∴DG=DN=7，
∴GN=7．
如图3-2中，当点G落在AB上时，
同法可证，CN=5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG=CN=5，
∴BG=AB-AG=7，BN=BC+CN=17，
综上所述，满足条件的GN的值为或
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
4．（2021·甘肃兰州·中考真题）已知正方形，，为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；
【类比应用】
（2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据正方形性质以及题意证明即可得出结论；
（2）根据已知条件证明，然后证明为等腰直角三角形即可得出结论；
（3）先证明，得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵四边形是正方形，，，三点共线，
∴,
∵，
∴，
∴,
在和中，
,
∴,
∴;
（2）∵，四边形是正方形，
∴,,
∴,
∵，，
∴,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
即；
（3）过点D作于点H，连接BD，
∵，
∵，
∴，
∵,
∴，
在和中，
,
∴,
∴，，
∵且,
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，,
∴,
∵是正方对角线，
∴,
∵
∴,
∴为等腰直角三角形，
∴,
∴在中，,
∴．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟知性质定理是解本题的关键．
5．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：
如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．
【答案】（1），30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：或
【解析】
【分析】
（1）通过证明，可得，，即可求解；
（2）通过证明，可得，，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出，的长，即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，，，，
，
如图2，设与交于点，与交于点，
绕点按逆时针方向旋转，
，
，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为，
故答案为：，；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设与交于点，与交于点，
将绕点按逆时针方向旋转，
，
又，
，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为．
拓展延伸：如图4，当点在的上方时，过点作于，
，，点是边的中点，，
，，，
，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
由（2）可得：，
，
，
的面积；
如图5，当点在的下方时，过点作，交的延长线于，
同理可求：的面积；
故答案为：或．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
6．（2021·山东青岛·中考真题）已知：如图，在矩形和等腰中，，，．点从点出发，沿方向匀速运动．速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，交于点，交于点，过点作，交于点．分别连接，，设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当时，求的值；
（2）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）当时，求的值；
（4）若与相交于点，分别连接和．在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，
【解析】
【分析】
（1）先证，得代数计算即可；
（2）如图2中，过点P作PO⊥QM于点O．证明S=S四边形DQPM+S△DNQ=（PQ+DH） QM+QN ND=（HA+DH） QM+QN ND= AD QM+QN ND，可得结论．
（3）如图3中，延长NQ交BE于点G．根据PQ=PM，构建方程求解即可．
（4）存在．证明△HQW∽△AEW，△MHW∽△PAW，推出，，推出，由此构建方程求解即可
【详解】
（1）由题意可得，，，
在矩形中，
∵，，
，
在中，，
，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：为时，.
（2）过点作，交于点，
在等腰中，
，，
则.
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，∴，∴.
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，.
∴
.
答：与的函数关系式是.
（3）延长交于点，由（1），（2）可得，
，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可证，四边形是矩形.
∴，
当时，
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
答：当时，.
（4）由（2）得，，
∵，，
∴，
∴为矩形，
∴，且.
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴.
答：在运动的过程中，存在时刻，使.
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【实战演练】
1．（2022·广东江门·一模）已知，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD先沿直线AE翻折，点B落在点F处，展开后再将矩形ABCD沿直线BF翻折，点E落在点G处，再将图形展开，连接EF、FG、GB，得到四边形BEFG．
(1)如图1，若点F恰好落在CD边上，求线段BE的长；
(2)如图2，若BE＝1，直接写出点F到BC边的距离；
(3)若△ADG的面积为3，直接写出四边形BEFG的面积．
【答案】(1)BE＝
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）连接AF，如图1所示，由矩形，翻折的性质可知AF＝AB＝5，FE＝BE，勾股定理得DF＝求出的值，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝FE2，计算求解即可；
（2）连接AF，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，如图2所示，则MN⊥AD，AM＝BN，∠AFM+∠FAM＝90°，由翻折的性质得：AF＝AB＝5，FE＝BE＝1，∠AFE＝∠ABE＝90°，有∠FAM＝∠EFN，证明△AMF∽△FNE，有，AM＝5FN，可知BN＝5FN，在Rt△NEF中，由勾股定理得：FN2+EN2＝FE2，计算求出符合要求的解即可；
（3）分两种情况：①点G在矩形ABCD的内部时，连接AF，过G作GH⊥AD于H，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，如图3所示，由△ADG的面积＝AD×GH＝3，求出GH的值，证明四边形BEFG是菱形，四边形GHMF是矩形，勾股定理得＝，求出的值，同（2）得：△AMF∽△FNE，有，求得的值，进而可知的值，由四边形BEFG的面积＝BE×FN计算求解即可；②点G在矩形ABCD的外部时，连接AF，过G作GH⊥AD于H，过点E作EN⊥FG于N，过A作AM⊥FG于M，如图4所示，同①得：AM＝GH＝2，FM＝，△AMF∽△FNE，有，求的值，进而可知的值，由四边形BEFG的面积＝BE×EN计算求解即可．
(1)
解：连接AF，如图1所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，
由翻折的性质得：AF＝AB＝5，FE＝BE，
∴DF＝，
∴CF＝CD﹣DF＝1，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝FE2，
即（3﹣BE）2+12＝BE2，
解得：BE＝；
(2)
解：连接AF，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，如图2所示，
则MN⊥AD，AM＝BN，
∴∠AMF＝∠FNE＝90°，
∴∠AFM+∠FAM＝90°，
由翻折的性质得：AF＝AB＝5，FE＝BE＝1，∠AFE＝∠ABE＝90°，
∴∠AFM+∠EFN＝90°，
∴∠FAM＝∠EFN，
∴△AMF∽△FNE，
∴，
∴AM＝5FN，
∴BN＝5FN，
在Rt△NEF中，由勾股定理得：FN2+EN2＝FE2，
即FN2+（5FN﹣1）2＝12，
解得：FN＝，或FN＝0（舍去），
即点F到BC边的距离为；
(3)
分两种情况：
①点G在矩形ABCD的内部时，连接AF，过G作GH⊥AD于H，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，如图3所示，
则MN∥GH，MN⊥AD，MN＝CD＝5，
∵△ADG的面积＝AD×GH＝×3×GH＝3，
∴GH＝2，
由翻折的性质得：BG＝FG，FE＝BE，BG＝BE，
∴BG＝FG＝FE＝BE，
∴四边形BEFG是菱形，
∴FG∥BC∥AD，
∴四边形GHMF是平行四边形，
∵GH⊥AD，
∴∠GHM＝90°，
∴平行四边形GHMF是矩形，
∴FM＝GH＝2，
∴FN＝MN﹣FM＝3，AM＝，
同（2）得：△AMF∽△FNE，
∴，
即，
∴FE＝，
∴BE＝，
∴四边形BEFG的面积＝BE×FN＝×3＝；
②点G在矩形ABCD的外部时，连接AF，过G作GH⊥AD于H，过点E作EN⊥FG于N，过A作AM⊥FG于M，如图4所示，
同①得：AM＝GH＝2，FM＝，△AMF∽△FNE，
∴，
∵EN＝BM＝AB+AM＝5+2＝7，
∴，
解得：，
∴BE＝，
∴四边形BEFG的面积＝BE×EN＝×7＝；
综上所述，四边形BEFG的面积为或．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形相似，勾股定理，菱形、矩形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
2．（2021·山东城阳·一模）已知：四边形ABCD中， ，∠B=90°，AB=6cm，AD=7cm，BC=8cm，动点P从点C出发沿CB边向点B运动，速度为2cm/s；直线EF从点A出发沿对角线AC向点C运动，分别交AB、AC、AD与点E、Q、F，且运动过程中始终保持EF⊥AC，速度为1cm/s；若点P与直线EF同时出发，设运动时间为t秒，且(0≤t≤)．
(1)连接PF，当t为何值时？
(2)连接PE，设四边形AEPF的面积为Scm2，求S与t的函数关系式．
(3)求当四边形AEPF的面积与四边形ABCD的面积之比为17:54时，此时点E到PF的距离．
【答案】(1)
(2)S=
(3)
【解析】
【分析】
(1)利用勾股定理可求AC的长，利用锐角三角函数可求AF，AE的长，由平行四边形的性质可得AF=CP，即可求解；
(2)利用面积的和差关系可求解；
(3)由面积关系可求t=2，可求AE，AF的长，由勾股定理可求PF长，由面积关系可求解．
(1)
解：由题意可得AQ=t(cm)，CP=2t(cm)，则BP=(8-2t)cm，
∵AB=6cm，BC=8cm，∠B=90°，
∴，
∵EF⊥AC，
∴∠AQE=∠ABC=90°，
∴∠AEQ+∠EAQ=90°=∠EAQ+∠ACB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴sin∠AEF=sin∠ACB，
∴，
∴，
∵tan∠AEF=tan∠ACB，
∴，
∴，
当时，∵，
∴四边形ABPF为平行四边形，
∴AF=BP，即，
解得，
∴当t为时；
(2)
解：∵，
，
∴；
(3)
解：由题意知S四边形AEPF:S四边形ABCD=17:54，
又∵，
∴，
即，
解得t1=2，(不合题意，舍去)，
当t=2时，则，，BP=4cm，
如图，作FM⊥BC于M，
∵FM⊥BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABMF是矩形，
∴AB=FM=6cm，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设点E到PF距离为hcm，
则，
∴，
故此时点E到PF的距离为．
【点睛】
本题考查的是四边形综合题，考查了梯形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
3．（2021·广东南海·二模）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．
(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）
(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】(1)见解析
(2)2或6
(3)
【解析】
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF；
（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；
（3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
(2)
解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，
∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE＝S△CBF，
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠EAB＝∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴10＝EH2+（4﹣EH）2，
∴EH＝1或3，
当EH＝1时
∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，
当EH＝3时
∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，
∴S△BCF的值是2或6；
(3)
解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，
∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点G，点C，点D四点共圆，
∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，
∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝PG，
∴MP+PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，
∵CQ＝，
∴CE＝CQ﹣EQ＝，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，
∴MK∥CE，
∴，
又∵M是CD的中点，
∴DC＝2DM，
∴MP＝CE＝．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
4．（2021·山东·郓城县教学研究室一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为边BC上一个动点，将△ABP沿AP折叠，点B落在B′处，过点B′作B′E∥BC交AP于E，连线BE．
(1)判断四边形BPB′E的形状，并说明理由；
(2)点P移动过程中，CB′是否有最小值？如果有，请求出这个最小值：如果没有，请说明理由；
(3)连接AC，延长B′E交边AB于F，当△EFB与△ABC相似时，求BP的长．
【答案】(1)四边形BPB′E的形状是菱形，理由见解析；
(2)有，这个最小值为2；
(3)满足条件的BP的长为4或
【解析】
【分析】
（1）先判断出，，再判断出，进而得出即可得出结论；
（2）先判断出点在AC上时，最小，再利用勾股定理求出AC即可得出结论；
（3）分两种情况，利用相似三角形的性质得出的比值，根据比值设出BF，EF，进而求出BP，再判断出，根据相似三角形的性质得出比例式求解．
(1)
解：四边形BPBE是菱形，理由：
由折叠知，，．
，
，
，
， ，
四边形BPBE是平行四边形，
，
平行四边形BPBE是菱形；
(2)
解： 有．理由：如图1，
连接AC，由折叠知，．
，
当点在AC上时，最小，最小值为，如图2，
四边形ABCD是矩形，
，
在中，，，
根据勾股定理得，，
；
(3)
解：四边形ABCD是矩形，
．
，
．
与相似，
当时，如图3，
，
，
设，，根据勾股定理得，
由（1）知，四边形是菱形，
．
，
，
，
，
，
．
当时，
，
，
，
设，，根据勾股定理得，，
由（1）知，四边形是菱形，
．
，
，
，
，
，
．
即满足条件的的长为或．
【点睛】
本题是相似形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想和方程的思想解决问题是解本题的关键．
5．（2021·山东沂水·一模）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF(点A的对应点为点C)，延长AE交CF于点G．
(1)求证：四边形BEGF是正方形；
(2)连接DE，①如图2，若AB=15，CG=3，试求BE的长；②如图3，若DA=DE，求证：CG=FG．
【答案】(1)见解析
(2)①BE=9；②见解析
【解析】
【分析】
（1）先根据有三个角是直角的四边形是矩形，再根据BE=BF，可证得结论；（2）
（2）①根据勾股定理列方程得BC2=FB2+FC2，即225=FB2+(FB+3)2，解方程可得答案；②过点D作DH⊥AE于H，证明△ADH≌△BAE(AAS)，得，根据旋转的性质可得答案．
(1)
证明：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF，
∴∠AEB=∠CFB=90°，BE=BF，∠EBF=90°，
又∵∠BEG=90°，
∴四边形BFGE是矩形，
又∵BE=BF，
∴四边形BFGE是正方形；
(2)
①解：∵四边形BFGE是正方形，
∴BF=FG=BE，
∵AB=BC=15，CG=3，BC2=FB2+FC2，
∴225=FB2+(FB+3)2，
∴FB=9或-12(负值舍)，
∴BE=9；
②证明：过点D作DH⊥AE于H，
∵DA=DE，DH⊥AE，
，∠ADH+∠DAH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠BAE=90°，
∴∠ADH=∠BAE，
在△ADH与△BAE中，
∴△ADH≌△BAE(AAS)，
∴，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE=CF，
∵四边形BFGE是正方形，
∴BE=FG，
，
∴CG=FG．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
6．（2021·广东深圳·三模）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为　 　．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，根据两边对应成比例且夹角相等可得；
（2）根据条件，证明即可；
（3）由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【详解】
（1）证明：如图，，，，
，且，，
，，
；
（2）解：如图2，连接，
，，
，
在正方形中，，
，，
，
；
（3）解：如图3，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，，
四边形是正方形，
，，，，
，，，，
，，
，，
，，
设，则，，
，
，
，解得：（舍去），，
．
故答案为：．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握正方形以及相似三角形的的性质．
7．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边和上，且，连接、，其相交于点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5．
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质得到，，利用定理证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据折叠的性质得到，，证明，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．
8．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，则∠A的大小为　　；
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于O．若AC＝8，BD＝6，∠AOD＝60°，求四边形ABCD的面积；
问题解决：
（3）在西安市“三河一山”生态绿道长廊建设中．规划将某条绿道一侧的四边形区域修建成主题公园．设计要求：如图③，四边形ABCD中，AD＝160m，BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝120°．求这个主题公园的最大面积．
【答案】（1）30°；（2）12；（3）m2．
【解析】
【分析】
（1）根据已知，求出tanA＝即可得到答案；
（2）过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，得到S四边形ABCD＝S△BCD+S△BAD，再利用三角函数求解即可得到答案；
（3）连接BD，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于E，连接DE，设BE＝a，则CE＝，BC＝2a，BD＝2a，tan∠BED＝2，通过把平行四边形的面积转化成三角形的面积，由此求解即可．
【详解】
解（1）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，
∴tanA＝，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°；
（2）过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，如图：
在Rt△CON中，CN＝OC sin∠CON＝OC sin∠AOD＝OC，
在Rt△AOM中，AM＝OA sin∠AOD＝OA，
∴S△BCD＝BD CN＝×6×OC＝OC，
S△BAD＝BD AM＝×6×OA＝OA，
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△BAD＝OC+OA＝（OC+OA）＝AC＝12；
（3）如图，连接BD，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于E，连接DE，
∵BC＝CD，∠BCD＝120°，
∴∠CBD＝30°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝90°，
∵CE∥BD，
∴∠CEB＝90°，∠CBE＝60°，
设BE＝a，则CE＝，BC＝2a，
∴BD＝2a，
∴tan∠BED＝2，
∵CE∥BD，
∴S△BDE＝S△BDC，
∴S四边形ABCD＝S△ADE，
∵∠AED为定角，AD为定长，
故画出△ADE的外接圆，如图，
当EH⊥AD，且EH经过圆心O时，S△ADE最大，
∵∠AOH＝∠AED，
设OH＝am，则AH＝2am，
由勾股定理得OA＝am，
∵AD＝2AH，
∴4a＝160，
∴a＝，
∴EH＝EO+OH＝ ，
∴S△ADE＝
∴主题公园的最大面积为：．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．（2021·山东·日照市新营中学三模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF=BE，求证：CE=CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在四边形ABCD中，ADBC（BC>AD），，AB=BC=2AD，E是AB上一点，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性质证明△CBE≌△CDF，从而可得结论；
（2）延长AD至F，使DF=BE．连接CF，利用（1）的结论，再证明△ECG≌△FCG，从而可得结论；
（3）如图，延长 过作于 在的延长线上截取 先证明四边形是正方形，结合（1）（2）可得： 设 再利用勾股定理可得： 从而可得答案.
【详解】
证明（1）解：（1）在正方形ABCD中，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）如图， 延长AD至F，使DF=BE．连接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD ，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）如图，延长 过作于 在的延长线上截取
ADBC（BC>AD），，
四边形是矩形，
AB=BC=2AD，
四边形是正方形，
结合（1）（2）可得：
设
则
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的应用以上知识解题是关键.
10．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）定义：如图1，四边形EFGH的四个顶点分别在□ABCD四条边上（不与□ABCD的顶点重合），我们称四边形EFGH为□ABCD的内接四边形．
（1）如图1，若ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，求证：AE＝CG
（2）若ABCD的内接四边形EFGH是矩形．
①请用无刻度的直尺与圆规，在图2中作出一个符合要求的矩形EFGH．（不必说明作图过程，但要保留作图痕迹）
②如图3，已知，AB＝10，H是AD的中点，HG＝2HE，求AD的长．
（3）已知，ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，且，求证：点E，F，G，H中至少存在两个点是□ABCD边的中点．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②10；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接EG，只需要证明△AEH≌△CGF即可得到结论；
（2）①根据矩形的判定条件和直径所对的圆周角是90°作图即可；②过点H作HN⊥HB，并延长NH交CD延长线于M，先证明△MDH≌△ANH，得到HM=HN，AN=MD，再由
，，得到,
设，，，然后证明△HMG∽△ENH，得到，由此求解即可；
（3）由，可以得到，设MN=h，HN=t，AB=a，AE=y，则MH=h-t，DG=a-y，则，由此即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示，连接EG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
∵四边形HEFG是平行四边形，
∴GF∥HE，HE=GF
∴∠HEG=∠FGE，
∵∠AEH+∠HEG=∠CGF+∠FGE，
∴∠AEH=∠CGF，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴AE=CG
（2）①如图，连接BD与AC交于O，以O为圆心，以OB的长为半径画圆，分别于AB交于E，BC交于F，CD交于G，AD交于H，顺次连接E、F、G、H即为所求；
理由：直径所对的圆周角是直角，连接OG，OE，可以通过，∠ODG=∠OGD=∠OBE=OEB证明∠DOG=∠BOE，即G、O、E三点共线；
②如图，过点H作HN⊥HB，并延长NH交CD延长线于M，
∴∠HNA=∠HMD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=10
∴∠MDH=∠NAH，
∵H是AD的中点，
∴AH=DH，
∴△MDH≌△ANH（AAS），
∴HM=HN，AN=MD，
∵，
∴，
∴,
设，，，
∵四边形HEFG是矩形，
∴∠GHE=90°，
∴∠MHG+∠EHN=90°，
又∵∠EHN+∠HEN=90°，
∴∠MHG=∠NEH，
∵∠HMG=∠ENH=90°，
∴△HMG∽△ENH，
∴，
∵HG＝2HE，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得，
∴；
（3）同（2）②作辅助线
由（1）证明△AEH≌△CGF，同理可以证明△DHG≌△BFE，
∴，，DG=BE
∵，
∴，
设MN=h，HN=t，AB=a，AE=y，则MH=h-t，DG=a-y，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴H是AD的中点或E是AB的中点，
又∵AE=CG，
∴当E是中点的时候，G也是CD的中点，
同理当H是中点的时候，F是BC的中点，
∴点E，F，G，H中至少存在两个点是□ABCD边的中点．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）
（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是　　；
（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 _________________________；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，联结CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出CE⊥BG，得出四边形CGEB是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形，
故答案为：菱形、正方形；
（2）如图1，∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2，
（3）如图2，设AB与CE相交于点M，连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴，
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
12．（2021·内蒙古东胜·二模）【问题发现】
（1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．
【答案】（1）BP=CE，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）先证明△ABC是等边三角形，得到AP=AE，∠PAE=60°，然后证明△ABP≌ACE即可得到答案；
（2）连接AC，只需要证明△BAP∽△CAE即可得到，由此求解即可；
（3）连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，证明△AFP≌△PGE，PG=AF=2，EG=FP，然后利用勾股定理求出GE的长即可得到答案．
【详解】
解：（1）BP=CE，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=60°，
又∵△PAE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，
∴∠BAP=∠EAC，
∴△ABP≌ACE（SAS）
∴BP=CE；
（2），理由如下：
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°，
∴，
∴，
∵△APE为等腰直角三角形，∠APE=90°，
∴∠PAE=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP∽△CAE，
∴，
∴；
（3）连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，
∵四边形ABCD是正方形，，
∴，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°，
∴
∴∠FAP+∠AFP=90°，
又∵△APE是等腰直角三角形，
∴AP=EP，∠APE=90°，
∴∠APF+∠EPG=90°，
∴∠FAP=∠EPF，
又∵∠AFP=∠EGP=90°，
∴△AFP≌△PGE（AAS），
∴PG=AF=2，EG=FP，
设FP=GE=x，则BG=BF+FP+PG=4+x，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
13．（2018·河南·模拟预测）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为　 　；
②线段AD，BE之间的数量关系为　 　．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
【答案】（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，证明见解析；（3），
【解析】
【分析】
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．
（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图1．∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案为：AD=BE．
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如图2．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为或．理由如下：
∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，
∴BD=2．
∵DP=1，
∴BP=．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB=∠ADB=45°，
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，
∴=2AH+1，
∴AH=．
②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP=2AH﹣PD，
∴=2AH﹣1，
∴AH=．
综上所述：点A到BP的距离为或．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
14．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）回答下列题目：
（1）如图①，在矩形ABCD中，若AB＝6，BC＝4，E，F分别是BC，AB上的点，且DF⊥AE，求 的值．
（2）如图②，在矩形ABCD中，若 （k为常数），将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGH，EH交CD于点P，连接AE交GF于点O，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGH＝，GF＝2，求HC的长．
【答案】（1）；（2）k；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明，利用相似三角形的性质可求出的值；
（2）作于点，证明，利用相似三角形的性质可求出的值；
（3）过点H作HN⊥BC交BC的延长线于N，先得到tan∠CGH=tan∠BFE= ，设BE=3k，BF=4k，EF=AF=5k，求出k的值，单后证明△FBE∽△ENH，，由此求解即可.
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，
∴CB=DA=4，∠ABE=∠DAF=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△DAF ，
∴；
（2）解：如图②中，作GM⊥AB于点M，
由折叠的性质可知GF⊥AE，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，∠BAE+∠AFO=90°，
∴∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM=AD=BC，
∴，
（3）解：如图，过点H作HN⊥BC交BC的延长线于N，
∵FB∥GC，FE∥GH，∠CGH=∠BFE，
∴tan∠CGH=tan∠BFE= ，
设BE=3x，BF=4x，
∴EF=AF=，
∵，，
，
在中，，，
，
或（舍去），
，BF=4，AB=9，
∵，
∴BC=6， BE=CE=3， AD=EH=BC=6，
∵∠EBF=∠FEH=∠HNE=90°，
∴∠FEB+∠HEN=90°，
∴∠HEN+∠EHN=90°，
∴∠FEB=∠EHN，
∴△FBE∽△ENH，
∴ ，
∴ ，
∴NE=，HN= ，
∴CN=EN-EC= -3= ，
∴．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，矩形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．（2021·重庆·字水中学一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上任意一点，连接AD，以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转90°，点A的对应点是点E，连接AE，取AE的中点F，连接DF．
（1）如图1，若∠CAD=30°，DF=6，求线段CD的长．
（2）如图1，连接CF，求证：；
（3）如图2，若AC=6，BC＝8，点D在线段BC上运动，点G在线段DE上运动，连接AG，取线段AG的中点P，连接BP、BF、PF，当线段PB最大时，直接写出△BPF的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题知为等腰直角三角形，根据，算出，再利用特殊角三角函数求出即可；
（2）过作交延长线于，根据证，即可得出结论；
（3）根据题意知，当点向右移动，点向右上移动时变大，当点向左，点向左下移动时也变大，分别求出两种情况的最大值，再比较得出的最大值，然后根据面积公式求出三角形面积即可．
【详解】
解：（1）由旋转知，为等腰直角三角形，
，
，
又，
；
（2）过点作交延长线于，
，，
，
为等腰直角三角形，点为其斜边上的中点，
，
，，
，
又，，
，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
即；
（3）根据题意知，当点向右移动，点向右上移动时变大，
当点向左，点向左下移动时也变大，
取两种情况下的最大值再比较大小，确定的最大值，
①当与重合，与重合时，如图3，
此时，，
②当，，三点重合时，如图4，
，
，
，
，
当，，三点重合时，即图4情况下最大，
此时，为的中位线，
，
，
即当最大时，的面积是．
【点睛】
本题主要考查特殊角三角函数，全等三角形的判定和性质，图形的旋转等知识点，用临界值法找出PB的最大值是解题的关键．
16．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）问题提出
（1）如图1，在中，．请在内画一个正方形，使得这个正方形一个内角为，其余顶点落在的边上；
问题探究
（2）如图，为一块锐角三角形木板，其中．
①如图2，若要在中做出一个正方形，使正方形边落在上，另外两个顶点分别落在上，则该正方形的面积为____________．
②如图3，若要在中做出一个平行四边形，使平行四边形一边落在上，另两顶点落在上，请求出满足条件的平行四边形面积的最大值．
问题解决
（3）如图4有一四边形与交于，现要在中截出平行四边形，使得平行四边形一边与平行，四个顶点落在的四边上，当时，____________．
【答案】（1）见解析；（2）①；②最大值为；（3）或
【解析】
【分析】
（1）首先可作∠ACB的角平分线，交AB于P点，然后根据对称性分别作AC，BC的垂线，确定垂足，即可求出正方形；
（2）①作AK⊥BC于K点，交FE于J点，结合相似三角形的判定与性质以及正方形的性质即可求解；②作AW⊥BC于W，交HG于V，同①的求解过程，设EF=HG=b，利用相似三角形的性质表示出，从而建立关于b的二次函数表达式，进而根据二次函数的性质求解即可；
（3）设△ABD中BD边上的高为，△CBD中，BD边上的高为，由题意，先求出四边形ABCD的面积，从而得到平行四边形EFGH的面积，然后利用相似三角形的性质与判定得到关于EF和EH的方程组，求解即可．
【详解】
（1）如图所示：首先作∠ACB的角平分线，交AB于P点，
然后以A、C为圆心，AP、CP为半径作圆弧，交于S点，连接PS交AC于M点；
以B、C为圆心，BP、CP为半径作圆弧，交于T点，连接PT交BC于N点；
此时，四边形CMPN即为所求正方形；
（2）①如图所示，作AK⊥BC于K点，交FE于J点，
∵，
∴AK=2×25÷10=5，
∵四边形FQRE为正方形，
∴FE∥QR，即：FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴，
设正方形边长为a，则FE=JK=a，AJ=5-a，
∴，
解得：，
∴正方形的边长为，则面积为，
故答案为：；
②如图所示，作AW⊥BC于W，交HG于V，
则由①可知AW=5，
∵四边形HEFG为平行四边形，
∴HG∥BC，△AHG∽△ABC，
∴，
设EF=HG=b，
则，，
∴，
∴，
整理得：，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为；
（3）如图，设△ABD中BD边上的高为，△CBD中，BD边上的高为，
∴
，
∵，
∴，
∵△AEF∽△ABD，△CHG∽△CBD，
∴，，
∵EF=HG，
∴，
∴EH∥AC∥FG，
∴∠HEF=60°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
联立，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及二次函数的性质等，正确添加辅助线，证明相似三角形，熟练利用二次函数的性质是解题关键．
17．（2021·江苏淮安·二模）【问题情境】
如图1，在ABC中，，AD⊥BC于点D，，，求AD的长．
【问题解决】
小明同学是这样分析的：将ABD沿着AB翻折得到ABE，将ACD沿着AC翻折得到ACF，延长EB、FE相交于点G，请按着小明的思路解答下列问题：
（1）由上可得四边形AEGF是　 　（填矩形、菱形、正方形中的一个）；
（2）在RtGBC中运用勾股定理，求出AD的长．
【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题：
（3）如图2，在四边形ABCD中，，，，，求AC的最大值．
（4）如图3，在四边形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一点，且，，，直接写出CD的最大值为　 　．
【答案】（1）正方形；（2）12；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）先根据，，得出，再根据垂直，，由此可证得四边形是矩形，最后再根据全等三角形的性质可证得，由此即可证得四边形是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于的方程模型，求出即可；
（3）将沿着AB翻折得到，将沿着AD翻折得到，连接EF，结合翻折的性质以及可得，进而可求得，再利用勾股定理可求得，最后根据当BE、BD、DF三条线段共线时，EF取得最大为24，由此即可求得AC的最大值；
（4）将沿着DM翻折得到，将沿着CM翻折得到，连接EF，结合翻折的性质以及可得，进而可求得，最后根据CD≤DE＋EF＋FC＝，当点D、E、F、C在同一直线上时取得最大值，由此即可求得答案．
【详解】
解：（1）四边形AEGF是正方形，理由如下：
由折叠得：，．
，，
又∵，
．
又，
，．
四边形是矩形，
∵，，
∴，，
．
矩形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）设，则．
，，
，，
，，
在中，，
．
化简得，，
解得：，（舍去）
∴；
（3）如图①，将沿着AB翻折得到，将沿着AD翻折得到，连接EF，
∴BE＝BC＝6，DF＝CD＝8，且AE＝AF＝AC，，，
又∵，
．
∴，
∵，，，
∴，
∵当BE、BD、DF三条线段共线时，EF最大，
∴EF的最大值为6＋8＋10＝24，
∴AC的最大值为；
（4）如图②，将沿着DM翻折得到，将沿着CM翻折得到，连接EF，
由翻折可得：DE＝AD＝2，EM＝AM＝3，MF＝BM＝4，CF＝BC＝，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵EM＝3，MF＝4，
∴，
∵CD≤DE＋EF＋FC＝，当点D、E、F、C在同一直线上时取得最大值，
∴CD的最大值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，正方形的判定，勾股定理的应用，建立关于的方程模型的解题思想，要能灵活运用，（3）（4）两问能够根据前两问解决问题的提示作出正确的辅助线是解决本题的关键，也考查了解一元二次方程．
18．（2021·广西·南宁十四中三模）【问题提出】
如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则________，半径的长为________．
（2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】
（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,求得，进而求得，根据即可求得；
（2）①根据已知条件可得，证明，即可求得；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值．
【详解】
（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,
，，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，
由题意的由“定弦定角”模型，可知,,
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
的最小值为．
【点睛】
本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键．
19．（2021·山东龙口·二模）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是_______；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系．
【答案】（1）OE＝OF；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF，AE，OE之间的关系为OE＝CF+AE
【解析】
【分析】
（1）由“AAS”可证△AEO≌△CFO，可得OE＝OF；
（2）由题意补全图形，由“ASA”可证△AOE≌△COG，可得OE＝OG，由直角三角形的性质可得OG＝OE＝OF；
（3）延长EO交FC的延长线于点H，由全等三角形的性质可得AE＝CH，OE＝OH，由直角三角形的性质可得HF＝EH＝OE，可得结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，
结论仍然成立，
理由如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF，AE，OE之间的关系为OE＝CF+AE，
证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝EH＝OE，
∴OE＝CF+CH＝CF+AE．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（2021·江苏·沭阳县修远中学二模）解答下列各题：
（1） [基础巩固]
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
（2）[尝试应用]
如图2，在平行四边形ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点， ∠AEF＝∠D．若AE＝6，BF＝5，求CD的长．
（3）[拓展提高]
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝3，DF＝4，求菱形ABCD的边长．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）5
【解析】
【分析】
（1）证明，利用对应边相似求解．
（2）证明，设，利用对应边关系列出方程求解．
（3）延长，交于点，证明，表示对应关系，再利用．
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
设，
∵，
∴，
∴，即．
解得（舍去）．
∴，即；
（3）如图，延长，交于点，
∵四边形是菱形，
∴∥，，
∵∥，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴．
∴菱形的边长为5．
【点睛】
本题考察了相似三角形的运用以及菱形的性质，利用相似比求解即可．
21．（2022·湖北洪山·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，ABCD，BD相交于点P，．
(1)求证：∠BAC＝∠CBD；
(2)如图2，E，F分别为边AD、BC上的点，PEDC，，
①求证：∠PFC＝∠CPD；
②若BP＝2，PD＝1，锐角∠BCD的正弦值为，直接写出BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【解析】
【分析】
（1）判定，可得，依据，可得，即可得出；
（2）①延长EP交BC于M，依据平行线分线段成比例定理，即可得出，即，再根据直角三角形斜边上中线的性质，可得中，，即可得到，再根据，可得，由，可得，即可得出；
②过D作于N，由题意可得，，由，可得，，由，可得，，由，可得，即可得出．
(1)
解：∵，
∴，
又∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴；
(2)
解：①如图，延长EP交BC于M ，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴；
②．
理由：如图，过D作于N，
∵，,
∴，
由，可得，，
根据勾股定理，在中，有，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等的综合运用；熟悉掌握证明三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例，对应角相等是本题的解题关键．
22．（2021·广东越秀·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝10，CD＝15，点E，F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG⊥直线EF，垂足为G．点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．
(1)求BC的长；
(2)当GE＝GD时，求AE的长；
(3)当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当t＝时，CG取得最小值为，见解析
【解析】
【分析】
（1）过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，由勾股定理可得出答案；
（2）过点G作MN⊥AB，证明△EMG≌△GND（AAS），得出MG＝DN，设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，证明△DGN∽△GFN，由相似三角形的性质得出，得出方程3t＝10﹣t+，解方程求出t的值可得出答案；
（3）连接BD，交EF于点K，证明△BEK∽△DFK，得出比例线段，求出BD＝10，DK＝6，取DK的中点，连接OG，点G在以O为圆心，r＝3的圆弧上运动，连接OC，OG，求出CG的最小值和t的值即可．
(1)
解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则四边形ADHB是矩形，
∵AB＝10，CD＝15，
∴CH＝5，
又∵BH＝AD＝10，
∴BC＝；
(2)
解：过点G作MN⊥AB，如图2，
∵，
∴MN⊥CD，
∵DG⊥EF，
∴∠EMG＝∠GND＝90°，
∴∠MEG+∠MGE＝90°，
∵∠EGM+∠DGN＝90°，
∴∠GEM＝∠DGN，
∵EG＝DG，
∴△EMG≌△GND（AAS），
∴MG＝DN，
设DN＝a，GN＝b，则MG＝a，ME＝b，
∵点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，
∴BE＝2t，AE＝10﹣2t，DF＝3t，CF＝15﹣3t，
∵AM＝DN，AD＝MN，
∴a+b＝10，a﹣b＝10﹣2t，解得a＝10﹣t，b＝t，
∵DG⊥EF，GN⊥DF，
∴∠DNG＝∠FNG＝90°，
∴∠GDN+∠DFG＝∠GDN+∠DGN＝90°，
∴∠DFG＝∠DGN，
∴△DGN∽△GFN，
∴，
∴GN2＝DN NF，
∴NF＝，
又∵DF＝DN+NF，
∴3t＝10﹣t+，
解得t＝5，
又∵0≤t≤5，
∴t＝5﹣，
∴AE＝10﹣2t＝2．
(3)
解：如图3，连接BD，交EF于点K，
∵，
∴△BEK∽△DFK，
∴，
又∵AB＝AD＝10，
∴BD＝AB＝10，
∴DK＝，
取DK的中点，连接OG，
∵DG⊥EF，
∴△DGK为直角三角形，
∴OG＝，
∴点G在以O为圆心，r＝3的圆弧上运动，
连接OC，OG，由图可知CG≥OC﹣OG，
当点G在线段OC上时取等号，
∵AD＝AB，∠A＝90°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠ODC＝45°，
过点O作OH⊥DC于点H，
又∵OD＝3，CD＝15，
∴OH＝DH＝3，
∴CH＝12，
∴OC＝，
则CG的最小值为3（），
当O，G，C三点共线时，过点O作直线OR⊥DG交CD于点S，
∵OD＝OG，
∴R为DG的中点，
又DG⊥GF，
∴OS∥GF，
∴点S是DF的中点，，
∴DS＝SF＝t，SC＝15﹣t，
∴，
∴t＝，
即当t＝时，CG取得最小值为．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，最小值问题，圆的基础知识，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．
23．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
(1)如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
(2)如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
(3)如图3，若交GP于点M，tan∠G＝，求
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据邻边相等的矩形是正方形，证明即可．
（2）①证明△CGB′≌△CDF′（ASA），可得结论．②设正方形的边长为a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明GK＝PK，求出PG＝2PK，求出PK可得结论．
（3）如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．由tan∠G＝tan∠F′CH＝，设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝，由△RB′C∽△RF′H，推出，推出CH＝RH，B′F′＝RF′，可得CR＝2CH＝，S△CF′R＝2S△CF′H，再由△GB′C∽△GE′H，推出，可得推出GB＝，由△GBM∽△CRF′，可得，由此即可解决问题．
(1)
证明：如图1中，
在矩形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴四边形BEFC是矩形，
∵BE＝BC，
∴四边形BEFC是正方形．
(2)
①证明：如图2中，
∵∠GCK＝∠DCH＝90°，由旋转可得
∴∠CDF′+∠H＝90°，∠KGC+∠H＝90°，
∴∠KGC＝∠CDF′，
∵B′C＝CF′，∠GB′C＝∠CF′D，
∴△CGB′≌△CDF′（AAS），
∴CG＝CD．
②解：设正方形的边长为a，
∵，
∴△B′KO∽△F′CO，而
∴，
∴B′K＝＝a，
在Rt△B′KC中，B′K2+B′C2＝CK2，
∴a2+（a）2＝32，
∴a＝，
由，可得B′K＝KE′＝a，
∵
∴△DKE′∽△DCF′，
∴，
∴DE′＝E′F′＝a，
由
∴PE′＝2a，
∴PK＝，
∵DK＝KC，∠P＝∠G，∠DKP＝∠GKC，
∴△PKD≌△GKC（AAS），
∴GK＝PK，
∴PG＝2PK＝5a，
∴PG＝5a＝．
(3)
解：如图3中，延长B′F′交CH的延长线于R．
∵，
∴△GBM∽△GRB′，∠G＝∠F′CR，
∴tan∠G＝tan∠F′CH＝，
设F′H＝x．CF′＝2x，则CH＝，
∴CB′＝CF′＝E′F′＝BC＝2x，
∵，
∴△RB′C∽△RF′H，
∴，
∴CH＝RH，B′F′＝RF′，
∴CR＝2CH＝，
∴S△CF′R＝2S△CF′H，
∵，
∴△GB′C∽△GE′H，
∴，
∴
∴GB＝2（﹣1）x，
则
∵△GBM∽△GRB′，
△GBM∽△CRF′，
∴，
∵S△CRF′＝2S△CHF′，
∴．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（2021·山西·三模）综合与实践：如图1，正方形的边长为2，在中，，．当时，恰好经过的中点．
（1）如图2，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由
（2）将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，得到图3，连接，．求证：，．
（3）在（2）的旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）正方形，见解析；（2）见解析；（3）的长度为或
【解析】
【分析】
（1）根据“对角线互相垂直平分”证四边形是菱形，再由一个内角为即可判断．
（2）延长，分别与，交于点，，根据正方形的性质和旋转的性质得，，，从而得到，根据全等三角形的判定可得，从而得到，，根据，可得，从而得到
（3）根据正方形的性质可得EF、AC的长，分情况进行讨论，
【详解】
根据勾股定理即可得出答案．
（1）解：四边形是正方形．
理由：∵，，
∴．
∵是的中点，
∴．
∴四边形是菱形．
又∵，
∴四边形是正方形．
（2）证明：如图，延长，分别与，交于点，．
∵四边形是正方形，
∴，．
由旋转知，
∴，
∴．
又，
∴．
，．
∵，
∴．
又∵
∴．
∴．
∴．
（3）的长度为或．
∵正方形的边长为2，
∴EF=BC=2，
AC=
如图，连接，
由（2）得，，，
∴．
在中，由勾股定理，得，
则，
解得或（舍去）．
如图，连接，
则，，
同理可求得．
综上所述，的长度为或．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟记各个知识点．
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专题20几何综合探究-四边形
【例题解析】
1．（2021·江苏南通·中考真题）如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．
（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．
2．（2021·辽宁阜新·中考真题）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且．
（1）如图2，求证：；
（2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：；
（3）设正方形ABCD的中心为O，，用含的式子表示的度数（不必证明）．
3．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤≤360°）．
（1）如图1，当＝0°时，DG与DN的关系为____________________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝时，连结GN，请直接写出GN的长．
4．（2021·甘肃兰州·中考真题）已知正方形，，为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；
【类比应用】
（2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．
5．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：
如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．
6．（2021·山东青岛·中考真题）已知：如图，在矩形和等腰中，，，．点从点出发，沿方向匀速运动．速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，交于点，交于点，过点作，交于点．分别连接，，设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当时，求的值；
（2）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）当时，求的值；
（4）若与相交于点，分别连接和．在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【实战演练】
1．（2022·广东江门·一模）已知，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD先沿直线AE翻折，点B落在点F处，展开后再将矩形ABCD沿直线BF翻折，点E落在点G处，再将图形展开，连接EF、FG、GB，得到四边形BEFG．
(1)如图1，若点F恰好落在CD边上，求线段BE的长；
(2)如图2，若BE＝1，直接写出点F到BC边的距离；
(3)若△ADG的面积为3，直接写出四边形BEFG的面积．
2．（2021·山东城阳·一模）已知：四边形ABCD中， ，∠B=90°，AB=6cm，AD=7cm，BC=8cm，动点P从点C出发沿CB边向点B运动，速度为2cm/s；直线EF从点A出发沿对角线AC向点C运动，分别交AB、AC、AD与点E、Q、F，且运动过程中始终保持EF⊥AC，速度为1cm/s；若点P与直线EF同时出发，设运动时间为t秒，且(0≤t≤)．
(1)连接PF，当t为何值时？
(2)连接PE，设四边形AEPF的面积为Scm2，求S与t的函数关系式．
(3)求当四边形AEPF的面积与四边形ABCD的面积之比为17:54时，此时点E到PF的距离．
3．（2021·广东南海·二模）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．
(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）
(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．
4．（2021·山东·郓城县教学研究室一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为边BC上一个动点，将△ABP沿AP折叠，点B落在B′处，过点B′作B′E∥BC交AP于E，连线BE．
(1)判断四边形BPB′E的形状，并说明理由；
(2)点P移动过程中，CB′是否有最小值？如果有，请求出这个最小值：如果没有，请说明理由；
(3)连接AC，延长B′E交边AB于F，当△EFB与△ABC相似时，求BP的长．
5．（2021·山东沂水·一模）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF(点A的对应点为点C)，延长AE交CF于点G．
(1)求证：四边形BEGF是正方形；
(2)连接DE，①如图2，若AB=15，CG=3，试求BE的长；②如图3，若DA=DE，求证：CG=FG．
6．（2021·广东深圳·三模）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为　 　．
7．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边和上，且，连接、，其相交于点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
8．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，则∠A的大小为　　；
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于O．若AC＝8，BD＝6，∠AOD＝60°，求四边形ABCD的面积；
问题解决：
（3）在西安市“三河一山”生态绿道长廊建设中．规划将某条绿道一侧的四边形区域修建成主题公园．设计要求：如图③，四边形ABCD中，AD＝160m，BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝120°．求这个主题公园的最大面积．
9．（2021·山东·日照市新营中学三模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF=BE，求证：CE=CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在四边形ABCD中，ADBC（BC>AD），，AB=BC=2AD，E是AB上一点，且，求的值．
10．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）定义：如图1，四边形EFGH的四个顶点分别在□ABCD四条边上（不与□ABCD的顶点重合），我们称四边形EFGH为□ABCD的内接四边形．
（1）如图1，若ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，求证：AE＝CG
（2）若ABCD的内接四边形EFGH是矩形．
①请用无刻度的直尺与圆规，在图2中作出一个符合要求的矩形EFGH．（不必说明作图过程，但要保留作图痕迹）
②如图3，已知，AB＝10，H是AD的中点，HG＝2HE，求AD的长．
（3）已知，ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，且，求证：点E，F，G，H中至少存在两个点是□ABCD边的中点．
11．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）
（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是　　；
（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 _________________________；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，联结CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
12．（2021·内蒙古东胜·二模）【问题发现】
（1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．
13．（2018·河南·模拟预测）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为　 　；
②线段AD，BE之间的数量关系为　 　．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
14．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）回答下列题目：
（1）如图①，在矩形ABCD中，若AB＝6，BC＝4，E，F分别是BC，AB上的点，且DF⊥AE，求 的值．
（2）如图②，在矩形ABCD中，若 （k为常数），将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGH，EH交CD于点P，连接AE交GF于点O，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGH＝，GF＝2，求HC的长．
15．（2021·重庆·字水中学一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上任意一点，连接AD，以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转90°，点A的对应点是点E，连接AE，取AE的中点F，连接DF．
（1）如图1，若∠CAD=30°，DF=6，求线段CD的长．
（2）如图1，连接CF，求证：；
（3）如图2，若AC=6，BC＝8，点D在线段BC上运动，点G在线段DE上运动，连接AG，取线段AG的中点P，连接BP、BF、PF，当线段PB最大时，直接写出△BPF的面积．
16．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）问题提出
（1）如图1，在中，．请在内画一个正方形，使得这个正方形一个内角为，其余顶点落在的边上；
问题探究
（2）如图，为一块锐角三角形木板，其中．
①如图2，若要在中做出一个正方形，使正方形边落在上，另外两个顶点分别落在上，则该正方形的面积为____________．
②如图3，若要在中做出一个平行四边形，使平行四边形一边落在上，另两顶点落在上，请求出满足条件的平行四边形面积的最大值．
问题解决
（3）如图4有一四边形与交于，现要在中截出平行四边形，使得平行四边形一边与平行，四个顶点落在的四边上，当时，____________．
17．（2021·江苏淮安·二模）【问题情境】
如图1，在ABC中，，AD⊥BC于点D，，，求AD的长．
【问题解决】
小明同学是这样分析的：将ABD沿着AB翻折得到ABE，将ACD沿着AC翻折得到ACF，延长EB、FE相交于点G，请按着小明的思路解答下列问题：
（1）由上可得四边形AEGF是　 　（填矩形、菱形、正方形中的一个）；
（2）在RtGBC中运用勾股定理，求出AD的长．
【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题：
（3）如图2，在四边形ABCD中，，，，，求AC的最大值．
（4）如图3，在四边形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一点，且，，，直接写出CD的最大值为　 　．
18．（2021·广西·南宁十四中三模）【问题提出】
如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】
为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则________，半径的长为________．
（2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心．
①求的度数；
②连接，若正方形的边长为，求的最小值．
19．（2021·山东龙口·二模）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是_______；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系．
20．（2021·江苏·沭阳县修远中学二模）解答下列各题：
（1） [基础巩固]
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
（2）[尝试应用]
如图2，在平行四边形ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点， ∠AEF＝∠D．若AE＝6，BF＝5，求CD的长．
（3）[拓展提高]
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝3，DF＝4，求菱形ABCD的边长．
21．（2022·湖北洪山·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，ABCD，BD相交于点P，．
(1)求证：∠BAC＝∠CBD；
(2)如图2，E，F分别为边AD、BC上的点，PEDC，，
①求证：∠PFC＝∠CPD；
②若BP＝2，PD＝1，锐角∠BCD的正弦值为，直接写出BF的长．
22．（2021·广东越秀·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝10，CD＝15，点E，F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG⊥直线EF，垂足为G．点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．
(1)求BC的长；
(2)当GE＝GD时，求AE的长；
(3)当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．
23．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．
(1)如图1，求证：四边形BEFC是正方形；
(2)如图2，当点Q和点D重合时．
①求证：GC＝DC；
②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；
(3)如图3，若交GP于点M，tan∠G＝，求
24．（2021·山西·三模）综合与实践：如图1，正方形的边长为2，在中，，．当时，恰好经过的中点．
（1）如图2，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由
（2）将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，得到图3，连接，．求证：，．
（3）在（2）的旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长度．
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