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压轴题训练1
（根据09年清华大学自主招生试题改编）已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值．
（原创）已知函数.（）
（Ⅰ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围．
（21）本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
解：（1），设过右焦点且垂直于长轴的弦为，将代入椭圆方程，解得， …………2分
故，可得． …………4分
所以，椭圆方程为． …………6分
（2）由题意知，直线斜率存在，故设为，则直线的方程为，直线的方程为．可得，则． …………8分
设，，联立方程组，
消去得：，
，，
则． …………11分
设与椭圆交另一点为，，联立方程组，
消去得，，
所以． …………13分
故．
所以等于定值． …………15分
（22）本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分15分。
解：（Ⅰ）在区间上单调递增，
则在区间上恒成立． …………3分
即，而当时，，故． …………5分
所以． …………6分
（Ⅱ）令，定义域为.
在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立. …………8分
∵ …………9分
① 若，令，得极值点，，
当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；
当，即时，同理可知，在区间上，
有，也不合题意； …………12分
② 若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得的范围是． …………14分
综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方. …………15分
压轴题训练2
（全品改编）定长等于的线段的两个端点分别在直线和上滑动，线段中点的轨迹为；
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与轨迹交于两点，问：在轴上是否存在定点，
使得不论如何转动，为定值．
（原创并将发表在数学通讯“我为高考设计题目”栏目）
设函数，，（其中为自然底数）；
（Ⅰ）求（）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函数使得且对一切恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）数列中，，，求证：．
（21）解：（Ⅰ）设，
则、；--------------------------------2分
代入得轨迹的方程为
，即；-----------------------------5分
（Ⅱ）（1）若不与轴重合，设直线方程为，代入椭圆的方程得
，设，
则，；---------------------7分
设点，则


------10分
使为定值，则 ，解得
即对于点总有；----------------------12分
（2）当与轴重合时，，对于点也有，
故在轴上存在定点使得为定值．---------------14分
（22）解：（Ⅰ）时，易知时、时；所以时求取最小值等于0；-------------4分
（Ⅱ）由题Ⅰ易知，，所以；----------------6分
所以可设，代入得
恒成立，所以，所以，；--------------8分
此时设，则，
易知，即对一切恒成立；
综上，存在符合题目要求，它恰好是图象的公切线．
（如图8所示）---------------------------------------------10分
（Ⅲ）先证递减且；
由题（Ⅱ）知，所以
，即为递减数列；
又，，所以
，…
因为当时总有，
所以；------------------------------13分
所以
．-------------------------------------16分
压轴题训练3
1、（改编）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成
等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
（原题）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形。
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，求证：以AB为直径的动圆恒经过定点（0，1）。
（命题意图：考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的定值定点，及解析几何的基本思想方法，属中等偏难题）
2、（改编）已知函数
（I）当a=0,求的最小值；
（II）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（III）当，求证。
（原题）已知函数
（I）求的单调区间；
（II）讨论关于x的方程的解的个数；
（命题意图：考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，属较难题）
1、解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴∴
又∵椭圆经过点，代入可得，
∴,故所求椭圆方程为 …………3分
（2）首先求出动直线过（0，）点． …………5分
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： …………6分
当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程： …………7分
由
即两圆相切于点（0，1）,因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）。事实上，点T（0，1）就是所求的点。 …………9分
证明如下:
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点、 …………12分



所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件． …………15分
（注：其他解法相应给分）
2、解：（I）
………………1分
的变化的情况如下：
—
0
+
极小值
………………3分
所以， ………………4分
（II） 由题意得： ………………5分
函数在区间上为增函数，
当时，即在上恒成立，
， ………………7分
又当时，，
,
………………9分
（III）原不等式可化为：
令 ………………11分
上单调递减，在上单调递增，
………………13分
令 …………15分

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