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等差数列学案
【学习目标】
理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系，并能运用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。
【学习重难点】
理解并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式及其推导的思想方法。
【学习过程】
一、高考衔接
1．记等差数列的前项和为，若，，则48
2．在等差数列中，已知，则n=50
3．记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差d=3
4．若等差数列{}的前三项和，则等于3
5．已知数列{}的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn, 则。
二、要点梳理
1．等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。
2．等差数列的通项公式：；
注：（1）等差数列的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。
（2）等差数列的通项为an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝＋（a1－d），当d≠0时，an是关于n的一次式，它的图象是一条直线上，那么n为自然数的点的集合。
3．等差中项：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中；
即（1）A是a．b的等差中项，可以表示成2A＝a＋b。（2），，成等差数列。
4．等差数列的前和的求和公式：
注：等差数列的前n 项和公式Sn＝·n =na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋=。当d≠0时是关于n 的一个常数项为0的二次函数式。
5．等差数列的判定方法：
①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
②等差中项法：对于数列，若，则数列是等差数列。
三、精讲精练
例1．已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：
（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数。
（1）设数列的公差为由题意得：
或（舍去）所以：
（2）
由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立
即：
或 （舍去） 所以
练习：等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a10=30,a20=50. （1）求通项{an};（2）若Sn=242,求n。
解：（Ⅰ）由an=a1+(n－1)d,a10=30,a20=50，得方程组
解得a1=12,d=2．所以an=2n+10．
（Ⅱ）由Sn=na1+d,Sn=242，得方程12n+×2=242．
解得n=11或n=－22(舍去).
例2．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6,a11＞0,S14≤77,求所有可能的数列｛an｝的通项公式。
解：
(Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14，又a11=a1+10d=0，故解得d=-2，a1=20。
因此，{an}的通项公式是an=22-2n，n=1，2，3，…
(Ⅱ)由得
由①+②得-7d＜11，即d＞-.由①+③得13d≤-1，即d≤-.于是-＜d≤-.
又d∈Z，故d=-1． ④ 将④代入①②得10＜a1≤12．
又a1∈Z，故a1=11或a1=12．
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n，n=1，2，3，…
练习：设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且＝9S2，
S4＝4S2，求数列的通项公式．
解：设数列的公差为由题意得：
或 因为 所以
例3．设是由正数组成的无穷数列，Sn是它的前n项之和，对任意自然数与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。（1）写出；（2）求数列的通项公式。
（1）由题意得：令得：
解得：
（2）将两边平方得：
用代替得：
两式相减得：即：
即： 由于 所以
所以是以2为首项公差为4的等差数列
所以
练习：已知数列成等差数列，表示它的前项和，且，。
（1）求数列的通项公式；（2）数列中，从第几项开始(含此项)以后各项均为负数？
解析：（1）设数列的公差为，由题意得：解得：
所以：
（2）令所以
解不等式 得：
所以数列从第8项开始（含此项）以后各项均为负数。
【达标检测】
1．数列则是该数列的（B）。
A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项
2．若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（B）。
A．5，8，11 B．9，12，15 C．10，13，16 D．15，18，21
3．等差数列中，若公差，前项和，则首项-3，项数10
4．已知数列中，，则通项
5．等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和。
解答：设数列的公差为，则，
， .由成等比数列得，
即，整理得，
解得或.当时，.当时，，
于是。
(Ⅱ)令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
6．设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。
（1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。
解答：（1）依题意得，即。
当n≥2时，a；
当n=1时，×-2×1-1-6×1-5
所以。
（2）由（I）得，
故=。
因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。
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