资源简介

导数与函数的单调性
【学习目标】
1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理。
2. 掌握利用导数判断函数的单调性的方法。
【学习过程】
一、复习回顾
1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
2．研究函数的单调区间你有哪些方法？
二、新知探索
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
（1）能画出函数的图像吗？（2）能用单调性的定义吗？
定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图像的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）
探究
我们知道函数的图像能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图像规律来研究。
（1）画出二次函数的图像，研究它的单调性。
（2）求出该二次函数的导函数：
①函数在区间 上单调递减，
此时切线斜率 ，即其导数 ；
②函数在区间 上单调递增，
此时切线斜率 ，即其导数 ；
三、新课讲解
根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？
一般地，设函数在某个区间可导，如果在这个区间内，则为这个区间内的 ；如果在这个区间内，则为这个区间内的 。
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
回答：
提示： f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为 函数．
结论：函数的单调性与其 有关，因此我们可以用 去探讨函数的单调性。
四、典例精析
例1．已知导函数f '(x)的下列信息：
当10;
当x>4,或 x<1时，f '(x)<0;
当x=4,或x=1时，f '(x)=0
试画出函数f(x)图像的大致形状。
解：
例2 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） （2）
（3） （4）
小结：用导数求函数单调区间的步骤：
（1） ；（2） ；（3）
五、课堂练习
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数y＝3x－x3在(－1,1)内的单调性是____________．
3．求下列函数的单调区间．（1）y＝x－lnx； （2）y＝.
六、日日清
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
2．函数y＝4x2＋的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(，＋∞) D．(1，＋∞)
3．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f（A）≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能确定
4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是(　　)
A．y＝2－3x2 B．y＝lnx C．y＝ D．y＝sin x
5．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　　)
A． B． C． D．
6．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)
A．a≥ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0
7．y＝x2ex的单调递增区间是________．
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.
9．求下列函数的单调区间。
（1）f(x)＝x3＋； （2）f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)．
10．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围。
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