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2022年八年级（下）期末数学模拟试卷（一）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且仅有一个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑.
1．（3分）式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．3﹣＝
C．3×＝9 D．＝3
3．（3分）在一次九年级学生视力检查中．随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0，4.2，4.5，4.0，4.4，4.5，4.0，4.8．则下列说法中正确的是（　　）
A．这组数据的中位数是4.4
B．这组数据的众数是4.5
C．这组数据的平均数是4.3
D．这组数据的极差是0.5
4．（3分）平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为（　　）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
5．（3分）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．3 C．4﹣2 D．4+2
6．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
7．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　）
A．24 B．26 C．28 D．20
9．（3分）边长为2的两种正方形卡片如下图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（　　）
A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044+π
10．（3分）如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则|x﹣|+＝（　　）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 　 　．
12．（3分）今年植树节当天，某校八年级五个小组的学生植树的棵数如下：10，10，12，x，8，已知这组数据的平均数为11，则x值是 　 　．
13．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为 　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，若CD＝DE＝a，则AB的长为 　 　．
15．（3分）把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是　 　．
16．（3分）如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是 　 　．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）如图，在 ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：AE∥CF．
19．（7分）八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得BD的长度为25米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；
（3）牵线放风筝的小明身高1.68米．
求风筝的高度CE．
20．（8分）某中学举行“创文”知识竞赛，要求每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为 A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现将八年级一班和二班的成绩进行整理并绘制出如下的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）二班参加竞赛的学生人数为 　 　；
（2）设二班成绩为B等级的学生人数占本班比赛人数的m%，则m＝　 　；
（3）求一班参加竞赛学生成绩的平均分；
（4）求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
22．（8分）如图，直线分别与x轴、y轴交于点B和点E，直线与y轴交于点C，且两直线交于点．
（1）求这两个一次函数的函数解析式；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＜3，如果△BDP与△CEP的面积相等，求t的值．
23．（8分）去年，爆发新冠肺炎疫情时，我省市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，一直积极增加产能，每日口罩生产量y（百万个）与天数x（x为正整数）的函数关系图象如图所示．而该生产商对口供应市场对口罩的需求量不断上升，且每日需求量z（百万个）与天数x满足一次函数关系．已知第1天需求1200万个口罩，第5天需求1600万个口罩．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当市场供应量不小于需求量时，居民买口罩才无需提前预约，那么二月份以来，居民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？
（10分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形，DE与BG交于点H，BG与AE交于点M．
（1）求证：BG＝DE；
（2）求证：DH2+GH2＝DG2；
（3）将正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2大小关系，并证明你的结论．
25．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数y＝的图象与边OC，AB分别交于点D，E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）当DM：ME＝1：2时，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方的平面内的一点，当以点O，M，D，N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点N的坐标．
022年八年级（下）期末数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且仅有一个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑.
1．（3分）式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．3﹣＝ C．3×＝9 D．＝3
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项不符合题意；
B、3与2不能合并，所以B选项不符合题意；
C、原式＝3×3＝9，所以C选项符合题意；
D、原式＝3÷2＝，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的加减法和二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
3．（3分）在一次九年级学生视力检查中．随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0，4.2，4.5，4.0，4.4，4.5，4.0，4.8．则下列说法中正确的是（　　）
A．这组数据的中位数是4.4
B．这组数据的众数是4.5
C．这组数据的平均数是4.3
D．这组数据的极差是0.5
【解答】解：将这组数据排序后为：4.0、4.0、4.0、4.2、4.4、4.5、4.5、4.8，
∴中位数为：＝4.3，
∴A选项错误；
∵4.0出现了3次，最多，
∴众数为4.0，
∴B选项错误；
∵＝（4.0+4.0+4.0+4.2+4.4+4.5+4.5+4.8）＝4.3，
∴C选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数及极差的知识，此类考题是中考的必考点，题目相对比较简单．
4．（3分）平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为（　　）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
【解答】解：如图，∵平行四边形的对边平行，
∴平行四边形的两邻角的角互补，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴两邻角的角平分线相交所成的角是直角．
故选：B．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
5．（3分）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．3 C．4﹣2 D．4+2
【解答】解：∵直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，
∴该直角三角形的另外一条直角边长为，
∴S阴影＝22﹣4××1×＝4﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
6．（3分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：①当点P由点A向点D运动时，y的值为0；
②当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大；
③当点p在CB上运动时，y＝ AB AD，y不变；
④当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
8．（3分）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　）
A．24 B．26 C．28 D．20
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC＝×36＝18，
∴四边形ABFE的周长为：
AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE
＝AB+BC+2×3
＝18+6
＝24
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，难度不大，属于中档题．
9．（3分）边长为2的两种正方形卡片如下图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（　　）
A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044+π
【解答】解：2021÷2＝1010…1，
所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010+A的阴影面积，
是：4440+4﹣π＝4044﹣π．
故选：B．
【点评】此题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解决问题的关键．
10．（3分）如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则|x﹣|+＝（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵点B关于点A的对称点为点C，
∴AB＝AC．
∴1﹣x＝﹣1，
解得，x＝2﹣
∴点C表示的数x为2﹣，
∵|x﹣|＝2﹣2，＝2+
∴2﹣2+2+＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键．
二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 　4　．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴3a﹣1＝2a+3，
∴a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
12．（3分）今年植树节当天，某校八年级五个小组的学生植树的棵数如下：10，10，12，x，8，已知这组数据的平均数为11，则x值是 　15　．
【解答】解：根据题意知＝11，
解得x＝15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
13．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为 　35°　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵∠OAD＝55°，
∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出∠DAB的度数是解此题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，若CD＝DE＝a，则AB的长为 　2a　．
【解答】解：∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，
∴CE＝＝＝a，
在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，
∴AB＝2CE＝2a，
故答案是：2a．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，能求出AE＝CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．（3分）把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是　m＞1　．
【解答】解：方法一：
直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x+3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
方法二：如图所示：
把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，
则m的取值范围是m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．
16．（3分）如图所示，已知点N（1，0），一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点M，P分别是线段OB，AB上的动点，则PM+MN的最小值是 　　．
【解答】解：如图，点N关于OB的对称点N′（﹣1，0），过点N′作N′P⊥AB交OB于M，
则PM+MN的最小值＝PM+MN'＝PN'，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝45°，
∴△PAN′是等腰直角三角形，
∵AN′＝4+1＝5，
∴PN′＝，
∴PM+MN的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，涉及到一次函数图象的性质、等腰三角形的性质和垂线段最短等知识．解题的关键是作出最短路线时的图形，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式＝
＝
＝14．
【点评】二次根式加减的实质是合并同类二次根式．
18．（6分）如图，在 ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：AE∥CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，掌握内错角相等，两直线平行和全等三角形的对应角相等是基础，找到三角形ADE全等三角形CBF是解题的关键．
19．（7分）八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得BD的长度为25米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；
（3）牵线放风筝的小明身高1.68米．
求风筝的高度CE．
【解答】解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝652﹣252＝3600，
所以，CD＝±60（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝60+1.68＝61.68（米），
答：风筝的高度CE为61.68米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
20．（8分）某中学举行“创文”知识竞赛，要求每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为 A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现将八年级一班和二班的成绩进行整理并绘制出如下的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）二班参加竞赛的学生人数为 　20　；
（2）设二班成绩为B等级的学生人数占本班比赛人数的m%，则m＝　10　；
（3）求一班参加竞赛学生成绩的平均分；
（4）求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数．
【解答】（解：（1）5+10+2+3＝20（人），
故答案为：20；
（2）1﹣25%﹣30%﹣35%＝10%，即m＝10，
故答案为：10；
（3）一班平均数为：（5×100+10×90+2×80+3×70）＝88.5（分），
答：一班学生竞赛成绩的平均数为88.5分；
（4）由题意可知，二班参加竞赛同学的成绩，
得100分的有：20×35%＝7（人），
得90分的有：20×10%＝2（人），
得80分的有：20×30%＝6（人），
得70分的有：20×25%＝5（人），
因此出现次数最多的是100分，共有7人，因此计算成绩的众数是100分，
将这20名学生成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是80分，因此中位数是80分，
所以这20名学生计算成绩的众数是100，中位数是80．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的关键．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）如图，直线分别与x轴、y轴交于点B和点E，直线与y轴交于点C，且两直线交于点．
（1）求这两个一次函数的函数解析式；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＜3，如果△BDP与△CEP的面积相等，求t的值．
【解答】解：（1）∵点是直线与的交点，
∴，，
∴m＝﹣2，n＝﹣4，
∴这两个一次函数的函数解析式为：，；
（2）由（1）知，C（0，﹣2），E（0，﹣4），B（3，0），
①当点P（t，0）在x轴正半轴上时，0＜t＜3．
由S△BDP＝S△CEP得，，解得t＝，
②当点P（t，0）在x轴负半轴上时，t＜0．
由S△BDP＝S△CEP得，，解得t＝12＞0（不合题意，舍去）
∴t＝．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，分类讨论是解题的关键．
23．（8分）去年，爆发新冠肺炎疫情时，我省市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，一直积极增加产能，每日口罩生产量y（百万个）与天数x（x为正整数）的函数关系图象如图所示．而该生产商对口供应市场对口罩的需求量不断上升，且每日需求量z（百万个）与天数x满足一次函数关系．已知第1天需求1200万个口罩，第5天需求1600万个口罩．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当市场供应量不小于需求量时，居民买口罩才无需提前预约，那么二月份以来，居民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？
【解答】（8分） 解：（1）当0≤x＜18时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴y＝2x+10，
当x≥18时，y＝46，
综上所述：y＝；
（2）设每日需求量z（百万个）与天数x满足一次函数关系为z＝mx+n，
由题意可得：，
解得：，
∴z＝x+11，
当0≤x＜18时，由y≥z得，
2x+10≥x+11，
解得：x≥1，
当x≥18时，由y≥z得，
46≥x+11，
解得：x≤35，
∴1≤x≤35
∵x为整数，
∴二月份以来，居民无需预约即可购买口罩的天数共有35天．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数解析式及供求之间的数量关系．
24．（10分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形，DE与BG交于点H，BG与AE交于点M．
（1）求证：BG＝DE；
（2）求证：DH2+GH2＝DG2；
（3）将正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2大小关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形AEFG均为正方形，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AG＝AE，AB＝AD，
∴∠BAD+∠BAE＝∠EAG+∠BAE，
即∠EAD＝∠GAB，
∴△EAD≌△GAB（SAS），
∴BG＝DE；
（2）证明：由（1）知△EAD≌△GAB，
∴∠BGA＝∠DEA，
∵∠BGA+∠GMA＝90°，∠AMG＝∠EMH，
∴∠DEA+∠EMH＝90°，
∴BG⊥DE，
∴DH2+GH2＝DG2；
（3）当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0°＜∠BAE＜180°时，S1＝S2．
证明如下：①当0°＜∠BAE＜90°时，如图1，
过点D作DP⊥GA交GA的延长线于P，过点B作BN⊥AE交AE的延长线于N．
∵∠PAN＝∠BAD＝90°，
∴∠NAB+∠BAP＝90°，∠BAP+∠PAD＝90°，
∴∠NAB＝∠PAD，
又∠ANB＝∠APD＝90°，且AB＝AD，
∴△ANB≌△APD（AAS），
∴BN＝DP，\
又∵AE＝AG，
∴AE BM＝AG DN，
∴S1＝S2；
②当∠BAE＝90°时，如图2，
∵AE＝AG，∠BAE＝∠DAG＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴S1＝S2；
③当90°＜∠BAE＜180°时，如图3，
过点B作BN⊥直线AE于点N，过点D作DP⊥直线AG的延长线于点P．
则∠ANB＝∠APD＝90°，
由正方形ABCD，得到∠BAD＝90°，且AB＝AD，
∵∠PAN＝∠BAD＝90°，
∴∠NAB+∠DAN＝90°，∠DAP+∠DAN＝90°，
∴∠NAB＝∠DAP，
∴△ANB≌△APD（AAS），
∴BN＝DP，
又∵AE＝AG，
∴AE BN＝AG DP，
∴S1＝S2，
综上所述，在（3）的条件下，总有S1＝S2．
【点评】此题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转变换的知识等．解题关键是第（3）问中要运用分类讨论及数形结合的数学思想解决问题，在证明时注意运用等底等高的两三角形面积相等这个性质．
25．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数y＝的图象与边OC，AB分别交于点D，E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）当DM：ME＝1：2时，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方的平面内的一点，当以点O，M，D，N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点N的坐标．
【解答】解：（1）由题知：A（3，0），C（0，4），D（0，b），E（3，b﹣2），
∵OD＝BE，
∴b＝4﹣（b﹣2），
∴b＝3；
（2）过点E作EF⊥OC于F，过点M作MP⊥OC于P，如图所示，
由（1）得，D（0，3），E（3，1）
由勾股定理得，DE＝＝，
∵DM：ME＝1：2，
∴DM＝DE＝，
设点M（a，3﹣a），由DP2+MP2＝DM2得（3+a﹣3）2+a2＝（）2，
解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去），
∴M（1，）；
（3）N1（，），N2（﹣，），理由如下：
设M（m，3﹣m），
①当OD为菱形一边时，OD＝OM，如图所示：
∴m2+（3﹣m）2＝32，
解得，m＝＜3或m＝0（不合题意，舍去），
∴M（，）在线段DE上，过点M作MN∥OD，MN＝OD，则四边形OMND是菱形，
则点N为所求，N（，）；
②当OD为菱形一条对角线时，过OD中点P作PM⊥OD交直线CE于点M （c，），
∴＝﹣c+3，
∴c＝＜3，
∴点M （，）在线段DE上，
当点N与点M关于y轴对称时，四边形OMDN是菱形，
∴N （﹣，），
综上，符合条件的点N有两个，其坐标分别为N（，）或N （﹣，）．
【点评】本题属于一次函数综合大题，考查了一次函数基本性质，坐标的变化规律以及菱形的基本性质等知识，熟练掌握好一次函数的基本性质以及平面直角坐标系中点的综合变化，并能将菱形特点与平面直角坐标系坐标变化相互结合，灵活运用是解决本题的关键．
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