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突破双变量“存在性或任意性”问题
解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的审题能力和转化思想，形成良好的逻辑推理素养.
类型一　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”
(2022·广东省揭阳第一中学期末)已知函数f(x)＝(0≤x≤1)，函数g(x)＝(m－1)x(1≤x≤2).若对任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由题意可得f(x)在[0，1]上的值域是g(x)在[1，2]上的值域的子集，
因为f(x)＝＝＝1＋，
当m<1时，m－1<0，
所以f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)的值域为，
又因为g(x)＝(m－1)x在[1，2]上单调递减，所以g(x)的值域为[2m－2，m－1]，
所以 [2m－2，m－1]，
所以方程无解.
当m>1时，m－1>0，所以f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)的值域为.
又因为g(x)＝(m－1)x在[1，2]上单调递增，所以g(x)的值域为[m－1，2m－2]，所以 [m－1，2m－2]，
所以，解得≤m≤，
当m＝1时，f(x)＝1，g(x)＝0，显然不满足题意.
综上，实数m的取值范围为.
【答案】　D
理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于m的不等式组，求得参数的取值范围.
类型二　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
已知函数f(x)＝2x，x∈，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈，若存在x1∈及x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围.
【解】　由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.
本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型三　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)≤g(x2)成立”
已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________.
【解析】　依题意知f(x)max≤g(x)max.
因为f(x)＝x＋在上单调递减，
所以f(x)max＝f()＝.
又g(x)＝2x＋a在[2，3]上单调递增，
所以g(x)max＝8＋a，
因此≤8＋a，则a≥.
【答案】　
理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)max≤g(x)max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得到关于a的不等式，从而求得a的取值范围.
类型四　形如“存在x1∈A，对任意x2∈B，都有f(x1)已知函数f(x)＝m(x－)＋2，g(x)＝ln， x1∈[0，1]，对于 x2∈[0，4]都有g(x1)A. B.
C. D.
【解析】　由 x1∈[0，1]，对于 x2∈[0，4]都有g(x1)＜f(x2)，可得g(x)min由g(x)＝ln，得g(x)＝ln(－1－)在[0，1]上单调递增，
所以g(x)min＝g(0)＝0，
因为f(x)＝m(x－)＋2，
所以当m＝0时，f(x)＝2＞0恒成立；
当m＞0时，f(x)在[0，4]上单调递增，可得f(x)min＝f(0)＝－2m＋2，
由－2m＋2>0，解得m<1，即0＜m<1成立；
当m＜0时，f(x)在[0，4]上单调递减，可得f(x)min＝f(4)＝4m＋2，
由4m＋2>0，解得m>－，即－综上，m的取值范围是.
【答案】　C
解决本题的关键是对条件的理解及转化，将条件转化为g(x)min21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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