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第1讲　集　合
考向预测 核心素养
集合的运算及两集合间的包含关系是考查的热点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，题型一般为选择题，在第1或第2题的位置，低档难度. 数学抽象、数学运算、逻辑推理
一、知识梳理
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示.
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
　 表示关系 　 自然语言 符号语言 图形语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A B(或B A)
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A A?B(或B?A)
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
常用结论
1.空集的性质
空集不含任何元素，空集是任意一个集合A 的子集，即 A.
2.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ .
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
(4)A∪B＝A B A，A∩B＝A A B.
3.集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个.
二、教材衍化
1.(人A必修第一册P5习题1.1T1(4)改编)若集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，则(　　)
A.8∈A B.9.1∈A
C.{8}∈A D.{9.1} A
答案：A
2.(人A必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2＜x＜10}，则 R(A∪B)＝________，( RA)∩B＝________.
解析：把集合A，B在数轴上表示如图.
由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
所以 R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
因为 RA＝{x|x＜3或x≥7}，
所以( RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.
答案：{x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或7≤x＜10}
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合.(　　)
(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}.(　　)
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.(　　)
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
二、易错纠偏
1.(多选)(混淆元素、集合间的关系致误)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　)
A. A B.－2∈A
C.{0，2} A D.A {y|y＜3}
2.(混淆子集与真子集的定义致误)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.7
3.(多选)(忽视空集致误)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B A，则实数m＝(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
参考答案与解析
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1.解析：选ACD.因为A＝{0，2}，所以 A，{0，2} A，A {y|y＜3}均正确，－2 A，故选ACD.
2.解析：选D.因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.
3.解析：选ABD.当m＝0时，可得集合B＝ ，此时满足B A；当m≠0时，可得集合B＝，
所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2，
综上，实数m等于0，2或3.
考点一　集合的概念(自主练透)
复习指导：1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.
2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
1.(2022·常州市前黄高级中学高三适应性考试)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023－b2 023＝(　　)
A.1 B.－1
C.2 D.－2
3.已知集合P＝，Q＝，M＝，且a∈P，b∈Q，则(　　)
A.a＋b∈P
B.a＋b∈Q
C.a＋b∈M
D.a＋b不属于P，Q，M中的任意一个
4.(多选)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A. B.
C.0 D.
与集合中元素有关问题的求解步骤
步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集.
步骤二：看这些元素满足什么限制条件.
步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
参考答案与解析
1.解析：选C.由题知，当y＝5时，x＋y的值有6，7，8，9，
当y＝6时，x＋y的值有7，8，9，10，于是得C＝{6，7，8，9，10}，所以C中元素的个数为5.
2.解析：选D.由题易得a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以a2 023－b2 023＝－2.
3.解析：选B.因为a∈P，所以a＝2k1，k1∈Z.
因为b∈Q，所以b＝2k2＋1，k2∈Z.所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1＝2k＋1∈Q(k1，k2，k∈Z).
4.解析：选BC.若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根.
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝，
所以a的值为0或.
考点二　集合间的基本关系(思维发散)
复习指导：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A C B的集合C的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}.若A B，则m的取值范围是________.
【解析】　(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A C B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}.
(2)由题得，A＝{x|－1＜x＜3}，若A B(如图)可得所以m≥3.
故m的取值范围是[3，＋∞).
【答案】　(1)D　(2)[3，＋∞)
　(链接常用结论1)本例(2)中，若“A B”改为“B A”，其他条件不变，则m的取值范围是________.
解析：当m≤0时，B＝ ，
显然B A.
当m＞0时，因为A＝{x|－1＜x＜3}.
当B A时，在数轴上标出两集合，如图，
所以
所以0＜m≤1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1].
答案：(－∞，1]
(1)判断两集合关系的2种常用方法
列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系.
数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.
(2)根据两集合的关系求参数的方法
①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性.
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.
[提醒]　题目中若有条件B A，则应分B＝ 和B≠ 两种情况进行讨论.
训练
1.(2022·广州高一期中)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝x，x≠0}，则下列选项正确的是(　　)
A.M＝N B.N M
C.M＝ RN D. RN?M
2.(链接常用结论3)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A.7 B.8
C.15 D.16
3.(多选)(2022·河南范县高一月考)已知集合A＝，B＝{x|x2≤1}，若B A，则实数a的取值可以是(　　)
A.－2 B.0
C. D.4
参考答案与解析
1．解析：选C.由题意，得集合M＝{y|y≤0}，而集合N＝{y|y>0}，所以 RN＝{y|y≤0}，则M＝ RN，故C正确.
2.解析：选A.因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个).
3.解析：选CD.因为A＝，B＝{x|－1≤x≤1}，又因为B A，则－4a≤－1，解得a≥，故选CD.
考点三　集合的基本运算(多维探究)
复习指导：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
3.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
角度1　集合的运算
(1)(2021·新高考卷Ⅰ)设集合A＝{x|－2A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
(2)(2021·高考全国卷乙)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)
A. B.S
C.T D.Z
【解析】　(1)由题易知A∩B＝{2，3}，故选B.
(2)S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T S，所以T∩S＝T.
【答案】　(1)B　(2)C
角度2　利用集合的运算求参数
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A.－4 B.－2
C.2 D.4
(2)设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，集合B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝ ，则a的值为(　　)
A.2 B.4
C.2或－2 D.－2
【解析】　(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.
(2)由题意可知，集合A，B的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点.因为A∩B＝ ，所以两条直线没有公共点，所以两条直线平行，所以解得a＝－2.
【答案】　(1)B　(2)D
本例(1)中，若“A∩B＝{x|－2≤x≤1}”改成“A∩B {x|－2≤x≤1}”，则实数a的取值范围是________.
解析：A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，
当A∩B＝ 时，即－＜－2，a＞4时，符合题意；
当A∩B≠ 时，令得－2≤a≤4.
综上，实数a的取值范围是a≥－2.
答案：[－2，＋∞)
角度3　集合的新定义问题
(1)(2022·南阳一中第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为　(　　)
A.1 B.0
C.－1 D.sin α＋cos α
(2)(2022·保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝(　　)
A.{x|0＜x≤1} B.{x|0≤x＜2}
C.{x|1≤x＜2} D.{x|0＜x＜1}
【解析】　(1)因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.
(2)由题意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，
所以P－Q＝{x|0＜x＜1}.
【答案】　(1)B　(2)D
(1)集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，则常用Venn图求解.
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.
(2)利用集合的运算求参数的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
②若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.
在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).
(3)解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点
①准确转化.解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
②方法选取.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.
训练
1.(2021·高考全国卷乙)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则 U(M∪N)＝(　　)
A.{5} B.{1，2}
C.{3，4} D.{1，2，3，4}
2.(2021·高考全国卷甲)设集合M＝，N＝，则M∩N＝(　　)
A. B.
C. D.
3.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
4.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S且x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.
参考答案与解析
1.解析：选A.因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}.
又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以 U(M∪N)＝{5}.
2.解析：选B.M∩N＝.
3.解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4.
4.解析：由题意知这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
答案：6
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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