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第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式
考向预测 核心素养
与二次函数相结合考查一元二次方程、不等式的解法，单独考查较少.中低档难度. 逻辑推理、数学运算
一、知识梳理
1.一元二次不等式
(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.(其中a，b，c均为常数，a≠0)
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
常用结论
1.分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)
2.两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立
二、教材衍化
1.(人A必修第一册P55习题2.3T1(3)改编)不等式x2－3x－10＜0的解集为________.
解析：由x2－3x－10＜0得(x＋2)(x－5)＜0，所以－2＜x＜5.
答案：(－2，5)
2.(人A必修第一册P55习题2.3T3改编)已知M＝{x|4x2－4x－15≥0}，N＝{x|x2－5x－6＞0}，则M∩N＝________，M∪N＝________.
解析：M＝{x|(2x＋3)(2x－5)≥0}＝
，
N＝{x|(x＋1)(x－6)＞0}＝{x|x＜－1，或x＞6}，
所以M∩N＝，
M∪N＝.
答案：　
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(　　)
二、易错纠偏
1.(忽略等号能否成立致误)不等式≤0的解集是(　　)
A.(－∞，1)∪[3，＋∞)　　 B.(－∞，1]∪(3，＋∞)
C.[1，3) D.[1，3]
2.(忽视二次项系数为0致误)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.
3.(不能正确理解不等式的解集致误)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1解析：选C.不等式≤0，等价于解得1≤x<3，所以不等式的解集是[1，3)，故选C.
2解析：当m＝0时，1>0，不等式恒成立，
当m≠0时，解得0综上，0≤m<4.
答案：[0，4)
3解析：因为x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以解得所以a＋b＝－14.
答案：－14
考点一　一元二次不等式的解法(多维探究)
复习指导：通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式.
角度1　不含参数的不等式
(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　)
A.
B.
C.(－∞，－1)∪
D.∪(1，＋∞)
(2)(链接常用结论1)不等式≥0的解集为(　　)
A.[－2，1] B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
【解析】　(1)－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，
即(x＋1)(2x－3)>0，
所以x<－1或x>.
(2)原不等式化为
即
解得－2【答案】　(1)C　(2)B
解一元二次不等式的方法和步骤
角度2　含参数的不等式
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).
【解】　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式.
解：当a>0时，同例2，
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
(2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.
训练
1.若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－或x>}，则＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
2.解不等式12x2－ax>a2(a∈R).
参考答案
1.解析：选A.由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和，所以根据根与系数的关系可得－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.
解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
考点二　一元二次不等式恒成立问题(思维发散)
复习指导：此类问题的求解常利用转化思想，其思路为：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标.
(链接常用结论2)已知函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围.
【解】　对于x∈R，f(x)＜5－m恒成立，
即mx2－mx－6＋m＜0对x∈R恒成立，
当m＝0时，显然符合题意，
当m≠0时，由得m＜0，
综上，所求实数m的取值范围是(－∞，0].
1.本例中将条件“x∈R”改为“x∈[1，3]”，其他不变，求实数m的取值范围.
解：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，
所以m＜，所以0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6＜0，
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
2.本例中条件改为“若存在x∈[1，3]，使f(x)＜5－m成立”，求实数m的取值范围.
解：题中条件可转化为存在x∈[1，3]，使m<成立.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最大值为6，
所以只需m＜6即可，
故m的取值范围是(－∞，6).
(1)若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立，则满足
若a＝0，则应单独验证是否符合题意.
(2)一元二次不等式在指定范围内恒成立，其本质是这个不等式的解集包含指定的范围.
(3)“恒成立”和“能成立”问题都可以转化为函数最值问题.
训练
1.若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－2，2)　　　　　　 B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.[－2，2]
2.若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________.
3.若mx2－mx－1＜0对于m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围.
参考答案
1解析：选D.由题意知x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，即实数a的取值范围是[－2，2].故选D.
2解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需
即解得－＜m＜0.
答案：
解：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，
则即
解得＜x＜，
故x的取值范围为.
考点三　一元二次不等式的实际应用(综合研析)
复习指导：体会建立不等式模型解决实际问题的方法.
某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2 a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价).
【解】　(1)下调电价后新增的用电量为，
所以下调电价后的总用电量为a＋，
所以y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)由已知
整理得
解得0.60≤x≤0.75.
当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
求解不等式应用题的四个步骤
训练
若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1 x2(0解析：生产者不亏本时有y－25x＝－0.1 x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50 x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生产者不亏本时的最低产量是150台.
答案：150
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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