资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值.
技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值
(1)已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________.
(2)(2022·杭州学军中学计算大赛)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________.
【解析】　(1)因为x>2，m>0，所以y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋时取等号.又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，所以2＋2＝6，解得m＝4.
(2)因为x＋y＝1，
所以2x＋2＋2y＋1＝5，
所以＋＝(2x＋2＋2y＋1)·
＝≥，
当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立.
【答案】　(1)4　(2)
对于因不能出现“定值”而不能使用基本不等式的情况，可以通过加减(乘以)一个数后使和或积为定值.
技巧二　平方后再使用基本不等式
若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值.
【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2·≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立.故x的最大值为.
　　一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值.
技巧三　展开后求最值
已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值.
【解】　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，
因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值.
技巧四　变形后使用基本不等式
设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A.a＋b有最小值2(＋1)
B.a＋b有最大值(＋1)2
C.ab有最大值＋1
D.ab有最小值2(＋1)
【解析】　因为ab－(a＋b)＝1，ab≤()2，
所以－(a＋b)≥1，它是关于a＋b的一元二次不等式，
解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)，
所以a＋b有最小值2(＋1).
又因为ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，
所以ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式，
解得≥＋1或≤1－(舍去)，
所以ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2.
【答案】　A
对已知条件含ab， a＋b型等式的最值问题，可以通过使用基本不等式转化为只含ab(或 a＋b)的不等式.
技巧五　形如型函数变形后使用基本不等式
求函数y＝(x≠－1)的值域.
【解】　因为y＝＝
＝＝x＋1＋＋5，
当x＋1>0，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；
当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－2＝1(当且仅当x＝－3时取等号).
所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞).
若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值.
技巧六　用常数代换法求最值
(2022·宁夏石嘴山市第三中学高三月考)已知正数a，b满足2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为(　　)
A.8 B.10
C.9 D.6
【解析】　由2a＋b＝ab得＋＝1，
因为a＞0，b＞0，所以a＋2b＝(a＋2b)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当＝且＋＝1，即a＝b＝3时，等号成立.所以a＋2b的最小值为9.故选C.
【答案】　C
已知x＞0，y＞0，x＋2y＝3，则的最小值为(　　)
A.3－2 B.2＋1
C.－1 D.＋1
【解析】　已知x＞0，y＞0，x＋2y＝3，
则＝＝＝＋1＋≥2＋1＝2＋1，
当且仅当x2＝2y2 ，即x＝3－3，y＝时，等号成立，
故的最小值为1＋2.
【答案】　B
求形如或可化为＋＝1型为条件的cx＋dy(a，b，c，d都不为0)的最值可利用“1”的代换求解.
技巧七　代换减元求最值
若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)·(b＋2)的最小值是__________.
【解析】　因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝＝4＋.
又因为a>1，所以b>0.所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋＋9＝6(a－1)＋＋15.
因为a－1>0，
所以6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27.
当且仅当6(a－1)＝(a>1)，
即a＝2时取等号.
【答案】　27
(1)(2022·天津市南大奥宇培训学校高三月考)已知2xy－y＋1＝0，则的最小值为(　　)
A.4　　　 B.8　　　
C.9　　　 D.8
(2)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为__________.
【解析】　(1)由2xy－y＋1＝0可得x＝，x，y＞0，可得y＞1，
则＝＝＋y＝＋y＋4＝＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当＝y－1，即y＝3时取得等号.所以的最小值为9.
(2)x2－3xy＋4y2－z＝0 z＝x2－3xy＋4y2，①
所以＝＝＋－3≥2－3＝1.
当且仅当x＝2y时取得最小值，
代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2，
所以x＝2y，z＝2y2，
所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2
＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2≤2.当且仅当y＝1，x＝2，z＝2时取等号，所以x＋2y－z的最大值为2.
【答案】　(1)C　(2)2
在含有两个及以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解.
技巧八　建立求解目标不等式求最值
设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　4x2＋y2＋xy＝1，所以4x2＋y2＋4xy－3xy＝1，
所以(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤·2，
所以(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，即(2x＋y)2≤，
即－≤2x＋y≤，
当且仅当x＝，y＝时右边取等号，
所以2x＋y的最大值为.
【答案】　A
　　利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑