资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第4讲　基本不等式
考向预测 核心素养
本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，中高档难度 逻辑推理、数学运算
一、知识梳理
1.基本不等式
如果a＞0，b＞0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立.
文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.基本不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
常用结论
几个重要的不等式
1.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
4.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
二、教材衍化
1.(人A必修第一册P46例3改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A.80 B.77
C.81 D.82
解析：选C.因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2.(人A必修第一册P46练习T3改编)当x＝________时，x2＋取得最小值，最小值是________.
答案：±1　2
3.(人A必修第一册P46例3(2)改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________.
解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号.
答案：25 m2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)
二、易错纠偏
1.(多选)(忽视基本不等式求最值的条件致误)对于任意的a，b∈R，下列不等式一定成立的是(　　)
A.a2＋b2≥2ab B.ab≤
C.＋≥2 D.≤
2.(求最值时不能灵活配凑致误)若x>1，则x＋的最小值为________.
3.(求最值时不能灵活配凑致误)设0参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选ABD.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab成立，故A正确；
因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以4ab≤(a＋b)2，即ab≤2，故B正确；
当a＝－1，b＝1时，＋＝－2<2，故C不正确；
因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，即≥2，
所以≤，所以≤，故D正确.
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立.
答案：5
3解析：y＝2x(1－x)≤2＝.
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立.
答案：
考点一　利用基本不等式求最值(多维探究)
复习指导：探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式求解最大(小)值问题.
角度1　利用配凑法求最值
(多选)下列说法正确的有(　　)
A.若x<，则2x＋的最大值是－1
B.若x>－2，则≥4
C.若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D.若x<1，则有最大值 －5
【解析】　对于A：因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，
所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值为－1，故A正确；
对于B：因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确；
对于C：因为x>0，y>0，所以x·2y≤()2，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D：＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立.故D正确.
【答案】　ABD
角度2　利用常数代换法求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________.
【解析】　＝＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，等号成立.
【答案】　9
1.若本例中的条件不变，则＋的最小值为________.
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立.
答案：4
2.若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________.
解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，
＝
＝
＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时，等号成立.
答案：＋
角度3　利用消元法求最值
已知x＜0，且x－y＝1，则x＋的最大值是________.
【解析】　因为x＜0，且x－y＝1，所以x＝y＋1，y＜－1，所以x＋＝y＋1＋＝y＋＋＋，因为y＋＜0，所以y＋＋＝
－≤－，当且仅当y＝
－时等号成立，所以x＋≤－，所以x＋的最大值为－.
【答案】　－
利用基本不等式求最值的关注点
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.
训练
1.若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
2.已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D.3
3.已知x>0，y>0，xy＝x＋4y＋12，求xy的最小值.
参考答案
1解析：选B.因为a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，
所以a＋b＋c＋1＝3，
且a＋1＞0，b＋c＞0.
所以＋＝·(a＋1＋b＋c)·
＝≥(5＋4)＝3.
当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立.故选B.
2解析：选D.由题意得x>0，y>0，＋＝＋－1≥2－1＝4－1＝3.当且仅当x＝3y时等号成立.
3解：由xy＝x＋4y＋12，移项得(x－4)y＝x＋12，显然x≠4，
所以y＝，由y>0，得x>4，
所以xy＝x·＝＝
＝x－4＋＋20≥2＋20＝36，
当且仅当x＝12，y＝3时等号成立，
所以xy的最小值为36.
考点二　基本不等式的综合应用(多维探究)
复习指导：1.利用基本不等式求最值及最值成立的条件，可确定某些参数的范围.
2.利用基本不等式建立数学模型，可以解决某些实际问题.
角度1　求参数问题
(2022·安徽省阜阳市耀云中学期中)设0【解析】　因为0所以＋＝＋＝
2＝
2
≥2＝6＋4，
当且仅当＝，即m＝时等号成立.
所以k≤6＋4.
【答案】　6＋4
角度2　利用基本不等式解决实际问题
某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解】　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
所以1＝3－k k＝2，
所以x＝3－，
每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，
所以2023年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0).
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时，
ymax＝21.
故该厂家2023年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.
(1)应用基本不等式解决实际问题的基本步骤
①理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
②在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；
③还原为实际问题，写出答案.
(2)利用基本不等式解决实际问题体现了数学建模的核心素养.
训练
1.(2022·北京海淀区二模)某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，t∈N*)的关系为s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为(　　)
A.5　　　 B.6　　　
C.7　　　 D.8
2.已知正实数x，y满足x＋y＝1，
(1)则x2＋y2的最小值为________；
(2)若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.
参考答案
1解析：选D.因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间t(单位：年，t∈N*)的关系为s＝－t2＋23t－64，
所以年平均利润y＝＝－t－＋23＝－＋23≤－2 ＋23＝7，
当且仅当t＝8时等号成立，
故要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为8，故选D.
2解析：(1)因为x＋y＝1，有xy≤＝，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，即x2＋y2的最小值为.
(2)若a≤＋恒成立，则a≤，
因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9当且仅当2x＝y时等号成立，所以＋的最小值为9，即a≤9，
故实数a的取值范围是(－∞，9].
答案：(1)　(2)(－∞，9]
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑