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第3讲　等式性质与不等式性质
考向预测 核心素养
以考查等式性质、不等式性质为重点，与其他知识及实际问题相结合进行命题.以选择题形式单独考查或融合在解答题中，为低档或中档难度. 数学运算、逻辑推理
一、知识梳理
1.比较实数大小的基本事实
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a大于b；如果a－b等于0，那么a等于b；如果a－b是负数，那么a小于b.反过来也对.
(2)符号表示
a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.
2.等式的基本性质
(1)对称性：a＝b b＝a；
(2)传递性：a＝b，b＝c a＝c；
(3)可加性：a＝b a±c＝b±c；
(4)可乘性：a＝b ac＝bc；
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝.
3.不等式的性质
性质1　a＞b b＜a；
性质2　a＞b，b＞c a＞c；
性质3　如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；
性质4　如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；
性质5　如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；
性质6　如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；
性质7　如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2).
常用结论
不等式的两类常用性质
1.倒数性质
(1)a>b，ab>0 <；
(2)a>b>0，d>c>0 >.
2.有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)；
(2)>；<(b－m>0).
二、教材衍化
1.(人A必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空.
(1)如果a＞b，c＜d，那么a－c______b－d；
(2)如果a＞b＞0，那么______；
(3)如果c＞a＞b＞0，那么______.
答案：(1)＞　(2)＜　(3)＞
2.(人A必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克水(m>0)，糖水就变淡了，则此事实可用一个不等式表示为________.
答案：>
3.(人A必修第一册P42习题2.1T5改编)已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是________.
解析：因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，－2＜－b＜－1，所以2＜2a－b＜5.
答案：(2，5)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果ac＝bc，那么a＝b.(　　)
(2)如果＞1，那么a＞b.(　　)
(3)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么＞.(　　)
(4)< 如果ab＞0，那么a＞b.(　　)
二、易错纠偏
1.(多选)(利用不等式性质易错)下列说法错误的是(　　)
A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B.若＞，则a＜b
C.若b＞c，则|a|b≥|a|c
D.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
2.(求取值范围考虑不周致误)若－<α<β<，则α－β的取值范围是________.
参考答案与解析
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、易错纠偏
1解析：选ABD.A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道a，b的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：若a＝3，b＝2，c＝4，d＝1，则a－c2解析：由－<α<，－<－β<，α<β，
得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
考点一　比较两个数(式)的大小(综合研析)
复习指导：比较两个数(式)的大小的方法是作差法、作商法.
(1)(2022·南通海安中学10月段测)设a>b>1，y1＝，y2＝，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A.y1C.y3(2)若a＝，b＝，则a与b的大小关系是________.
【解析】　(1)(作差法)由a>b>1，可得a－b>0，2b－1>0，3b＋1>0，
又y1－y2＝－＝<0，可得y1又y2－y3＝－＝<0，可得y2所以y1(2)(作商法)因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log89＞1，
所以a＞b.
【答案】　(1)A　(2)a＞b
判断两数(式)大小的方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.
训练
1.(2022·江西宁冈中学高一摸底)某投资机构从事一项投资，先投入本金a(a>0)元，得到的利润是b(b>0)元，收益率为(%)，假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资x(x>0)元，得到的利润也增加了x元，若该项投资的总收益率是增加的，则(　　)
A.a≥b B.a≤b C.a>b D.a2.已知2a＝6b＝10，则ab________a＋b.(填＞、＜或＝)
参考答案与解析
1解析：选C.由题意，设定期追加了n(n∈N*)次投资，则n次投资后收益率为(%)，
若该项投资的总收益率是增加的，则>对任意n(n∈N*)成立，
即－＝＞0，
由于x>0，a＋nx>0，a＋(n－1)x>0，所以a－b>0，
即a>b.
2解析：由题得，a＝log210，b＝log610，
所以＝＋＝lg 2＋lg 6＝lg 12＞1，
所以a＋b＞ab.
答案：＜
考点二　不等式的性质(自主练透)
复习指导：利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意不等式成立的条件.
1.(多选)(2022·广东高一10月月考)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的真命题是(　　)
A.若ac2>bc2，则a>b
B.若bc－ad≥0，bd>0，则≤
C.若a
D.若a>b，>，则a>0，b<0
2.设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.a2<－ab B.|a|<|b|
C.a3>b3 D.>
4.(链接常用结论1)已知四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出＜的是________.(填序号)
判断不等式是否成立的常用方法
一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
参考答案与解析
1解析：选ABD.对于A：若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故A正确；
对于B：若bc－ad≥0，bd>0，则≥0，化为≥，可得≤，故B正确；
对于C：若ab2>0，ab>0，则－＝<0，故<，故C错误；
对于D：若a>b，>，则－＝>0，所以ab<0，所以a>0，b<0，故D正确.
2解析：选C.当b<0时，显然得a>b a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b a|a|>b|b|；
当b>0时，由a>b得|a|>|b|，
所以a>b a|a|>b|b|.
综上可知a>b a|a|>b|b|，故选C.
3解析：选C.当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立；因为a>0>b，所以a3>b3一定成立，故选C.
4.解析：运用倒数法则，a＞b，ab＞0 ＜，②④正确.又正数大于负数，所以①正确.
答案：①②④
考点三　不等式性质的应用(思维发散)
复习指导：利用不等式的性质求代数式的取值范围常用待定系数法.
已知－1【解析】　由题意得，
－3<－y<－2，所以－4因为－3<3x<12，4<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
【答案】　(－4，2)　(1，18)
1.若将本例条件改为“－1解：因为－1所以－3<－y<1，所以－4又因为x＜y，所以x－y<0，所以－4故x－y的取值范围为(－4，0).
2.若将本例条件改为“－1解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则所以
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又因为－1所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，
所以－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
所以3x＋2y的取值范围为.
利用待定系数法求代数式的取值范围的步骤
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围.
[提醒]　同向不等式的两边可以相加，但这种转化不是等价变形，如果多次使用这种转化，就有可能扩大代数式的取值范围.
训练
已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________.
解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－<α－β<，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.
答案：(－π，2π)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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