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2022年中考数学三轮压轴题训练：新定义问题
一、单选题（本大题共12小题）
1．（2022·内蒙古包头·一模）对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，两数中较大的数，例如，按照这个规定，那么方程的解为（ ）
A． B．或 C．或 D．
2．（2022·四川达州·一模）如果一个矩形的周长为12，面积为4，设它的长为x，宽为y，则x+y＝6，xy＝4．满足要求的（x，y）是直角坐标系内双曲线y＝与直线y＝﹣x+6在第一象限内的交点坐标，如图所示，如果把周长为12、面积为4的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），以下结论正确的是（　　）
A．不存在这样的减半矩形 B．存在无数个这样的减半矩形
C．减半矩形的边长为3+和3﹣ D．减半矩形的边长为1和2
3．（2022·广东·番禺市桥桥兴中学一模）对于有理数a，b，定义一种新运算，规定a※b＝﹣a2﹣b，则（﹣2）※（﹣3）＝（　　）
A．7 B．1 C．﹣7 D．﹣1
4．（2022·天津益中学校一模）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知某加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，解密得到的明文是（ ）
A．6，4，1，7 B．1，6，4，7 C．4，6，1，7 D．7，6，1，4
5．（2022·重庆文德中学校一模）大家都知道，六点五十五分可以说成七点差五分、有时这样表达更清楚，这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，；270写成，；7683写成，．按这个方法请计算（ ）
A．1990 B．2134 C．2068 D．3024
6．（2022·河南·三模）定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
7．（2022·上海·一模）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022·广东·南山实验教育集团南海中学一模）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
9．（2022·天津·一模）定义运算：．若是方程的两根，则的值为（　　　）
A．0 B．1 C．2 D．与有关
10．（2022·河南·平顶山市第七中学一模）对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），…则的值为（ ）
A．4042 B．4048 C．4050 D．10
11．（2022·福建·厦门市湖滨中学二模）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，则8，16均为“和谐数”），在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．3014 B．3024 C．3034 D．3044
12．（2022·山东济南·一模）概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（ 3）÷（ 3）÷（ 3）÷（ 3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（ 3）÷（ 3）÷（ 3）÷（ 3）记作（ 3）4，读作“ 3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．根据所学概念，求（-4）3的值是（ ）
A．-12 B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
13．（2022·江苏盐城·一模）规定，例如：，若，则x的值为______．
14．（2022·四川成都·一模）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，n）是“神奇数对”，且关于x的方程3x﹣6＝n与2x﹣1＝3k的解相等，则k的值为_____．
15．（2022·福建·福州十八中一模）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}，则该函数的最大值为_____．
16．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校一模）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．若，则x的取值范围为________．
17．（2022·河南周口·一模）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）当________时，为“灵动三角形”．
三、解答题（本大题共7小题）
18．（2022·北京·北理工附中一模）对于平面内的及其内部的一点，设点到直线，的距离分别为，，称和这两个数中较大的一个为点关于的“偏率”在平面直角坐标系中，点，分别为轴正半轴，轴正半轴上的两个点．
(1)若点的坐标为，则点关于的“偏率”为______；
(2)若第一象限内点关于的“偏率”为1，则，满足的关系为______；
(3)若第一象限内点关于的“偏率”为2．在平面直角坐标系上，画出所有点E形成的图形．
19．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．
(1)已知．
①在点中，线段的“等幂点”是____________；
②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；
已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．
20．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级期末）“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“三高四新”点，经过的函数，称为“三高四新”函数．
（1）下列函数是“三高四新”函数的有_____；
① ② ③ ④
（2）若关于x的一次函数是“三高四新”函数，且它与y轴的交点在y轴的正半轴，求k的取值范围；
（3）关于x的二次函数的图象顶点为A，点和点是该二次函数图象上的点且使得，试判断直线MN是否为“三高四新”函数，并说明理由．
21．（2022·北京·九年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形．
例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．
已知点，
(1)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的　　（填序号）①；②；③
(2)若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围；
(3)若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围．
22．（2022·北京西城·九年级期末）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．
在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，
①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ：
②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ．
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．
（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．
23．（2022·北京东城·九年级期末）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A B （A ，B 分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
（1）如图2，的横、纵坐标都是整数．
①在线段中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______；
②若线段中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ；
（2）已知直线交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
24．（2022·江苏镇江·一模）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最短间距”，例如：如图，点的“最短间距”是1（即的长）．
(1)点的最短间距是_________；
(2)已知点，点在第三象限．
①若点O，A，B的最短间距是1，求y的值；
②点O，A，B的“最短间距”的最大值为__________；
(3)已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点，当点的最短间距取到最大值时，则此时点P的坐标_________．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
2．D
3．D
4．A
5．C
6．C
7．C
8．B
9．A
10．A
11．B
12．D
13．3
14．3
15．-1
16．x≥1
17．80°或52.5°或30°
18．(1)5
(2)a＝b
19．(1)①，；②或
(2)或
20．（1）①②④；（2）且k≠0；（3）直线MN为“三高四新”函数
21．(1)②③；
(2)的取值范围为或；
(3)的取值范围为；
22．（1）①；②0；（2）；（3）4或1
23．（1）① A1B1；②2或3；（2）b的最大值为，此时BC＝；b的最小值为，此时BC＝
24．(1)2
(2)①-1；②3
(3)（，）
答案第1页，共2页
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