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专题四 导数及其应用 第二讲 导数的应用
（一）核心知识整合
考点1：导数与函数的单调性
1.函数单调性与导数的关系
设函数在内可导，是的导数，则在某个区间内，如果f′(x0)>0那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.
[典型例题]
1.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析]　 ，.
因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，即，
所以.
设，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故选B.
[变式训练]
1. 已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
[答案]：D
[解析] 由已知得当时，.
令，则当时，，
所以在上为单调递减函数.
由是定义在的奇函数，得，
故是定义在的偶函数，且的图象关于y轴对称.
令，函数在上为减函数，
且函数图象关于直线对称，当时，，则，即，即，，即，得.
依据函数的图象关于直线对称，得当时，不等式的解集为，故原不等式的解集为，故选D.
考点2 ：导数与函数的极（最）值
1.函数的极值
a.函数的极值的定义
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；
（2）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
b.求函数极值的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左正右负，则在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
2. 函数的最值
（1）函数的最小值与最大值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值，如.
（2）通过导数求数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
求函数在内的导数；
求方程在内的根；
求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值；
比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
[典型例题]
1. 已知函数的极小值点,则( )
A. B. C.4 D.2
[答案]：D
[解析] ,令得或,易得在上单调递减,在上单调递增,故极小值为,由已知得,故选D.
[变式训练]
1. 若直线与曲线相切，则的最大值为( )
A. B. C.e D.
[答案]：D
[解析] 设直线与曲线相切于点，
，，
可得切线的斜率为，则，所以，
又切点也在直线上，则，
，
，
设，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可得的最大值为，
即的最大值为.故选D.
考点3：导数的综合应用
1.不等式恒成立（有解）问题的处理方法
（1）形如恒成立，主要方法如下：
法1：构造函数，使恒成立，即恒成立，求的最小值即可.
法2：参变量分离：或恒成立，即或，求的最大值或最小值即可.
（2）形如有解问题的求解方法：
法1：构造函数：，在时有解，即有解，即求的最大值即可.
法2：参变量分离：有解，即或，即求的最值问题.
2.证明形如的不等式恒成立的方法
法1：构造函数：，即恒成立，转化为求的最小值问题.
法2：若，则恒成立，证明的最小值大于或等于的最大值.
法3：中间变量法：且，则（为中间函数，且为一次函数较多）.
3.生活中的优化问题
（1）生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，导数在这一类问题中有着重要的作用，它是求函数最大（小）值的有力工具.
（2）解决优化问题的基本思路：
[典型例题]
1. 已知是R上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 依题意，在R上是增函数，，不等式恒成立，即恒成立，等价于恒成立，.令，则，易得，，，故选D.
[变式训练]
1. 设，已知函数，对于任意，，都有，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 设，则，当或时，，单调递增；当时，单调递减，当时，，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，所以，，因为对于任意，，都有，所以，即，即，解得或.又，所以实数m的取值范围为.
故选B.

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