资源简介

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛
说明：
1．请考生使用0.5mm的碳素笔或钢笔进行作答，不得使用计算器．
2．评阅试卷时，请根据本评分标准填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．
3．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1．设集合中的最大元素与最小元素分别为M，N，则___________．
2．已知，则不等式的解集为___________．
3．甲、乙、丙三人从1楼乘电梯去商场的3到7楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有___________种．
4．设z为复数，若方程表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率___________．
5．已知椭圆的左右焦点为，点P在直线上，当取最大值时，的值为___________．
6．设，且，若，则的值___________．
7．已知二面角的平面角为，A，D为直线l上的两点，射线在平面内，射线在平面内，已知，则等于___________．
8．设a，b都是正整数，且，则的个位数字是___________．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本题满分16分）直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边上，且，求的最小值．
10．（本题满分20分）如图，己知内接于抛物线，且边所在直线分别与抛物线相切，F为抛物线M的焦点．
求证：（1）边所在直线与抛物线M相切；
（2）A，C，B，F四点共圆．
11．（本题满分20分）（1）若实数x，y，z满足，证明：；
（2）若2023个实数满足，求的最大值．
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛
参考答案
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1．解：由知，，当时，得最大元素，又，当时，得最小元素，因此，．
2．解：令，易得为奇函数且单调递增．原不等式等价于．所以．故不等式的解集为．
3．解：．
4．答案：
解：令，则．由复数的几何意义知．所以由前两式知，即，
故．因此z的轨迹是实轴长为、焦距为6的双曲线，所以双曲线的离心率为．
5．解：由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于点P，设直线l交x轴于点，则，即，则，又由圆幂定理得，
而，所以，代入前面两式，得．
6．解：因为，所以
原等式的左边．
则，故，从而可得．则，且的值为6，9，18，解得，故．
7．答案：
解：在平面中，过点A作的垂线，交射线于点B，交射线于点C，设，
则，则是二面角的平面角；在中，利用余弦定理，得，同理在中，所以
8．解：因为，所以由二项式定理得，由以上二式得，．故
．
设，则．由于与是方程的两个根，故，利用此递推式可得的个位数字为2，8，0，2，8，0，2，8，…因此，综上，的个位数字为2．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．解：设，则，
设．在中，，则，
在中，，则，
所以
所以
所以当时，的最小值为．
10．证明：设，
（1）的直线方程为
即代入整理得
∴，即 ①
同理直线与抛物线相切可得 ②
∴为方程的两根，则
同理直线方程与抛物线联立可得
∴
∴直线与抛物线M相切，得证．
（2）由（1）得当或时，方程①无解．
已知，则
则
由（1）同理可得
∴，其中
所以，
当时，可得
得．
．
所以，A，F，B，C四点共圆．得证．
11．证明：（1）不妨设，则
（2）因为2023为奇数，则中必存在（令）同号，不妨设同号，则：
．
不妨设，则，所以：
．
当且仅当或时等号成立．
因此的最大值为．

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