资源简介

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题十 函数与导数
第2讲 函数的性质
一.单调性
增函数、减函数的定义
1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
变形：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：增+增=增 减+减=减
（三）复合函数的单调性
y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”
二．函数的奇偶性
（一）奇函数、偶函数定义
1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
偶函数的图像关于y轴对称
（二）注意事项
1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
2.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
（三）判断函数奇偶性的3种常用方法
1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
2.图象法：
3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
三、周期性与对称性
1.轴对称：
①f(x)=f(-x)，关于x=0对称
②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称
③f(a+x)=f(b-x)，关于x=对称
2.中心对称：
①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称
②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称
③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称
3.周期性：
①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.
②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al
③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al
④f(x+a)=±，T=l2al
1．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（　　）
A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x
C．f（x） D．f（x）
【解答】解：函数f（x）＝3﹣x在（0，+∞）上为减函数，不满足题意；
函数f（x）＝x2﹣3x在（0，）上为减函数，不满足题意；
函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，满足题意；
函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不满足题意；
故选：C．
2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（　　）
A．y＝log2x B．y＝x3+x C．y＝3x D．y＝x﹣1
【解答】解：A、定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数；
B、定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）3﹣x＝﹣f（x），故是奇函数，又y′＝3x2+1＞0，所以函数为增函数，满足题意；
C、定义域为R，f（﹣x）≠f（x），是非奇非偶函数；
D、定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）＝（﹣x）﹣1＝﹣f（x），故是奇函数，又y′＝﹣x﹣2＜0，所以函数在（﹣∞，0）、（0，+∞）上是单调减函数，不满足题意．
故选：B．
3．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（　　）
A．y＝ex B．y＝sinx C．y D．y＝x3
【解答】解：y＝ex，y为非奇非偶函数，不符合题意；
y＝sinx在定义域R上不单调，不符合题意，
根据幂函数性质得，y＝x3为奇函数，且在定义域R上单调递增，符合题意．
故选：D．
4．下列函数中，既是（0，+∞）上的增函数，又是偶函数的是（　　）
A．y B．y＝2x C．y＝1﹣|x| D．y＝lg|x|
【解答】解：函数在（0，+∞）上是减函数，且是奇函数，即A不符合题意；
函数y＝2x是非奇非偶函数，即B不符合题意；
函数y＝1﹣|x|在（0，+∞）上是减函数，即C不符合题意；
对于函数y＝lg|x|，当x＞0时，有y＝lgx，单调递增；而f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，即D正确．
故选：D．
5．下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（　　）
A．f（x）＝x|x| B．f（x）＝﹣x3
C．f（x） D．f（x）
【解答】解：由f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），知函数f（x）＝x|x|为奇函数，又f（x）＝x|x|当x＞0时，f（x）＝x2在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，
所以当x＜0时，f（x）＝﹣x2在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）＝x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确．
∵2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函数f（x）＝x3在定义域内不是增函数，故B不正确．
∵不关于原点对称，∴f（x）＝sinx在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确．
∵f（x）的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）在定义域内不是奇函数，故D不正确．
故选：A．
6．设f（x）是奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x（1+x），则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）等于（　　）
A．x（1+x） B．﹣x（1+x） C．x（1﹣x） D．﹣x（1﹣x）
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，代入函数在（0，+∞）上的解析式，得f（﹣x）＝﹣x（1﹣x），
∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝x（1﹣x），
故选：C．
7．已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2）
C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）
【解答】解：任取x＜0则﹣x＞0，
∵x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，
∴f（﹣x）＝x2+2x，①
又函数y＝f（x）在R上为奇函数
∴f（﹣x）＝﹣f（x）②
由①②得x＜0时，f（x）＝﹣x（x+2）
故选：A．
8．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：对于函数知f（x）＝ax2+bx，
依题意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．
又 a﹣1＝﹣2a，∴a，
∴a+b．
故选：B．
9．已知f（x）是奇函数，那么实数a的值等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，∴，解得a＝1．
故选：A．
10．已知f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x﹣2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x﹣2，
则f（）2，
又由f（x）为奇函数，则f（）＝﹣f（），
故选：C．
11．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x3+1，则f（﹣2）＝　﹣9　．
【解答】解：根据题意，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x3+1，则f（2）＝23+1＝9，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣9，
故答案为：﹣9
12．已知函数f（x）＝ln（x）是奇函数，则a＝　1　．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（x），则f（﹣x）＝ln（x），
若f（x）为奇函数，则有f（x）+f（﹣x）＝ln[（x）（x）]＝lna＝0，
解可得：a＝1，
故答案为：1．
13．已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（），则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在[0，+∞）上的单调减函数，
若f（2a﹣1）＞f（），则有0≤2a﹣1，解可得a，
即a的取值范围为[，），
故选：D．
14．若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0]单调递减，则不等式f（x）+f（x﹣2）≥0的解集为（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
【解答】解：因为定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0]单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以f（x）在R上单调递减，
所以不等式f（x）+f（x﹣2）≥0即为f（x）≥﹣f（x﹣2）＝f（2﹣x），
所以x≤2﹣x，解得x≤1，
即不等式的解集为（﹣∞，1]．
故选：B．
15．设函数f（x）＝e|x|，则使得f（2x﹣1）＜f（x）成立的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，
∴由f（2x﹣1）＜f（x）得，f（|2x﹣1|）＜f（|x|），
∴|2x﹣1|＜|x|，
∴（2x﹣1）2＜x2，解得x＜1，
∴x的取值范围是（，1）．
故选：A．
16．已知a，x0均为实数，且函数f（x）＝x+sinx+a，若f（x0）+f（﹣x0）＝4，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x+sinx+a，则f（﹣x）＝﹣x﹣sinx+a，
则有f（x）+f（﹣x）＝2a，
若f（x0）+f（﹣x0）＝4，则2a＝4，必有a＝2，
故选：B．
17．已知函数f（x）为奇函数，设g（x）＝f（x）+a，若g（x）的最大值为M，最小值为m，且M+m＝5，求实数a的值为　　．
【解答】解：根据题意，g（x）＝f（x）+a，则f（x）＝g（x）﹣a，
又由g（x）的最大值为M，最小值为m，则f（x）的最大值为M﹣a，最小值为m﹣a，
而f（x）为奇函数，则（M﹣a）+（m﹣a）＝0，即M+m﹣2a＝0，
又由M+m＝5，则a，
故答案为：．
18．若函数f（x）是周期为2的函数，且x∈[0，2]时，f（x）＝（x﹣1）2+sinπx，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数f（x）是周期为2的函数，且x∈[0，2]时，f（x）＝（x﹣1）2+sinπx，
所以 ．
故选：C．
19．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝f（x），且当x∈（1，3]时，f（x）＝log4x，则f（2021）＝（　　）
A． B．0 C．log43 D．1
【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝f（x），则f（x）是周期为3的周期函数，
则f（2021）＝f（2+2019）＝f（2），
又由当x∈（1，3]时，f（x）＝log4x，则f（2）＝log42，
故f（2021），
故选：A．
20．已知函数f（x）是R上的偶函数．若对于x≥0都有f（x）＝f（2+x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2019）+f（2020）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：因为f（x）为R上的偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x），
又因为对于x≥0，都有f（x）＝f（2+x），
所以函数f（x）的周期T＝2，
f（﹣2019）+f（2020）＝f（2019）+f（2020）＝f（1）+f（0）
＝log2（1+1）+log2（0+1）＝1+0＝1．
故选：C．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题十 函数与导数
第2讲 函数的性质
一.单调性
增函数、减函数的定义
1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
变形：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：增+增=增 减+减=减
（三）复合函数的单调性
y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”
二．函数的奇偶性
（一）奇函数、偶函数定义
1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称
2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
偶函数的图像关于y轴对称
（二）注意事项
1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件
2.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
（三）判断函数奇偶性的3种常用方法
1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
2.图象法：
3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
三、周期性与对称性
1.轴对称：
①f(x)=f(-x)，关于x=0对称
②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称
③f(a+x)=f(b-x)，关于x=对称
2.中心对称：
①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称
②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称
③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称
3.周期性：
①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.
②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al
③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al
④f(x+a)=±，T=l2al
1．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（　　）
A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x
C．f（x） D．f（x）
2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（　　）
A．y＝log2x B．y＝x3+x C．y＝3x D．y＝x﹣1
3．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（　　）
A．y＝ex B．y＝sinx C．y D．y＝x3
4．下列函数中，既是（0，+∞）上的增函数，又是偶函数的是（　　）
A．y B．y＝2x C．y＝1﹣|x| D．y＝lg|x|
5．下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（　　）
A．f（x）＝x|x| B．f（x）＝﹣x3
C．f（x） D．f（x）
6．设f（x）是奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x（1+x），则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）等于（　　）
A．x（1+x） B．﹣x（1+x） C．x（1﹣x） D．﹣x（1﹣x）
7．已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2）
C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）
8．已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　）
A． B． C． D．
9．已知f（x）是奇函数，那么实数a的值等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
10．已知f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x﹣2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x3+1，则f（﹣2）＝　 　．
12．已知函数f（x）＝ln（x）是奇函数，则a＝　 　．
13．已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（），则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
14．若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0]单调递减，则不等式f（x）+f（x﹣2）≥0的解集为（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
15．设函数f（x）＝e|x|，则使得f（2x﹣1）＜f（x）成立的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
16．已知a，x0均为实数，且函数f（x）＝x+sinx+a，若f（x0）+f（﹣x0）＝4，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
17．已知函数f（x）为奇函数，设g（x）＝f（x）+a，若g（x）的最大值为M，最小值为m，且M+m＝5，求实数a的值为　 　．
18．若函数f（x）是周期为2的函数，且x∈[0，2]时，f（x）＝（x﹣1）2+sinπx，则（　　）
A． B． C． D．
19．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝f（x），且当x∈（1，3]时，f（x）＝log4x，则f（2021）＝（　　）
A． B．0 C．log43 D．1
20．已知函数f（x）是R上的偶函数．若对于x≥0都有f（x）＝f（2+x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2019）+f（2020）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

展开更多......

收起↑