资源简介

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题四 解三角形
第1讲 正弦定理与余弦定理
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式　
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型一.正弦定理
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，B＝60°，那么角A等于（　　）
A．135° B．90° C．45° D．30°
【解答】解：∵△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，B＝60°，
∴，即∴sinA
又，∴A＝45°
故选：C．
2．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【解答】解：△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，由正弦定理可得 ，即 ，
解得sinB．
再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B＝60°或120°，
故选：D．
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a，则该三角形解的情况是（　　）
A．无数解 B．2解 C．1解 D．无解
【解答】解：∵△ABC中，A，a，
∴由正弦定理，得sinC，
∵a＜c，∴C有两个解，
∴△ABC是有两个解．
故选：B．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acosBbsinA，则B＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为3acosBbsinA，所以3sinAcosBsinBsinA，
因为sinA≠0，所以tanB，
因为B∈（0，π），所以B
故选：C．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bsinAa，且a＞b，则B＝（　　）
A． B． C． D．或
【解答】解：∵2bsinAa，∴2sinBsinAsinA，
∵sinA≠0，∴sinB，
∴B或B，
∵a＞b，∴A＞B，
∴B，∴B．
故选：B．
6．在△ABC中，若b＝asinC，c＝acosB，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【解答】解：在△ABC中，∵b＝asinC，c＝acosB，
故由正弦定理可得 sinB＝sinAsinC，sinC＝sinAcosB，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB＝sinAcosB，∴cosAsinB＝0．
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A．
再根据 sinB＝sinAsinC，可得 sinB＝sinC，即a＝b，
故△ABC的形状为等腰直角三角形，
故选：C．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinAacosB＝2bc，则A＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵bsinAacosB＝2bc，
∴由正弦定理可得：sinBsinAsinAcosB＝2sinBsinC，
∴sinBsinAsinAcosB＝2sinBsinC＝2sinB（sinAcosB+cosAsinB），
∴sinBsinA＝2sinBcosAsinB，
又∵sinB≠0，
∴sinAcosA＝2，
∴2sin（A）＝2，可得A2kπ，k∈Z，
又A∈（0，π），∴A．
故选：C．
（多选）8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，且，则以下说法正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若sinA＝2cosBsinC，则△ABC是等边三角形
D．若△ABC的面积是2，则该三角形外接圆半径为4
【解答】解：由正弦定理可将条件转化为sinA＝2sinCsinA，
因为sinA≠0，故sinC，
因为C∈（0，），则C，故A正确；
若c，则由正弦定理可知，则sinB，
因为B∈（0，π），则cosB＝±±±，故B错误；
若sinA＝2cosBsinC，根据正弦定理可得a＝2ccosB，
又因为，即acsinA，即有csinA＝2ccosB，所以sinAcosB，
因为A+B＝π﹣C，则AB，故sin（B）cosB，
整理得cosBsinBcosB，即sinBcosB，
解得tanB，故B，则A，
即A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形，故C正确；
若△ABC的面积是2，即absinC＝2，解得a＝2，
由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝4+16﹣2×2×412，即c＝2
设三角形的外接圆半径是R，
由正弦定理可得2R4，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，
故选：AC．
题型二.余弦定理
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则cosC＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，
根据余弦定理，得cosC．
故选：B．
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）＝ab，则角A+B＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由（a+b﹣c）（a+b+c）＝ab得：a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴cosC，
又0＜C＜π，∴C，
∴A+B＝π﹣C＝π，
故选：C．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA，则（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA，
∴由正弦定理得：，解得3c2，
∴6．
故选：A．
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA．
又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+4b2﹣4b23b2，
得．
故选：D．
5．在△ABC中，cos，BC＝1，AC＝5，则AB＝（　　）
A．4 B． C． D．2
【解答】解：在△ABC中，cos，cosC＝2，
BC＝1，AC＝5，则AB4．
故选：A．
6．设△ABC的三边分别为a，b，c，若a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，则△ABC的外接圆半径为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：∵a2+b2＝c2﹣ab，可得：a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴cosC，
∵C∈（0，π），
∴C，
∵c＝1，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R，
解得R．
故选：A．
7．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，，，则bc等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由余弦定理可知：cosA，
∴，解得bc＝2．
故选：B．
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若acosB﹣bcosAc，则的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】解：由acosB﹣bcosAc及正弦定理可得
sinAcosB﹣sinBcosAsinC，即sinAcosB﹣sinBcosAsin（A+B），
即5（sinAcosB﹣sinBcosA）＝3（sinAcosB+sinBcosA），
即sinAcosB＝4sinBcosA，因此tanA＝4tanB，
所以4．
故选：C．
题型三.周长与面积问题
1．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若△ABC的面积是，，a＝2c，则b＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：因为△ABC的面积是，，a＝2c，
所以6acsinB，解得c＝2，可得a＝4，
由余弦定理可得b6．
故选：C．
2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A+C＝2B，a＝1，b，则S△ABC等于（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：∵A+C＝2B，
∴A+B+C＝3B＝π，即B，
由正弦定理知，，
∴，∴sinA，
∵a＜b，∴A＜B，即A为锐角，∴A，∴C，
∴S△ABCab1．
故选：C．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，a，c＝2，则A＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC的面积为，
∴absinC①，
由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcosC②，
由①②得，absinC，
∴tanC＝﹣1，
∵C∈（0，π），∴C，
由正弦定理知，，
∴，∴sinA，
∵A∈（0，），
∴A．
故选：D．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c2＝a2+b2﹣ab，ab＝6，则△ABC的面积为（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，由c2＝a2+b2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，
∴cosC，
∵C∈（0，π），∴C＝60°，
又ab＝6，
∴．
故选：C．
5．设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，sin2A+sin2B﹣sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sinAsinB＝sin2C
∴由正弦定理得a2+b2﹣ab＝c2，
即a2+b2﹣c2＝ab．
∴cosC，即C，
∵ab＝4，
∴△ABC的面积S．
故选：D．
6．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，若满足关系式a2+b2﹣c2＝4S，则角C＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为a2+b2﹣c2＝4S，
所以2abcosC＝2absinC，
故sinC＝cosC即tanC＝1，
因为C为三角形的内角，所以C．
故选：A．
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，3c2＝16S+3（b2﹣a2），则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由正弦的面积公式知，S，
∵3c2＝16S+3（b2﹣a2），∴3（c2+a2﹣b2）＝16，
由余弦定理知，c2+a2﹣b2＝2ac cosB，
∴3×2ac cosB＝8ac sinB，即tanB．
故选：D．
（多选）8．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，sinA＝2sinC，则以下四个结论正确的有（　　）
A．△ABC不可能是直角三角形
B．△ABC有可能是等边三角形
C．当A＝B时，△ABC的周长为15
D．当B时，△ABC的面积为6
【解答】解：b＝6，sinA＝2sinC，即a＝2c，若A为直角，由36+c2＝4c2，可得c＝2，满足条件的△ABC可能是直角三角形，故A错误；
由于a＝2c，故△ABC不可能是等边三角形，故B错误；
等A＝B时，a＝b＝2c＝6，可得c＝3，可得△ABC的周长为a+b+c＝6+6+3＝15，故C正确；
当B时，b＝6，a＝2c，由余弦定理可得36＝a2+c2﹣ac＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝2，a＝4，可得△ABC的面积为SacsinB6，故D正确．
故选：CD．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题四 解三角形
第1讲 正弦定理与余弦定理
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式　
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型一.正弦定理
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，B＝60°，那么角A等于（　　）
A．135° B．90° C．45° D．30°
2．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B等于（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，a，则该三角形解的情况是（　　）
A．无数解 B．2解 C．1解 D．无解
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acosBbsinA，则B＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bsinAa，且a＞b，则B＝（　　）
A． B． C． D．或
6．在△ABC中，若b＝asinC，c＝acosB，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinAacosB＝2bc，则A＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，且，则以下说法正确的是（　　）
A．
B．若，则
C．若sinA＝2cosBsinC，则△ABC是等边三角形
D．若△ABC的面积是2，则该三角形外接圆半径为4
题型二.余弦定理
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则cosC＝（　　）
A． B． C． D．
2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）＝ab，则角A+B＝（　　）
A． B． C． D．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA，则（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，cos，BC＝1，AC＝5，则AB＝（　　）
A．4 B． C． D．2
6．设△ABC的三边分别为a，b，c，若a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，则△ABC的外接圆半径为（　　）
A． B． C． D．2
7．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，，，则bc等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若acosB﹣bcosAc，则的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
题型三.周长与面积问题
1．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若△ABC的面积是，，a＝2c，则b＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A+C＝2B，a＝1，b，则S△ABC等于（　　）
A． B． C． D．2
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，a，c＝2，则A＝（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c2＝a2+b2﹣ab，ab＝6，则△ABC的面积为（　　）
A．3 B． C． D．
5．设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，sin2A+sin2B﹣sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，若满足关系式a2+b2﹣c2＝4S，则角C＝（　　）
A． B． C． D．
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，3c2＝16S+3（b2﹣a2），则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）8．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，sinA＝2sinC，则以下四个结论正确的有（　　）
A．△ABC不可能是直角三角形
B．△ABC有可能是等边三角形
C．当A＝B时，△ABC的周长为15
D．当B时，△ABC的面积为6

展开更多......

收起↑