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专题六 数列
第2讲 等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
4．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。
一．选择题（共15小题）
1．已知等比数列{an}中，a2＝﹣4，，则公比q＝（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
2．已知数列{an}}满足an+1an，若a4＝8，则a1等于（　　）
A．1 B．2 C．64 D．128
3．已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝（　　）
A．5 B．±5 C．±3 D．3
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，2a9＝a3﹣a6，则a8的值为（　　）
A．2 B． C． D．
5．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
6．在正项等比数列{an}中，a1＝1，且3a3，a2，2a4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝（　　）
A．2 B． C．2 D．
7．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（　　）
A．128或﹣128 B．128 C．64或﹣64 D．64
8．已知各项均为正数的数列{an}为等比数列，若a1 a5＝16，a3+a4＝12，则公比q＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
9．设数列{an}是各项为正数的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝16，8，则S5＝（　　）
A．40 B．20 C．31 D．43
10．已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2＝16，2a2+a3＝a4，则log2a1+log2a2+log2a3+ +log2a100等于（　　）
A．11000 B．5050 C．5000 D．10000
11．设递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（　　）
A．9 B．27 C．81 D．
12．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝﹣2，S3＝﹣6，且公比q≠1，则a3＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．﹣2或﹣8
13．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a3a4a5＝29，则a3＝（　　）
A．16 B．8 C．4 D．2
14．在正项等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝a2+2，Sn为其前n项的和，则（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
15．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若2S3＝a4+1，2S2＝a3+1，则a1＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
二．多选题（共2小题）
（多选）16．等比数列{an}中，，q＝2，则a4与a8的等比中项可能是（　　）
A．﹣4 B．4 C． D．
（多选）17．已知等比数列{an}中，满足a1＝1，，则（　　）
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递减数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
三．填空题（共2小题）
18．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为，则S5＝　 　
19．记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，a2a4，则S10＝　 　．
四．解答题（共4小题）
20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝6，S4＝20．
（1）求an；
（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+3a2＝1，S6＝﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求证：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的前n项和Tn．
22．已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a4＝9，S4＝24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求证：{bn}为等比数列．
23．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（an+1）2（n∈N*）．
（1）求a1，a2；
（2）求证：数列{an}是等差数列．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题六 数列
第2讲 等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
4．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。
一．选择题（共15小题）
1．已知等比数列{an}中，a2＝﹣4，，则公比q＝（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
【解答】解：等比数列{an}中，a2＝﹣4，，
可得a2q3＝a5，即﹣4q3，解得q．
故选：B．
2．已知数列{an}}满足an+1an，若a4＝8，则a1等于（　　）
A．1 B．2 C．64 D．128
【解答】解：数列{an}}满足an+1an，∴公比为．
∵a4＝8，则a18，解得a1＝64．
故选：C．
3．已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝（　　）
A．5 B．±5 C．±3 D．3
【解答】解：设公比为q，由等比数列的通项公式可得 a5＝a1q4，即 9＝1 q4，解得 q2＝3，∴a3＝a1 q2＝3，
故选：D．
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，2a9＝a3﹣a6，则a8的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：由a9＝a3﹣a6，则2q6＝1﹣q3，又q＞0，所以，
∴，
故选：C．
5．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【解答】解：等差数列{an}的公差设为d和等比数列{bn}的公比设为q，
由a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，可得﹣1+3d＝﹣q3＝8，
可得d＝3，q＝﹣2，
则1，
故选：C．
6．在正项等比数列{an}中，a1＝1，且3a3，a2，2a4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝（　　）
A．2 B． C．2 D．
【解答】解：设等比数列公比为q，
因为3a3，a2，2a4成等差数列，所以2a2＝3a3+2a4，
即2a1q＝3a1q2+2a1q3，
因为正项等比数列{an}，所以2q2+3q﹣2＝0，
解得q或q＝﹣2（舍去），
所以Sn2，
故选：A．
7．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（　　）
A．128或﹣128 B．128 C．64或﹣64 D．64
【解答】解：由等比数列的性质可得，a1a34，
∴a2＝2或﹣2，
∵a9＝256，当a2＝2时，q7＝128即q＝2，则a8＝128，
当a2＝﹣2时，q7＝﹣128即q＝﹣2，则a8＝﹣128，
故选：A．
8．已知各项均为正数的数列{an}为等比数列，若a1 a5＝16，a3+a4＝12，则公比q＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【解答】解：根据题意，等比数列{an}的公比q＞0，由a1a5＝a16，解得a3＝4或a3＝﹣4（舍去），
又a3+a4＝12，得a4＝12﹣4＝8，所以q2．
故选：C．
9．设数列{an}是各项为正数的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝16，8，则S5＝（　　）
A．40 B．20 C．31 D．43
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a2a4＝16，8，
∴16，q3＝8，解得q＝2，a1＝1．
则S531．
故选：C．
10．已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2＝16，2a2+a3＝a4，则log2a1+log2a2+log2a3+ +log2a100等于（　　）
A．11000 B．5050 C．5000 D．10000
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由2a2+a3＝a4，得a1（2q+q2）＝a1q3，
又a1≠0，所以2q+q2＝q3，整理得q（q+1）（q﹣2）＝0，
解得q＝2或q＝﹣1（舍去），q＝0（舍去），
由2a1+3a2＝16，得2a1+6a1＝16，解得a1＝2，
所以an＝2×2n﹣1＝2n，
所以log2a1+log2a2+log2a3+ +log2a100＝log2（a1a2 a100）＝log221+2+ +100＝1+2+ +100（1+100）＝5050．
故选：B．
11．设递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（　　）
A．9 B．27 C．81 D．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0，
解可得q＝3或，
又由数列{an}为递增的等比数列，则q＝3，
若S4，则S440a1，解可得a1，
则a4＝a1q3＝9，
故选：A．
12．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝﹣2，S3＝﹣6，且公比q≠1，则a3＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．﹣2或﹣8
【解答】解：∵S1＝﹣2；
∴a1＝﹣2，设等比数列{an}的公比为q，则：；
∴q2+q﹣2＝0；
∵q≠1；
∴解得q＝﹣2；
∴．
故选：C．
13．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a3a4a5＝29，则a3＝（　　）
A．16 B．8 C．4 D．2
【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a3a4a5＝29，
∴，
解得a1＝1，q＝2，
∴a3＝1×22＝4．
故选：C．
14．在正项等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝a2+2，Sn为其前n项的和，则（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，则 q＞0．∵a1＝1，a3＝a2+2，∴q2＝q+2 q＝2．
∴1+q3＝9，
故选：B．
15．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若2S3＝a4+1，2S2＝a3+1，则a1＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：2S3＝a4+1，2S2＝a3+1，
两式相减可得2a3＝a4﹣a3，即a4＝3a3，则公比q＝3，
∴2（a1+3a1）＝9a1+1，
∴a1＝﹣1，
故选：B．
二．多选题（共2小题）
（多选）16．等比数列{an}中，，q＝2，则a4与a8的等比中项可能是（　　）
A．﹣4 B．4 C． D．
【解答】解：设a4与a8的等比中项是x．
由等比数列{an}的性质可得x2＝a4 a82327＝16，
∴x＝±4，
∴a4与a8的等比中项x＝±4．
故选：AB．
（多选）17．已知等比数列{an}中，满足a1＝1，，则（　　）
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递减数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
【解答】解：等比数列{an}中，满足a1＝1，，则an，a2n，2n﹣1，log2an＝1﹣n，
可得数列{a2n}是等比数列，数列是递增数列，数列{log2an}是等差数列，因此AC正确，B不正确．
由S102[1]，S202[1]，S302[1]，
∴1]，，∴S10，S20，S30不成等比数列，因此D不正确．
故选：AC．
三．填空题（共2小题）
18．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为，则S5＝　31　
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，q＞0，
a1a6＝2a3，可得a12q5＝2a1q2，即a1q3＝2，
a4与2a6的等差中项为，可得a4+2a6＝a1q3+2a1q5＝3，
解得a1＝16，q（负的舍去），
则S531．
故答案为：31．
19．记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，a2a4，则S10＝　　．
【解答】解：因为正项等比数列{an}，S3，a2a4，
所以，整理得6q2﹣q﹣1＝0，
解得q或q（舍），a1＝1
则S10．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝6，S4＝20．
（1）求an；
（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
【解答】解：（1）设公差为d，则a3＝a1+2d＝6，，
解得，a1＝2，d＝2，
所以：an＝2+（n﹣1）×2＝2n．
（2）因为 ．
又a1，ak，Sk+2成等比数列，所以2（k+2）（k+3）＝（2k）2，化简得：k2﹣5k﹣6＝0
解得：k＝6或k＝﹣1，
又k∈N*，∴k＝6．
21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+3a2＝1，S6＝﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求证：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a5+3a2＝1，S6＝﹣3，得，解得．
∴an＝2﹣（n﹣1）＝3﹣n；
证明：（2）23﹣n，则，
又0，
∴数列{bn}是以4为首项，以为公比的等比数列，
可得．
22．已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，a4＝9，S4＝24．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求证：{bn}为等比数列．
【解答】（1）解：因为{an}是等差数列，a4＝9，S4＝24，
所以，
解得，a1＝3，d＝2，
所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）证明：32n+1，
所以9，
所以{bn}是以9为公比的等比数列．
23．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（an+1）2（n∈N*）．
（1）求a1，a2；
（2）求证：数列{an}是等差数列．
【解答】（1）解：∵正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn（an+1）2（n∈N*），
令n＝1，可得 a1，∴a1＝1．
再令n＝2，可得1+a2，求得a2＝3 或﹣1 （舍去），
即a2＝3．
（2）证明：∵a1＝1，Sn（an+1）2（n∈N*），
∴当n≥2时，Sn﹣1（an﹣1+1）2，
∴Sn﹣Sn﹣1＝an（an+1）2（an﹣1+1）2，
化简得（an+an﹣1） （an﹣an﹣1﹣2）＝0．
∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝2（n≥2）．
∴an＝1+（n﹣1） 2＝2n﹣1，
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

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