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专题六 数列
第3讲 数列通项与求和
一、数列求通项：
1.利用与的关系求通项公式；
2.累加法：若已知且的形式；
3.累乘法：若已知且的形式；
4.构造法：的形式
二、数列求和：
1.分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
2.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝4n2+2n，则此数列的通项公式为（　　）
A．an＝2n﹣2 B．an＝8n﹣2 C．an＝2n﹣1 D．an＝n2﹣n
【解答】解：∵Sn＝4n2+2n，∴n＝1时，a1＝S1＝6；
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝4n2+2n﹣[4（n﹣1）2+2（n﹣1）]＝8n﹣2．n＝1时也成立．
∴an＝8n﹣2．
故选：B．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝3an﹣1，则通项公式an等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：2Sn＝3an﹣1，可得2a1＝2S1＝3a1﹣1，解得a1＝1；
n≥2时，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣1，又2Sn＝3an﹣1，
两式相减可得2an＝3an﹣3an﹣1，即为an＝3an﹣1，
则数列{an}为首项为1，公比为3的等比数列，
可得an＝3n﹣1，
故选：C．
3．数列{an}中，已知a1＝2，且an+1＝an+2n+1，则a10＝（　　）
A．19 B．21 C．99 D．101
【解答】解：由an+1＝an+2n+1，得an+1﹣an＝2n+1，
∴a2﹣a1＝2×1+1，
a3﹣a2＝2×2+1，
a4﹣a3＝2×3+1，
…
a10﹣a9＝2×9+1．
累加可得：99．
∴a10＝99+2＝101．
故选：D．
4．数列{an}中，若，则an＝　　．
【解答】解：数列{an}中，若，
可得，
可得：，
，
，
…
得，
累积可得an．
故答案为：．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3＝3，S4＝10．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由，得，
解之得：，
∴an＝1+（n﹣1）×1，
即an＝n；
（Ⅱ）∵，an＝n，
∴，
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn．
6．已知数列{bn}为等比数列，bn＝an+2n﹣1，且a1＝5，a2＝15．
（1）求{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）根据题意，设等比数列{bn}的公比为q，
若bn＝an+2n﹣1，且a1＝5，a2＝15，
则b1＝a1+1＝5+1＝6，b2＝a2+3＝15+3＝18，
则其公比q3，
则bn＝b1qn﹣1＝2×3n，
故bn＝2×3n
（2）根据题意，由（1）的结论bn＝an+2n﹣1＝2×3n，则an＝2×3n﹣（2n﹣1），
则Sn＝（6﹣1）+（18﹣3）+……+[2×3n﹣（2n﹣1）]＝（6+18+……+2×3n）﹣[1+3+……+（2n﹣1]
＝23n+1﹣n2﹣3．
7．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列；
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）令bn＝an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d（d≠0），
因为a1，a2，a4成等比数列，所以，
则，化简得，a1＝d，
由a1＝1得，d＝1，
所以an＝1+（n﹣1）＝n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn＝ann+2n，
所以Sn＝b1+b2+…+bn＝（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）
．
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，a3+S4＝31．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a2＝5，a3+S4＝31．得a1+d＝5，a1+2d+4a1+6d＝31，
解得a1＝3，d＝2，
所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．
（2）由an＝2n+1，得Snn（3+2n+1）＝n2+2n，
所以（），
所以前n项和Tn（1）
（）．
9．已知递增等比数列{an}，a3a4＝32，a1+a6＝33，另一数列{bn}其前n项和Sn＝n2+n．
（1）求{an}、{bn}通项公式；
（2）设{}其前n项和为Tn，求Tn．
【解答】解：（1）设公比为q的递增等比数列{an}，a3a4＝32，
根据等比数列的性质a1 a6＝a3 a4＝32，由于a1+a6＝33，
所以，解得a1＝1，a6＝32，进一步求出q＝2，所以，
由于数列{bn}其前n项和Sn＝n2+n．当n≥2时，2n．
当n＝1时，b1＝2（符合通项公式），故bn＝2n，
（2）由（1）得：，
所以①，所以②，
①﹣②得，
整理得：，
所以8﹣（n+2） （）n﹣2．
10．已知数列{an}满足a1＝2，．等比数列{bn}的公比为3，且b1+b3＝10．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记数列cnbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1＝2，，
∴{}是以为首项，以为公差的等差数列，
∴（n﹣1），
∴an，
∵等比数列{bn}的公比为3，且b1+b3＝10，
∴b1+9b1＝10，
∴b1＝1，
∴bn＝3n﹣1，
（2）∵cnbn3n﹣13n﹣1，
∴Tn＝（1）+（1+3+32+…+3n﹣1）＝1＝1 3n．
11．已知公差为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2 a3＝40，S4＝26，数列{bn}的前n项和Tn＝2n+1﹣2（n∈N*）．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an bn}的前n项和Mn．
【解答】解：（1）公差d为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2 a3＝40，S4＝26，
可得（a1+d）（a1+2d）＝40，4a1+6d＝26，
解得a1＝2，d＝3，即an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；
数列{bn}的前n项和Tn＝2n+1﹣2（n∈N*），
可得b1＝T1＝2；n≥2时，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，对n＝1也成立，
可得bn＝2n，n∈N*；
（2）an bn＝（3n﹣1） 2n，
则前n项和Mn＝2 2+5 4+8 8+…+（3n﹣1） 2n，
2Mn＝2 4+5 8+8 16+…+（3n﹣1） 2n+1，
相减可得﹣Mn＝4+3（4+8+…+2n）﹣（3n﹣1） 2n+1＝4+3 （3n﹣1） 2n+1，
化简可得Mn＝8+（3n﹣4） 2n+1．
12．已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝2an+n﹣1．
（1）证明：数列{an+n}是等比数列；
（2）设bn＝（2n﹣1） （an+n），求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）证明：由a1＝1，an+1＝2an+n﹣1，
可得an+1+（n+1）＝2an+2n＝2（an+n），
则数列{an+n}是首项为2、公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得an+n＝2n，
则bn＝（2n﹣1） （an+n）＝（2n﹣1） 2n，
数列{bn}的前n项和Tn＝1 2+3 22+5 23+...+（2n﹣3） 2n﹣1+（2n﹣1） 2n，
2Tn＝1 22+3 23+5 24+...+（2n﹣3） 2n+（2n﹣1） 2n+1，
上面两式相减可得﹣Tn＝2+2（22+23+...+2n﹣1+2n）﹣（2n﹣1） 2n+1＝2+2 （2n﹣1） 2n+1，
化为Tn＝6+（2n﹣3） 2n+1．
13．已知各项都为正数的等比数列{an}，a2＝32，a3a4a5＝8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，Tn＝|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|，求Tn．
【解答】解：（1）设各项都为正数的等比数列{an}的公比为q，则q＞0．
∵a2＝32，a3a4a5＝8，∴，解得：a1＝27，q，所以an＝29﹣2n，n∈N*；
（2）由（1）知bn＝log2an＝9﹣2n，|bn|，
当1≤n≤4时，Tn＝n8n﹣n2；当n＞4时，Tn＝（7+5+3+1），
所以Tn．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣3．
（1）求{an}；
（2）设bn＝log2，求数列{}的前n项和．
【解答】解：（1）由题设知：Sn＝2an﹣3，Sn﹣1＝2an﹣1﹣3，两式相减得an＝2an﹣2an﹣1，
即an＝2an﹣1，
∴{an}为公比为2的等比数列，
∴；
（2）∵，，
∴．
15．已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an+2n+1，设bn．
（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）证明：当n≥2时，，
b1＝1，所以{bn}是以为1首项，为1公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，bn＝n，所以，
所以．
16．已知数列{an}对任意n∈N*满足a1+3a2+5a3+ +（2n﹣1）an＝（n﹣1）3n+1+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求使得Sn＞2019成立的正整数n的最小值．
【解答】解：（1）因为①，
所以（n≥2）②，
①②两式相减，得（n≥2），
所以③．
又当n＝1时，得a1＝2，不满足上式．
所以数列{an}的通项公式为．
（2）由（1）知，S1＝2，所以S1＞2019不成立，
当n≥2时，Sn＝a1+a2+a3+ +an＝2+32+33+ +3n＝﹣1+3+32+33+ +3n，
由，得3n+1＞4043．
令f（n）＝3n+1，则f（n）为增函数，
又2187＝37＝f（6）＜4043＜f（7）＝38＝6561．
因此要使3n+1＞4043成立，只需n≥7，
故使Sn＞2019成立的正整数n的最小值为7．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题六 数列
第3讲 数列通项与求和
一、数列求通项：
1.利用与的关系求通项公式；
2.累加法：若已知且的形式；
3.累乘法：若已知且的形式；
4.构造法：的形式
二、数列求和：
1.分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
2.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝4n2+2n，则此数列的通项公式为（　　）
A．an＝2n﹣2 B．an＝8n﹣2 C．an＝2n﹣1 D．an＝n2﹣n
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝3an﹣1，则通项公式an等于（　　）
A． B． C． D．
3．数列{an}中，已知a1＝2，且an+1＝an+2n+1，则a10＝（　　）
A．19 B．21 C．99 D．101
4．数列{an}中，若，则an＝　 　．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3＝3，S4＝10．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
6．已知数列{bn}为等比数列，bn＝an+2n﹣1，且a1＝5，a2＝15．
（1）求{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
7．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列；
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）令bn＝an，求数列{bn}的前n项和Sn．
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，a3+S4＝31．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
9．已知递增等比数列{an}，a3a4＝32，a1+a6＝33，另一数列{bn}其前n项和Sn＝n2+n．
（1）求{an}、{bn}通项公式；
（2）设{}其前n项和为Tn，求Tn．
10．已知数列{an}满足a1＝2，．等比数列{bn}的公比为3，且b1+b3＝10．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记数列cnbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
11．已知公差为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2 a3＝40，S4＝26，数列{bn}的前n项和Tn＝2n+1﹣2（n∈N*）．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an bn}的前n项和Mn．
12．已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝2an+n﹣1．
（1）证明：数列{an+n}是等比数列；
（2）设bn＝（2n﹣1） （an+n），求数列{bn}的前n项和Tn．
13．已知各项都为正数的等比数列{an}，a2＝32，a3a4a5＝8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，Tn＝|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|，求Tn．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an﹣3．
（1）求{an}；
（2）设bn＝log2，求数列{}的前n项和．
15．已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an+2n+1，设bn．
（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
16．已知数列{an}对任意n∈N*满足a1+3a2+5a3+ +（2n﹣1）an＝（n﹣1）3n+1+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求使得Sn＞2019成立的正整数n的最小值．

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