资源简介

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专题五 平面向量
第1讲 线性运算、基本定理及坐标
一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
交换律：＋＝＋
结合律：(＋)＋＝＋(＋)
减法：共起点，连终点，指向被减
（三）数乘：求实数λ与向量的积的运算
1.数乘意义：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；
当λ<0时，λ与的方向相反；
当λ＝0时，λ＝0
2.运算律
（1）λ(μ)＝(λμ)
（2）(λ＋μ)＝λ＋μ
（3）λ(＋)＝λ＋λ
3．向量共线定理
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.
4．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
三．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　 　　 　　　　　　　　
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
一．选择题（共18小题）
1．已知D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵D是△ABC的边AB上的中点，
∴，
故选：B．
2．在△ABC中，若点D是BC边上靠近点C的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由点D是BC边上靠近点C的三等分点，则，
所以，
故选：B．
3．在△ABC中，，．若点D满足，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，，；如图；
∴，
又，∴（）；
∴（）；
故选：C．
4．如图，△ABC中，E是AB的中点，点F满足，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：（），
故选：A．
5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴（）+（）（），
故选：A．
6．已知向量不共线，，，若，则m＝（　　）
A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3
【解答】解：∵向量不共线，，，，
∴3λmλ（m+2），
∴，
解得λ＝﹣1，m＝﹣3．
故选：D．
7．已知是不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是（　　）
A．λμ＝1 B．λμ＝﹣1 C．λ﹣μ＝1 D．λ+μ＝2
【解答】解：由于与有公共点A，
∴若A、B、C三点共线
即存在一个实数t，使，则：即消去参数t得：λμ＝1
反之，当λμ＝1时，，
此时存在实数使，
故和共线．
又由于与有公共点A，
∴A、B、C三点共线
故A、B、C三点共线的充要条件是λμ＝1．
故选：A．
8．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵A、B、D、三点共线，，
∴λ＝1，
∴λ．
故选：B．
9．在△ABC中，，P为直线CD上一点，若，则实数λ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，，
λ，
因为P为直线CD上一点，
所以λ＝1，解得λ．
故选：B．
10．已知空间四边形ABCO中，，，，点N在BC上，且CN＝2NB，M为OA中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为CN＝2NB，M为OA中点，
所以BNCB，MA，
所以（）
，
故选：B．
11．如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：据题意得：
（），
故选：A．
12．在△ABC中，点D满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：．
故选：A．
13．已知，若存在非零实数λ，使得，则t＝（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
【解答】解：（2，2+t）．
∵存在非零实数λ，使得，
∴3（2+t）﹣2t＝0，解得t＝﹣6．
故选：B．
14．设向量（2，4）与向量（x，6）共线，则实数x＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解；因为向量（2，4）与向量（x，6）共线，
所以4x＝2×6，解得x＝3；
故选：B．
15．已知向量（1，2），（﹣3，2），则的模长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵，∴．
故选：A．
16．已知平面向量，，若与反向，则等于（　　）
A．（4，﹣6） B．（1，﹣6） C．（﹣1，6） D．（﹣4，6）
【解答】解：∵，与反向，，
∴．
故选：A．
17．已知平面向量，，若向量与向量共线，则x＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：平面向量，，
则（4，2x+3），
又向量与向量共线，所以3×4﹣2（2x+3）＝0，
解得x．
故选：C．
18．已知向量，，，若，，则（　　）
A．14 B．﹣14 C．10 D．6
【解答】解：因为向量，，，若，，
所以，解得x＝2，y＝﹣1，
，所以，所以（2，4） （﹣1，3）＝10．
故选：C．
二．填空题（共2小题）
19．已知（5，12），则与方向相同的单位向量是　（，）　
【解答】解：设与方向相同的单位向量是，则λ，
则||＝|λ|，即1＝|λ|13|λ|，
即|λ|，则λ或（舍去），
则λ（5，12）＝（，），
故答案为：（，）．
20．在△ABC中，，，若，则x+4y的值为　1　．
【解答】解：因为，所以，
所以，又，
所以，
而，所以x，
所以x+4y，
故答案为：1．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题五 平面向量
第1讲 线性运算、基本定理及坐标
一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
交换律：＋＝＋
结合律：(＋)＋＝＋(＋)
减法：共起点，连终点，指向被减
（三）数乘：求实数λ与向量的积的运算
1.数乘意义：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；
当λ<0时，λ与的方向相反；
当λ＝0时，λ＝0
2.运算律
（1）λ(μ)＝(λμ)
（2）(λ＋μ)＝λ＋μ
（3）λ(＋)＝λ＋λ
3．向量共线定理
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.
4．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
三．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　 　　 　　　　　　　　
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
一．选择题（共18小题）
1．已知D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若点D是BC边上靠近点C的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，，．若点D满足，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，E是AB的中点，点F满足，则（　　）
A． B． C． D．
5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知向量不共线，，，若，则m＝（　　）
A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3
7．已知是不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是（　　）
A．λμ＝1 B．λμ＝﹣1 C．λ﹣μ＝1 D．λ+μ＝2
8．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（　　）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，，P为直线CD上一点，若，则实数λ＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知空间四边形ABCO中，，，，点N在BC上，且CN＝2NB，M为OA中点，则等于（　　）
A． B．
C． D．
11．如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
12．在△ABC中，点D满足，则（　　）
A． B．
C． D．
13．已知，若存在非零实数λ，使得，则t＝（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
14．设向量（2，4）与向量（x，6）共线，则实数x＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
15．已知向量（1，2），（﹣3，2），则的模长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．已知平面向量，，若与反向，则等于（　　）
A．（4，﹣6） B．（1，﹣6） C．（﹣1，6） D．（﹣4，6）
17．已知平面向量，，若向量与向量共线，则x＝（　　）
A． B． C． D．
18．已知向量，，，若，，则（　　）
A．14 B．﹣14 C．10 D．6
二．填空题（共2小题）
19．已知（5，12），则与方向相同的单位向量是　 　
20．在△ABC中，，，若，则x+4y的值为　 　．

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