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专题六 数列
第1讲 等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．　　 　
(2)①通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d) 当d≠0时，an是关于n的一次函数．
②通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．　　　　　　　　　　　　　
(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
①若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(4)前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
2.常用结论：
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(2)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.
(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
一．选择题（共12小题）
1．在等差数列{an}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（　　）
A．﹣24 B．﹣16 C．﹣8 D．0
【解答】解：由等差数列的性质可得，d2，
则a24＝a8+16d＝24﹣32＝﹣8．
故选：C．
2．已知数列{an}满足an+an+2＝2an+1（n∈N*），且a3＝2，a5＝8，则a7＝（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：数列{an}满足an+an+2＝2an+1（n∈N*），
所以数列{an}是等差数列，
所以a3+a7＝2a5，解得a7＝14．
故选：C．
3．已知等差数列{an}中，a2+a8＝18，则a5＝（　　）
A．7 B．11 C．9 D．18
【解答】解：因为数列{an}为等差数列，
所以a2+a8＝2a5＝18，所以a5＝9．
故选：C．
4．在等差数列{an}中，a5+a13＝40，则a8+a9+a10＝（　　）
A．72 B．60 C．48 D．36
【解答】解：因为数列{an}是等差数列
所以由a5+a13＝40以及等差中项
可得：2a9＝40 a9＝20．
故：a8+a9+a10＝3a9＝60．
故选：B．
5．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得，
故选：D．
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝36，则a5＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵S99a5＝36，
∴a5＝4；
故选：B．
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，若S9＝a52，a1＝1，则数列{an}的公差为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．2
【解答】解：由{an}是等差数列，得S9（a1+a9）＝9a5，
又S9＝a52，得9a5＝a52，解得a5＝9或a5＝0（舍去），
所以等差数列{an}的公差为d2，
故选：D．
8．设等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn.若S4＝5a2，则（　　）
A．9 B．5 C．1 D．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn．
∴S4＝5a2 4a1+6d＝5a1+5d a1＝d，
∴5，
故选：B．
9．若数列{an}为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S10＝20，S30＝90，则S20的值为（　　）
A．40 B．50 C．60 D．70
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝20，S30＝90，∴，解得：，
∴S20＝20a150．
故选：B．
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}和{bn}中，若，则有，
又由；故；
故选：B．
11．在等差数列{an}中，an≠0，a1+a3＝a22，a4＝4，若{an}的前n项和为Sn，则（　　）
A．1 B．2 C． D．4
【解答】解：∵在等差数列{an}中，an≠0，a1+a3＝a22，a4＝4，
∴，解得a2＝2，
∴等差数列{an}的公差d1，∴a1＝a2﹣d＝1，
∴55，S6＝621，
∴2．
故选：B．
12．已知等差数列{an}，公差d≠0，Sn为其前n项和，S12＝8S4，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵等差数列{an}，公差d≠0，S12＝8S4，
∴12a18×（4a1d），解得a1d，
∴．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
（多选）13．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3＝9，a4＝7，则（　　）
A．Sn＝n2 B．Sn＝2n2﹣3n C．an＝2n﹣1 D．an＝3n﹣5
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn．S3＝9，a4＝7，
∴，解得a1＝1，d＝2，
∴an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．
故选：AC．
（多选）14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝35，a4＝11，则（　　）
A．an＝4n﹣5 B．an＝2n+3
C． D．
【解答】解：设等差数列的公差为d，则由S5＝35，a4＝11，可得，解得a1＝﹣1，d＝4，
则an＝﹣1+4（n﹣1）＝4n﹣5，Sn2n2﹣3n，
故选：AC．
（多选）15．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，满足a1+3a2＝S6，则下列四个选项中正确的有（　　）
A．a7＝0 B．S13＝0 C．S7最小 D．S5＝S8
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
对于A，若a1+3a2＝S6，即4a1+3d＝6a1d，变形可得：a1+6d＝0，即a7＝0，故A正确；
对于B，S1313a7＝0，B正确；
对于C，若a1+3a2＝S6，即4a1+3d＝6a1d，变形可得：a1+6d＝0，即a7＝0，而不知道前6项的符号，故不能判断S7最小还是最大，因此C不正确；
对于D，S5﹣S8＝（5a1d）﹣（8a1d）＝﹣3a1﹣18d＝﹣3a7＝0，D正确．
故选：ABD．
（多选）16．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（　　）
A．a17 B．S35 C．a17﹣a19 D．S19﹣S16
【解答】解：设{an}的首项为a1，公差为d，由S17＝S18，
即17a1d＝18a1d，得a1＝﹣17d，
∴an＝（n﹣18）d，
Snd，
所以a18＝0，S35＝0．
a17﹣a19＝﹣d﹣d＝﹣2d，
S19﹣S16dd＝0．
故选：BD．
三．填空题（共4小题）
17．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a9＝8，则S17＝　136　．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和是Sn，且a9＝8，
则S1717a9＝17×8＝136．
故答案为：136．
18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝4，S4＝20，则a9＝　18　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由，得，解得，
所以a9＝2+8×2＝18．
故答案为：18．
19．在等差数列{an}中如果a1+a9＝4，那么a2+a3+ +a8等于 　14　．
【解答】解：因为等差数列{an}中如果a1+a9＝2a5＝4，
所以a5＝2，
那么a2+a3+ +a8＝7a5＝14．
故答案为：14．
20．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，满足a1+5a3＝S8，则当Sn取得最大值时，n＝　9或10　．
【解答】解：数列{an}是等差数列，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，满足a1+5a3＝S8，
∴a1+5（a1+2d）＝8a1+28d，
解得a1＝﹣9d，∴a10＝0，
∵a1＞0，d＜0，
∴a＝9或a＝10时，Sn取得最大值．
故答案为：9或10．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题六 数列
第1讲 等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．　　 　
(2)①通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d) 当d≠0时，an是关于n的一次函数．
②通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．　　　　　　　　　　　　　
(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
①若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(4)前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
2.常用结论：
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(2)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.
(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
一．选择题（共12小题）
1．在等差数列{an}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（　　）
A．﹣24 B．﹣16 C．﹣8 D．0
2．已知数列{an}满足an+an+2＝2an+1（n∈N*），且a3＝2，a5＝8，则a7＝（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．已知等差数列{an}中，a2+a8＝18，则a5＝（　　）
A．7 B．11 C．9 D．18
4．在等差数列{an}中，a5+a13＝40，则a8+a9+a10＝（　　）
A．72 B．60 C．48 D．36
5．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝36，则a5＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，若S9＝a52，a1＝1，则数列{an}的公差为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．2
8．设等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn.若S4＝5a2，则（　　）
A．9 B．5 C．1 D．
9．若数列{an}为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S10＝20，S30＝90，则S20的值为（　　）
A．40 B．50 C．60 D．70
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
11．在等差数列{an}中，an≠0，a1+a3＝a22，a4＝4，若{an}的前n项和为Sn，则（　　）
A．1 B．2 C． D．4
12．已知等差数列{an}，公差d≠0，Sn为其前n项和，S12＝8S4，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）13．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3＝9，a4＝7，则（　　）
A．Sn＝n2 B．Sn＝2n2﹣3n C．an＝2n﹣1 D．an＝3n﹣5
（多选）14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝35，a4＝11，则（　　）
A．an＝4n﹣5 B．an＝2n+3
C． D．
（多选）15．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，满足a1+3a2＝S6，则下列四个选项中正确的有（　　）
A．a7＝0 B．S13＝0 C．S7最小 D．S5＝S8
（多选）16．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（　　）
A．a17 B．S35 C．a17﹣a19 D．S19﹣S16
三．填空题（共4小题）
17．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a9＝8，则S17＝　 　．
18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝4，S4＝20，则a9＝　 　．
19．在等差数列{an}中如果a1+a9＝4，那么a2+a3+ +a8等于 　 　．
20．已知数列{an}是等差数列，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，满足a1+5a3＝S8，则当Sn取得最大值时，n＝　 　．

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