资源简介

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专题五 平面向量
第2讲 数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
一．选择题（共10小题）
1．已知向量和向量的夹角为30°，||＝2，||，则向量和向量的数量积 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意可得|| || cos，2cos30°＝3，
故选：C．
2．向量，，则（　　）
A．﹣10 B．14 C．（﹣6，4） D．﹣2
【解答】解：∵（2，4）﹣（5，3）＝（﹣3，1）．
∴（2，4） （﹣3，1）＝﹣6+4＝﹣2．
故选：D．
3．已知向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，则|3|等于（　　）
A． B． C． D．4
【解答】解：∵向量，均为单位向量，且夹角是60°，
∴|3|
故选：A．
4．已知非零单位向量、满足||＝||，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵非零单位向量、满足||＝||，∴⊥，
则与的夹角是α＝π，
故选：A．
5．若向量，满足||，（﹣2，1）， 5，则与的夹角为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：||，∴cos，
∴45°．
故选：C．
6．已知平面向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：因为，，，所以||，
所以（）10，所以5，
则向量在向量方向上的投影为，
故选：D．
7．△ABC中，AB＝4，AC＝2，D为AB的中点，，则（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【解答】解：△ABC中，AB＝4，AC＝2，D为AB的中点，，
， ，
所以（） （）0．
故选：A．
8．已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上的点，且2，F为BC的中点，则 （　　）
A．﹣2 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣8
【解答】解：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，距离如图所示的直角坐标系，则B（0，0），A（0，3），D（4，3），E（0，2），F（2，0），（2，﹣3），（﹣4，﹣1），
则 2×（﹣4）+（﹣3）×（﹣1）＝﹣5．
故选：B．
9．若向量，，则“m＜1”是“向量，夹角为钝角”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由向量，，
由“向量，夹角为钝角”的充要条件为，
解得，即m＜1且m≠﹣9，
又“m＜1”是“m＜1且m≠﹣9”的必要不充分条件，
即“m＜1”是“向量，夹角为钝角”的必要不充分条件，
故选：B．
10．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．﹣8
【解答】解：设，，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，且，
∴，，（），
∴，，
∴ ，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．已知（﹣2，1），（6，y），若2与2平行，则|2|＝　　．
【解答】解：∵（﹣2，1），（6，y），
∴（2，2+y），（﹣14，1﹣2y），
∵2与2平行，
∴2×（1﹣2y）﹣（﹣14）×（2+y）＝0，解得y＝﹣3．
∴（2，﹣1），
∴|2|．
故答案为：．
12．设非零向量，满足，，则与的夹角为　　．
【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，
又由，
设||＝t≠0，则||t，
又由，则 （） t2t2cosθ＝0，
变形可得：cosθ；
又由0≤θ≤π，则θ；
故答案为：．
13．已知||，||＝1，与的夹角为45°，若t与垂直，则实数t＝　2　．
【解答】解：∵，且与的夹角为45°；
∴；
又与垂直；
∴；
∴t＝2．
故答案为：2．
14．已知非零向量满足，，在方向上的投影为1，则　36　．
【解答】解：因为非零向量满足，，在方向上的投影为1，
设的夹角为θ；
则||cosθ＝1 cosθ；
∵ 44 16 4×22﹣4×2×||cosθ16 ||＝4（0舍）；
∴ 222×42＝36；
故答案为：36
15．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝1，若λ，且⊥，则实数λ的值是　﹣1　．
【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝1，
∴ 2×1×cos60°＝1．
若λ，且⊥，则 （λ） λλ+1＝0，
则实数λ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则 　4　．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，
则 ||||cos∠DBC4．
故答案为：4．
17．如图，在边长为2的正三角形ABC中，点P满足2，则　　．
【解答】解：∵点P满足2，
∴．
∴ ．
故答案为：．
18．如图，在Rt△ABC中，两直角边CA＝3，CB＝6，点E，F分别为斜边AB的三等分点，则　10　．
【解答】解：以CB、CA为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（0，3），B（6，0），
∵点E，F分别为斜边AB的三等分点，
∴E（2，2），F（4，1）；
∴（2，2），（4，1），
2×4+2×1＝10，
故答案为：10．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题五 平面向量
第2讲 数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
一．选择题（共10小题）
1．已知向量和向量的夹角为30°，||＝2，||，则向量和向量的数量积 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．向量，，则（　　）
A．﹣10 B．14 C．（﹣6，4） D．﹣2
3．已知向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，则|3|等于（　　）
A． B． C． D．4
4．已知非零单位向量、满足||＝||，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
5．若向量，满足||，（﹣2，1）， 5，则与的夹角为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．已知平面向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（　　）
A．2 B． C． D．
7．△ABC中，AB＝4，AC＝2，D为AB的中点，，则（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4
8．已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上的点，且2，F为BC的中点，则 （　　）
A．﹣2 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣8
9．若向量，，则“m＜1”是“向量，夹角为钝角”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．﹣8
二．填空题（共8小题）
11．已知（﹣2，1），（6，y），若2与2平行，则|2|＝　 　．
12．设非零向量，满足，，则与的夹角为　 　．
13．已知||，||＝1，与的夹角为45°，若t与垂直，则实数t＝　 　．
14．已知非零向量满足，，在方向上的投影为1，则　 　．
15．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝1，若λ，且⊥，则实数λ的值是　 　．
16．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则 　 　．
17．如图，在边长为2的正三角形ABC中，点P满足2，则　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，两直角边CA＝3，CB＝6，点E，F分别为斜边AB的三等分点，则　 　．

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