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专题七 立体几何与空间向量
第1讲 空间几何体的表面积与体积
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似
侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球▲
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
一．选择题（共12小题）
1．底面直径和高都是4的圆柱的侧面积为（　　）
A．20π B．18π C．16π D．14π
【解答】解：由于圆柱的底面直径是4，所以圆柱的底面圆半径R＝2，
可得底面圆的周长为2πR＝4π，
∵圆柱的侧面展开是以底面圆周长为一边，圆柱的高为另一边的矩形，
∴该圆柱的侧面积为S＝2πRh＝4π×4＝16π．
故选：C．
2．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【解答】解：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，
，
故选：B．
3．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．8
【解答】解：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，
∴该四棱锥的体积V．
故选：C．
4．一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（　　）
A． B． C． D．π
【解答】解：圆锥轴截面的母线与轴的夹角为30°，母线长为l，
所以底面圆的半径为r＝lsin30°l，
所以底面圆的周长为c＝2πr＝πl，
所以圆锥侧面展开图的圆心角为απ．
故选：D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”．现有一鳖臑P﹣ABC如图所示，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB＝AC＝4，其体积为8，则这个鳖臑的表面积为（　　）
A．4+4 B．32 C．8+8 D．24+8
【解答】解：三棱锥P﹣ABC的体积为V三棱锥P﹣ABC4×4BC＝16，
所以BC＝3，所以AB＝PC＝5，
又PB⊥底面ABC，所以PB⊥AC，
又AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC，
所以AC⊥PC，所以S△PBC＝S△ABC3×4＝6，
S△PAC＝S△PAB5×4＝10，
所以这个鳖臑的表面积为S＝6+6+10+10＝32．
故选：B．
6．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（　　）
A．4π B．5π C．6π D．8π
【解答】解：设底面圆半径为r，由母线长为4，
所以侧面展开扇形的圆心角为α；
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，
最短距离为BM，如图所示：
在△ABM中，由余弦定理得，BM的长度为：
BM2，
解得cos0，所以r＝1，
所以圆锥的表面积为S＝π×12+π×1×4＝5π．
故选：B．
7．某圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为（　　）
A．10π B． C．3π D．
【解答】解：设圆锥的母线长和底面半径分别为l，r，则，解得，
所以圆锥的高，则该圆锥的体积．
故选：D．
8．体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．16π D．
【解答】解：因为正方体的体积为8，
所以正方体的棱长为2，
因为正方体的体对角线即为外接球的直径，
所以正方体外接球的直径2r，
所以半径为r，
则该球的表面积为S＝4πr2＝12π．
故选：B．
9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．16π D．32π
【解答】解：因为三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，
因为PA＝AB＝2，，则长方体的长宽高分别为2，2，，
所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径，
故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝16π．
故选：C．
10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，B，C，D在球O的表面上，顶点A1，B1，C1，D1，在过球心O的一个平面上，若AB＝6，AD＝8，AA1＝4，则球O的表面积为（　　）
A．169π B．161π C．164π D．265π
【解答】解：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为8，6，8的长方体，
则球O就是该长方体的外接球，
∴球O的半径为，
∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×41＝164π．
故选：C．
11．已知三棱锥A﹣BCD，AB＝CD，AD＝BC＝2，AC＝BD，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积是（　　）
A． B． C．6π D．3π
【解答】解：将三棱锥A﹣BCD放置于长方体中，如图所示．
则长方体的外接球就是三棱锥A﹣BCD的外接球，
设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，
∵AB＝CD，AD＝BC＝2，AC＝BD，
∴长方体对角线长为，
可得外接球的半径为R，
因此，三棱锥A﹣BCD外接球的体积是V．
故选：B．
12．已知圆锥SO的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为（　　）
A． B．24 C．36π D．48
【解答】解：根据圆锥SO的母线长为，侧面展开图的圆心角为，设圆锥的底面半径为r，
所以圆锥的底面周长为满足2πr＝2，解得r＝2；
设圆锥的外接球的半径为R，
如图所示：
故圆锥的高为h；
设外接球的半径为R，所以，解得R＝3；
所以 ．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
13．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，若三棱锥的外接球体积为，则△ABC的面积为 　2　．
【解答】解：如图，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB，
取PC中点O，连接OA，OB，则OA＝OB＝OP＝OC，
可得O为三棱锥的外接球的球心，由三棱锥的外接球体积为，
得，解得OP，则PC＝2，
∴AC，
在Rt△ABC中，又AB＝2，∴BC＝2，
可得．
故答案为：2．
14．正三棱锥P﹣ABC侧棱长为，底面棱长为2，则三棱锥P﹣ABC内切球表面积是　　．
【解答】解：如图所示：设顶点P在底面ABC内的射影为O，连接AO，PO，
在正三角形ABC中，AO，
则在直角三角形APO中，OP，
三角形ABC的面积为S，
取AB的中点M，连接PM，则PM⊥AB，
则在直角三角形PAM中，PM，
所以三角形PAB的面积为S′，
设正三棱锥P﹣ABC的内切球半径为R，则由等体积法可得：
OP×S＝3R×S′，即，
解得R，
所以内切球的表面积为4，
故答案为：．
15．如图，在一个底面边长为4cm的正六棱柱容器内有一个半径为2cm的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降　　cm．
【解答】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积V，水面高度为4，
此时正六棱柱容器中水的体积为V1288﹣32，
若将铁球从容器中取出，则水面高度h，
水面下降4（4．
故答案为：．
16．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则这样一个粮仓的容积为 　　．
【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为h，
所以πrl＝4π，解得r＝1，；
所以圆柱的高为，
所以这样一个粮仓的容积为，
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC，AA1＝1．
（Ⅰ）求三棱锥A1﹣ABC的表面积；
（Ⅱ）求B1到面A1BC的距离．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由AB＝1，BC＝2，AC，得AB2+AC2＝BC2，
∴AB⊥AC，则△ABC为Rt△．
∴三棱锥A1﹣ABC的表面积S＝2；
（Ⅱ）连接AB1，交平面A1BC于D，则B1D＝AD，
∴B1到面A1BC的距离等于A到平面A1BC的距离．
在△A1BC中，∵，，BC＝2，
∴．
设A到平面A1BC的距离为h，
由，的，
解得：h．
故B1到面A1BC的距离为．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题七 立体几何与空间向量
第1讲 空间几何体的表面积与体积
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似
侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球▲
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
一．选择题（共12小题）
1．底面直径和高都是4的圆柱的侧面积为（　　）
A．20π B．18π C．16π D．14π
2．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
3．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．8
4．一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（　　）
A． B． C． D．π
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”．现有一鳖臑P﹣ABC如图所示，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB＝AC＝4，其体积为8，则这个鳖臑的表面积为（　　）
A．4+4 B．32 C．8+8 D．24+8
6．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（　　）
A．4π B．5π C．6π D．8π
7．某圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为（　　）
A．10π B． C．3π D．
8．体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．16π D．
9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．16π D．32π
10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，B，C，D在球O的表面上，顶点A1，B1，C1，D1，在过球心O的一个平面上，若AB＝6，AD＝8，AA1＝4，则球O的表面积为（　　）
A．169π B．161π C．164π D．265π
11．已知三棱锥A﹣BCD，AB＝CD，AD＝BC＝2，AC＝BD，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积是（　　）
A． B． C．6π D．3π
12．已知圆锥SO的母线长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥外接球的表面积为（　　）
A． B．24 C．36π D．48
二．填空题（共4小题）
13．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，若三棱锥的外接球体积为，则△ABC的面积为 　 　．
14．正三棱锥P﹣ABC侧棱长为，底面棱长为2，则三棱锥P﹣ABC内切球表面积是　 　．
15．如图，在一个底面边长为4cm的正六棱柱容器内有一个半径为2cm的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降　 　cm．
16．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则这样一个粮仓的容积为 　 　．
三．解答题（共1小题）
17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC，AA1＝1．
（Ⅰ）求三棱锥A1﹣ABC的表面积；
（Ⅱ）求B1到面A1BC的距离．

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