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专题八 概率与统计
第3讲 排列组合
1．排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
一．选择题（共12小题）
1．高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（　　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
【解答】解：方法一：可按女生人数分类：
若选派1名女生，有C C2×3＝6种；
若选派2名女生，则有C C3种．
由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．
方法二：至少有1名女生的选派方法为．
故选：D．
2．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（　　）
A．24种 B．9种 C．3种 D．26种
【解答】解：某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，共有4+3+2＝9种选法，
故选：B．
3．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（　　）
A．24 B．14 C．10 D．9
【解答】解：由题意可得：李芳不同的选择方式＝4×3+2＝14．
故选：B．
4．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有（　　）
A．7个 B．12个 C．24个 D．35个
【解答】解：由题意，分两步完成，进入有7种方法，出去有5种方法，利用乘法原理可得他进出门的方案有7×5＝35种．
故选：D．
5．从4本不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（　　）
A．4种 B．12种 C．24种 D．64种
【解答】解：根据题意，这是一个排列问题，
故从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有24种．
故选：C．
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（　　）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
【解答】解：根据题意，分两步分析：，
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42＝36，
②两人所选两门都相同的有为C42＝6种，都不同的种数为C42＝6，
则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有36﹣6﹣6＝24种，
故选：C．
7．8把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）
A．144 B．120 C．72 D．24
【解答】解：使用“插空法“．第一步，4个人先坐成一排，有24种，即全排；第二步，由于4个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，3号位置与4号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择4个人的左右共5个空挡，随便摆放即可，即有5种办法．根据分步计数原理，有24×5＝120种．
故选：B．
8．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A33A22＝12种排法，
再所有的4个人全排列有：A44＝24种排法，
利用古典概型求概率原理得：p，
故选：D．
9．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
【解答】解：可分3步．
第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有A52＝20种排法，
第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44＝24种排法
第三步，2名老人之间的排列，有A22＝2种排法
最后，三步方法数相乘，共有20×24×2＝960种排法
故选：B．
10．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．
故选：B．
11．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（　　）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【解答】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，
甲场馆从6人中挑一人有：6种结果；
乙场馆从余下的5人中挑2人有：10种结果；
余下的3人去丙场馆；
故共有：6×10＝60种安排方法；
故选：C．
12．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62＝15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51＝5种选法，
则不同的选法共有15×5＝75种；
故选：C．
二．多选题（共4小题）
（多选）13．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（　　）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
【解答】解：A中，
B中，
C中，
D中．
综上可得：CD正确．
故选：CD．
（多选）14．下列说法正确的为（　　）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，先分给甲，有C62种情况，再分给乙，有C42种情况，最后2本分给丙，有种不同的分法，A正确；
对于B，先将6本书分为1、2、3的三组，有种分组方法，再将分好的三组分成甲乙丙三人，有A33种情况，则有A33种不同分法，B错误；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，用挡板法分析，在6本书之间的5个空位中任选2个，插入挡板即可，有C52＝10种分法，C正确；
对于D，分三种情况讨论：
①三人每人2本，有90种不同的分法，
②三人中一人1本，一人2本，一人3本，有A33＝360种不同的分法，
③三人中一人4本，其余2人各1本，有90种不同的分法，
则有90+360+90＝540种不同的分法，D正确；
故选：ACD．
（多选）15．现有不同的红球4个，不同的黄球5个，不同的绿球6个，则下列说法正确的是（　　）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若从三种不同颜色的球各选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【解答】解：对于选项A，从中任选1个球，共有4+5+6＝15种不同的选法，即选项A正确；
对于选项B，从三种不同颜色的球各选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，即选项B正确；
对于选项C，要选出不同颜色的2个球，有4×5+4×6+5×6＝74种不同的选法，即选项C错误；
对于选项D，要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，即选项D正确，
故选：ABD．
（多选）16．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则（　　）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有480种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周共有504种排法
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，某学生从中选3门，6门中选3门共有20种，故A错误；
对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，
在其中任选2个，安排“射”“御”，共有480种排法，故B正确；
对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，
由捆绑法：将“礼”“书”“数”看成一个整体，
与其他3门课程全排列，共有144种排法，故C正确；
对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，
若课程“乐”排在最后一周，有A5种排法，
若课程“乐”不排在最后一周，有种排法，
所以共有504种排法，故D正确．
故选：BCD．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题八 概率与统计
第3讲 排列组合
1．排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
一．选择题（共12小题）
1．高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有（　　）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（　　）
A．24种 B．9种 C．3种 D．26种
3．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（　　）
A．24 B．14 C．10 D．9
4．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有（　　）
A．7个 B．12个 C．24个 D．35个
5．从4本不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（　　）
A．4种 B．12种 C．24种 D．64种
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（　　）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
7．8把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）
A．144 B．120 C．72 D．24
8．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
10．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
11．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（　　）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
12．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
二．多选题（共4小题）
（多选）13．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（　　）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
（多选）14．下列说法正确的为（　　）
A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法
B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法
D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法
（多选）15．现有不同的红球4个，不同的黄球5个，不同的绿球6个，则下列说法正确的是（　　）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若从三种不同颜色的球各选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
（多选）16．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则（　　）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有480种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周共有504种排法

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