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专题九 解析几何
第1讲 直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝.　
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
4．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
5．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .　
一．选择题（共16小题）
1．直线l：x﹣3y+1＝0的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
【解答】解：设直线l的倾斜角为α，
则由直线知，k．
所以tanα．所以α．
故选：B．
2．若直线经过A（1，0）、B（2，）两点，则直线AB的倾斜角是（　　）
A．135° B．120° C．60° D．45°
【解答】解：设直线AB的倾斜角是 α，则由斜率的定义和斜率公式可得 tanα，
由 0°≤α＜180°，可得 α＝60°，
故选：C．
3．已知直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为α，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为α，∴tanα＝3，
则sin2α，
故选：A．
4．过点（﹣1，1）且倾斜角为135°的直线方程为（　　）
A．x﹣y＝0 B．x+y＝0 C．x﹣y＝1 D．x+y＝1
【解答】解：过点（﹣1，1）且倾斜角为135°的直线的斜率为tan135°＝﹣1，
故它的方程为y﹣1＝﹣1×（x+1），即 x+y＝0，
故选：B．
5．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或1 D．2或1
【解答】解：﹣2+a＝0，即a＝2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为2x+y＝0，
它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；
﹣2+a≠0，即a≠2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为1，
它在两坐标轴上的截距为2﹣a，解得a＝1；
综上所述，实数a＝2或a＝1．
故选：D．
6．若直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2或﹣1 D．2
【解答】解：由直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，
得，解得m＝2．
故选：D．
7．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣2k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则k的值是（　　）
A．1或3 B．1或 C．3或 D．1或2
【解答】解：∵直线l1：（k﹣3）x+（4﹣2k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，
当k＝3时，直线l1即：﹣2y+1＝0，l2即：2y+3＝0，直线l1与l2平行．
则k≠3时，由 ，求得k，
综上可得，k＝3 或k，
故选：C．
8．已知直线l1：（m+2）x﹣（m﹣2）y+2＝0，直线l2：3x+my﹣1＝0，且l1⊥l2，则m等于（　　）
A．﹣1 B．6或﹣1 C．﹣6 D．﹣6或1
【解答】解：由题意知，l1⊥l2，则3（m+2）+[﹣（m﹣2）]×m＝0；
解得，m＝6或﹣1．
故选：B．
9．直线ax+4y﹣2＝0与直线2x﹣5y+b＝0垂直，垂足为（1，c），则a+b+c＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【解答】解：由题意可得：1，a+4c﹣2＝0，2﹣5c+b＝0，
解得a＝10，c＝﹣2，b＝﹣12．
∴a+b+c＝﹣4．
故选：B．
10．已知A（1，2），B（0，1），C（m，4），若A，B，C三点共线，则m＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵已知A（1，2），B（0，1），C（m，4），若A，B，C三点共线，
则直线AB的斜率和直线BC的斜率相等，即，求得m＝3，
故选：A．
11．不论m为何值，直线（2m﹣1）x+（m+2）y+5＝0恒过定点（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【解答】解：∵直线（2m﹣1）x+（m+2）y+5＝0恒过定点，
∴（2x+y）m+（﹣x+2y+5）＝0恒过定点，
由，解得，即直线（2m﹣1）x+（m+2）y+5＝0恒过定点（1，﹣2）．
故选：B．
12．已知A（3，﹣2），B（﹣1，2），则线段AB中点的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（2，0） C． D．（1，0）
【解答】解：由线段的中点坐标公式可知，
线段AB的中点M的坐标为（，），即（1，0）．
故选：D．
13．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（　　）
A． B． C．1 D．
【解答】解：由点到直线的距离公式可得：
点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是d．
故选：A．
14．直线l1：2x+4y﹣3＝0与直线l2：2x+4y+7＝0之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，直线l1：2x+4y﹣3＝0与直线l2：2x+4y+7＝0，
则直线l1与直线l2之间的距离，
故选：C．
15．点P（2，3）关于直线l：x+y＝0的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（3，2）
【解答】解：设点P（2，3）关于直线x+y＝0的对称点A的坐标为（m，n），
则由求得，故A（﹣3，﹣2），
即答案为：（﹣3，﹣2）．
故选：B．
16．点P（2，1）关于直线x+y﹣1＝0的对称点坐标为（　　）
A． B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．
【解答】解：设对称点的坐标为（x，y），
则满足，即 ，
解得 ，即对称点的坐标为（0，﹣1），
故选：C．
二．填空题（共4小题）
17．已知直线l1：ax﹣y+2a＝0，l2：（2a﹣1）x+ay+a＝0互相垂直，则实数a的值是　0或1　．
【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a＝0与直线l2：（2a﹣1）x+ay+a＝0互相垂直，
∴a×（2a﹣1）+（﹣1）×a＝0，解之得a＝0或1
故答案为：0或1
18．对任意实数m，直线mx﹣y﹣m+3＝0恒过定点，则该定点的坐标为　（1，3）　．
【解答】解：由mx﹣y﹣m+3＝0，得m（x﹣1）﹣y+3＝0，
联立，解得．
∴直线mx﹣y﹣m+3＝0恒过定点（1，3），
故答案为：（1，3）．
19．已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是　　；过点A且垂直于直线l的直线方程是　2x+y﹣1＝0　．
【解答】解：已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，
则点A到直线l的距离是d；
点A为（1，﹣1），垂直于直线l的直线方程斜率为2，
故过点A且垂直于直线l的直线方程为y+1＝﹣2（x﹣1），
即 2x+y﹣1＝0．
20．已知直线ax+by＝1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为　2　．
【解答】解：∵直线ax+by＝1经过点（1，2），
∴a+2b＝1．∴2a+4b≥222，
当且仅当2a＝4b时，a+2b＝1，即a，b时取等号．
∴2a+4b的最小值．
故答案为．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题九 解析几何
第1讲 直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝.　
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
4．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
5．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .　
一．选择题（共16小题）
1．直线l：x﹣3y+1＝0的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
2．若直线经过A（1，0）、B（2，）两点，则直线AB的倾斜角是（　　）
A．135° B．120° C．60° D．45°
3．已知直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为α，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
4．过点（﹣1，1）且倾斜角为135°的直线方程为（　　）
A．x﹣y＝0 B．x+y＝0 C．x﹣y＝1 D．x+y＝1
5．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2或1 D．2或1
6．若直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2或﹣1 D．2
7．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣2k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则k的值是（　　）
A．1或3 B．1或 C．3或 D．1或2
8．已知直线l1：（m+2）x﹣（m﹣2）y+2＝0，直线l2：3x+my﹣1＝0，且l1⊥l2，则m等于（　　）
A．﹣1 B．6或﹣1 C．﹣6 D．﹣6或1
9．直线ax+4y﹣2＝0与直线2x﹣5y+b＝0垂直，垂足为（1，c），则a+b+c＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
10．已知A（1，2），B（0，1），C（m，4），若A，B，C三点共线，则m＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．不论m为何值，直线（2m﹣1）x+（m+2）y+5＝0恒过定点（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
12．已知A（3，﹣2），B（﹣1，2），则线段AB中点的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（2，0） C． D．（1，0）
13．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（　　）
A． B． C．1 D．
14．直线l1：2x+4y﹣3＝0与直线l2：2x+4y+7＝0之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
15．点P（2，3）关于直线l：x+y＝0的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（3，2）
16．点P（2，1）关于直线x+y﹣1＝0的对称点坐标为（　　）
A． B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．
二．填空题（共4小题）
17．已知直线l1：ax﹣y+2a＝0，l2：（2a﹣1）x+ay+a＝0互相垂直，则实数a的值是　 　．
18．对任意实数m，直线mx﹣y﹣m+3＝0恒过定点，则该定点的坐标为　 　．
19．已知点A（1，﹣1），直线l：x﹣2y+2＝0，则点A到直线l的距离是　 　；过点A且垂直于直线l的直线方程是　 　．
20．已知直线ax+by＝1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为　 　．

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