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专题八 概率与统计
第5讲 古典概型、独立事件与条件概率
1．事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生 事件B包含事件A B A(或A B)
相等关系 若B A且A B 事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件 A∪B(或A＋B)
交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件 A∩B(或AB)
互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ ，P(A∪B)＝1
2．古典概型
(1)特点：
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2)计算公式：P(A)＝
3. 独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)相互独立事件与互斥事件的区别:
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，
互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
4.条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，
用符号来表示，其公式为.
在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.
一．选择题（共14小题）
1．某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生的性别相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（　　）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．袋中装有大小和材质均相同的红球4个，黄球2个，白球1个，从中随机取出一个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是（　　）
A．不互斥但对立 B．不互斥也不对立
C．互斥且对立 D．互斥但不对立
7．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响．已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3：1获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．投篮测试中，每人投5次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学未通过测试的概率为（　　）
A．0.00672 B．0.00096 C．0.00064 D．0.00032
10．大型场景式读书节目《一本好书》的热播，激起了某校同学的阅读兴趣，该校甲，乙两位同学决定利用3天假期到图书馆阅读图书，若甲，乙两位同学每天去图书馆的概率分别为，，且甲，乙两位同学每天是否去图书馆相互独立，那么在这3天假期中，恰有2天甲、乙两位同学都去了图书馆的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A|B）＝（　　）
A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16
12．从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
13．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
14．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（　　）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75
二．多选题（共2小题）
（多选）15．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
（多选）16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件A1，A2和A3表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件B与事件A1相互独立
B．A1，A2，A3是两两互斥的事件
C．
D．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题八 概率与统计
第5讲 古典概型、独立事件与条件概率
1．事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 若A发生，则B一定发生 事件B包含事件A B A(或A B)
相等关系 若B A且A B 事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件 A∪B(或A＋B)
交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件 A∩B(或AB)
互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ ，P(A∪B)＝1
2．古典概型
(1)特点：
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2)计算公式：P(A)＝
3. 独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)相互独立事件与互斥事件的区别:
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，
互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
4.条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，
用符号来表示，其公式为.
在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.
一．选择题（共14小题）
1．某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生的性别相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，设事件A表示选中的2名学生的性别相同，
①若选中的均为女生，则包含1个基本事件，
②若均为男生，则包含3个基本事件；
共有10个基本事件，所以事件A发生的概率P（A）．
故选：A．
2．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（　　）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【解答】解：从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52＝10种，其中全是女生的有C32＝3种，
故选中的2人都是女同学的概率P0.3，
故选：D．
3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n＝5×5＝25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m＝10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p．
故选：D．
4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为．
另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，
即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），
则P．
故选：C．
5．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设A＝{两门至少有一门被选中}，则{两门都没被选中}，包含1个基本事件，则p（），∴P（A）＝1．
故选：D．
6．袋中装有大小和材质均相同的红球4个，黄球2个，白球1个，从中随机取出一个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是（　　）
A．不互斥但对立 B．不互斥也不对立
C．互斥且对立 D．互斥但不对立
【解答】解：取出一个球不能即是红球又是黄球，
故A与B不能同时发生，A，B互斥，
又因为袋中还有白球，
故A与B互斥但不对立，
故选：D．
7．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响．已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是，那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是，
∴甲通过考核的概率为p1，乙同学拿到该技能证书的概率是，
∴甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率为：
P＝1﹣（1）（1）．
故选：D．
8．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3：1获得冠军的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：甲在比赛中以3：1获得冠军，即甲在前3场中赢2场，输1场，并第4场获胜，
∵每局比赛甲胜乙的概率都为，
∴甲在比赛中以3：1获得冠军的概率P．
故选：B．
9．投篮测试中，每人投5次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学未通过测试的概率为（　　）
A．0.00672 B．0.00096 C．0.00064 D．0.00032
【解答】解：根据题意，记该同学未通过测试为事件A，该同学每次投篮投中的概率为0.8，则投不中的概率为1﹣0.8＝0.2，
事件A包含2种情况，该同学5次都没有投中和只投中1次，
则P（A）＝C54（0.2）4×0.8+（0.2）5＝0.00672，
故选：A．
10．大型场景式读书节目《一本好书》的热播，激起了某校同学的阅读兴趣，该校甲，乙两位同学决定利用3天假期到图书馆阅读图书，若甲，乙两位同学每天去图书馆的概率分别为，，且甲，乙两位同学每天是否去图书馆相互独立，那么在这3天假期中，恰有2天甲、乙两位同学都去了图书馆的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，甲乙两位同学在某一天都去图书馆的概率为P1，
两人某一天没有都去图书馆的概率P2＝1，
则在这3天假期中，恰有2天甲、乙两位同学都去了图书馆的概率P＝C32（）2，
故选：D．
11．已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A|B）＝（　　）
A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16
【解答】解：∵事件A，B相互独立，P（A）＝0.8，
∴P（A|B）＝P（A）＝0.8．
故选：B．
12．从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设事件Ai为第i次抽到偶数，i＝1，2，
则P（A1），P（A1），
∴在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率为：
P（|A1）．
故选：D．
13．夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：记事件A为甲地下雨，事件B为乙下雨，
∴P（A），P（B），P（AB），
∴在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为：
P（A|B）．
故选：C．
14．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（　　）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75
【解答】解：设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，
则P（A），P（AB），
故第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率P（B|A）0.6．
故选：C．
二．多选题（共2小题）
（多选）15．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：P（A），故A正确，
P（B|A），故C错误，
，故D正确，
由全概率公式可得，P（B）＝P（AB），故B错误．
故选：AD．
（多选）16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件A1，A2和A3表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（　　）
A．事件B与事件A1相互独立
B．A1，A2，A3是两两互斥的事件
C．
D．
【解答】解：由题意A1，A2、A3是两两互斥的事件，故B正确；
P（A1），P（A2），P（A3），
P（B|A1），故C正确；
P（B|A2），P（B|A3），
P（B）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3）
，故D错误；
P（BA1）＝P（B|A1）P（A1），即P（BA1）≠P（A1）P（B），∴事件B与事件A1不是相互独立事件，故A错误．
故选：BC．

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