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专题八 概率与统计
第6讲 随机变量及其分布列
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．
X 0 1 … m
P …
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
2．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数．设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差：
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
两个特殊分布的期望与方差：
分布 期望 方差
两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)
二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p)
期望与方差的性质：
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
4．正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
一．选择题（共15小题）
1．在10个排球中有6个正品，4个次品．从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是（　　）
A．P（X＝4） B．P（X≤4） C．P（X＝6） D．P（X≤6）
3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X＝1）等于（　　）
A． B． C． D．1
5．有8名学生，其中有5名男生．从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望为E（X）＝（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
6．某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分．已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（　　）
A．2.1 B．2 C．0.9 D．0.63
8．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则P（X≤2）＝（　　）
A． B． C． D．
9．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为（　　）
A． B．1 C． D．
10．设随机变量X～B（n，p），若EX＝3，DX＝2，则n＝（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
11．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布N（110，100），则分数位于区间（130，150]分的考生人数近似为（　　）
（已知若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．）
A．1140 B．1075 C．2280 D．2150
12．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（1，22）．从中随机取一件．其长度误差落在区间（3，5）内的概率为（　　）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
13．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（　　）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
14．某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布N（120，9），成绩在（117，126]之外的人数估计有 （　　）
（附：若X服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545）
A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人
15．设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
二．解答题（共8小题）
16．某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图，若立定跳远成绩落在区间（s，s）的左侧，则认为该学生属“体能不达标”的学生，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈27（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？
（2）该校利用分层抽样的方法从样本区[160，180），[180，200），[200，220）中抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200，220）的人数为X，求X的分布列和数学期望．
17．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．
（1）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．
18．在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
分数区间 频数
[50，60） 3
[60，70） 3
[70，80） 16
[80，90） 38
[90，100] 20
男生评分结果的频数分布表
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70）的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．
19．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式．某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究．采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人．
（1）从以现金作为首选支付方式40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；
（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折．已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望．
20．一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球．
（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；
（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次数X的分布列及E（X）．
21．“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式．某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的．
（1）填写2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？
男生 女生 合计
2020年在直播平台购物
2020年未在直播平台购物
合计
（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为X，求X的分布列与期望．
P（K2≥k0） 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 3.841 6.635 7.879 10.828
附：n＝a+b+c+d，．
22．某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如表：
日组装个数 [155，165） [165，175） [175，185） [185，195） [195，205） [205，215]
人数 6 12 34 30 10 8
（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；
（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z服从正态分布N（μ，169），μ近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
（i）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；
（ii）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．
23．“学习强国”平台于2019年1月1日上线，它是由中宣部主管以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，上线后便成了党员干部学习的“新助手”．为了调研某地党员对“学习强国”App的了解程度，研究人员随机抽取了200名该地的党员进行调查，将他们三天内在“学习强国”App上所得的分数统计如表所示：
分数 [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 60 100 20 20
频率
（1）请完善上表中的数据；
（2）若该地区的党员在“学习强国”App上的得分Z～N（μ，σ2），其中μ近似为这200名党员三天内得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），σ2近似为这200名党员三天内得分的方差，求P（57.4＜Z≤83.8）；
（3）以表格中的频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取4人，记这4人在“学习强国”App三天内的得分不低于80分的人数为X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：2.2，2.4，2.6．若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题八 概率与统计
第6讲 随机变量及其分布列
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)．
X 0 1 … m
P …
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
2．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数．设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差：
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
两个特殊分布的期望与方差：
分布 期望 方差
两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)
二项分布 E(X)＝np D(X)＝np(1－p)
期望与方差的性质：
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
4．正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
一．选择题（共15小题）
1．在10个排球中有6个正品，4个次品．从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在10个排球中有6个正品，4个次品．从中抽取4个，
基本事件总数n210，
正品数比次品数少包含的基本事件有：取到4个次品，取到3个次品1个正品，
∴正品数比次品数少包含的基本事件个数m25，
则正品数比次品数少的概率为p．
故选：A．
2．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是（　　）
A．P（X＝4） B．P（X≤4） C．P（X＝6） D．P（X≤6）
【解答】解：由可得：
此为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便的概率，
故选：A．
3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在含有3件次品的50件产品中，任取2件，
基本事件总数n＝C502，
至少取到1件次品的基本事件为C31C471+C32C470，
故至少取到1件次品的概率为：，
故选：D．
4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X＝1）等于（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，
X表示取得次品的个数，则P（X＝1）．
故选：B．
5．有8名学生，其中有5名男生．从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望为E（X）＝（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解答】解：有8名学生，其中有5名男生．从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，
则X的可能取值为1，2，3，4，
P（X＝1），
P（X＝2），
P（X＝3），
P（X＝4），
∴数学期望为E（X）2.5．
故选：B．
6．某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，
则连续测试4次，至少有3次通过的概率为：P．
故选：A．
7．射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分．已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（　　）
A．2.1 B．2 C．0.9 D．0.63
【解答】解：射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分．
已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，
假设每次射击击中目标与否互不影响，
则他射击3次的得分X～B（3，0.7），
∴他射击3次的得分的数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1．
故选：A．
8．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则P（X≤2）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），
则每次取到次品的概率都是p，
X表示取得次品的次数，则X～B（3，），
∴P（X≤2）＝1﹣P（X＝3）＝1﹣（）3．
故选：D．
9．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：设这名学生在上学路上因遇到红灯的次数为X，
则X～B（4，），∴E（X）＝4，
∵遇到红灯停留的总时间Y＝2X，
∴E（Y）＝E（2X）＝2E（X），
故选：D．
10．设随机变量X～B（n，p），若EX＝3，DX＝2，则n＝（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
【解答】解：∵随机变量X～B（n，p），EX＝3，DX＝2，
∴，解得n＝9，p．
故选：D．
11．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布N（110，100），则分数位于区间（130，150]分的考生人数近似为（　　）
（已知若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．）
A．1140 B．1075 C．2280 D．2150
【解答】解：∵成绩分布近似服从正态分布N（110，100），
∴μ＝110，σ＝10，
∴P（90＜X＜130）＝0.9544，
∴P（X＞130）（1﹣0.9544）＝0.0228，
∴分数位于区间（130，150]分的考生人数约为100000×0.0228＝2280．
故选：C．
12．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（1，22）．从中随机取一件．其长度误差落在区间（3，5）内的概率为（　　）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【解答】解：设长度误差为随机变量ξ，由正态分布N（1，22）得P（﹣1＜ξ＜3）＝68.26%，P（﹣3＜ξ＜5）＝95.44%，
所以．
故选：B．
13．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（　　）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【解答】解：∵学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2）（σ＞0）且ξ在（80，120）内的概率为0.8，
∴P（80＜ξ＜100）＝0.4，
∴P（ξ≤80）＝0.5﹣0.4＝0.1．
故选：B．
14．某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布N（120，9），成绩在（117，126]之外的人数估计有 （　　）
（附：若X服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545）
A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人
【解答】解：由数学分数服从正态分布N（120，9），得μ＝120，σ＝3．
则P（117＜x≤126）＝P（117＜X≤123）+P（123＜X≤126）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝0.6827（0.9545﹣0.6827）＝0.81825．
则成绩在（117，126]之内的人数估计有8183，
∴成绩在（117，126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．
故选：A．
15．设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
【解答】解：由正态分布的图象知，X的正态分布曲线的对称轴小于Y的正态分布曲线的对称轴，即μ1＜μ2；
再由正态分布曲线的图象方差越小，随机变量的取值越集中，图象越高瘦，
方差越大，随机变量的取值越分散，图象越矮胖，可得σ1＜σ2．
故选：A．
二．解答题（共8小题）
16．某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图，若立定跳远成绩落在区间（s，s）的左侧，则认为该学生属“体能不达标”的学生，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈27（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？
（2）该校利用分层抽样的方法从样本区[160，180），[180，200），[200，220）中抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200，220）的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由题意各：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.3，0.15，0.05，
∴0.1×170+0.2×190+0.2×210+0.3×230+0.15×250+0.05×270＝217．
s≈190，∵187＜190，
∴该男生属于“体能不达标”的学生．
（2）由题意跳远距离在[160，180），[180，200），[200，220）的人数分别为12人，24人243人，
按分层抽样抽取5人，则[160，180）抽1人，[180，200）抽2人，[200，220）抽2人，
再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在[200，220）的人数为X，
则X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
∴X分布列为：
X 0 1 2
P
E（X）．
17．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．
（1）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．
【解答】解：（1）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，
现从盒内任取3个球．
基本事件总数n84，
取出的3个球中至少有一个红球包含的基本事件个数m49，
∴取出的3个球中至少有一个红球的概率P．
（2）规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．
取出的3个球得分之和恰为1分包含的情况有两种：
①1红2白，包含的基本事件个数为m16，
②2红1黑，包含的基本事件个数为m24，
∴取出的3个球得分之和恰为1分的概率P．
（3）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0），
P（ξ＝1），
P（ξ＝2），
P（ξ＝3）．
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
18．在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
分数区间 频数
[50，60） 3
[60，70） 3
[70，80） 16
[80，90） 38
[90，100] 20
男生评分结果的频数分布表
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70）的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．
【解答】解：（Ⅰ）因为（0.005+m+0.020+0.040+0.020）×10＝1，
所以m＝0.015．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（Ⅲ）设事件A＝“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．
因为样本人数200人，其中男生共有80人，
所以样本中女生共有120人．
由频率分布直方图可知，
女生对食堂“比较满意”的人数共有：120×0.040×10＝48人．
由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，．
所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为．
19．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式．某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究．采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人．
（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；
（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折．已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望．
【解答】解：（1）由题意可知：共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占，即40人；45岁及以上的有20人．
在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人，45岁以下的人数为10人．
从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，则这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率P＝1．
（2）用手机支付的消费者的概率P，以现金作为首选支付方式的概率＝1﹣P．
设销售每件商品的消费者的支付方式为ξ，则
手机支付 现金支付
ξ 40 50
P（ξ）
∴销售10件该商品的销售额的数学期望10E（ξ）＝10440．
20．一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球．
（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；
（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次数X的分布列及E（X）．
【解答】解：设Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到黑球”
（1）每次均从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，
所以P（B2）．…（3分）
（2）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，
所以，所求概率P．…（6分）
（3）有放回的依次取出3个球，则取到黑球次数X的可能取值为0，1，2，3．…（7分）
三次取球互不影响，由（1）知每次取出黑球的概率均为，
所以，；
；
；
．…（9分）
X 0 1 2 3
P
这个试验为3次独立重复事件，X服从二项分布，即X～B，所以，E（X）＝1．…（12分）
21．“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式．某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的．
（1）填写2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？
男生 女生 合计
2020年在直播平台购物
2020年未在直播平台购物
合计
（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为X，求X的分布列与期望．
P（K2≥k0） 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 3.841 6.635 7.879 10.828
附：n＝a+b+c+d，．
【解答】解：（1）列2×2列联表：
男生 女生 合计
2020年在直播平台购物 40 35 75
2020年未在直播平台购物 20 5 25
合计 60 40 100
．
故没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关（5分）
（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为Y，
则Y＝0，1，2，3，4，且，
X＝Y﹣（4﹣Y）＝2Y﹣4，故X＝﹣4，﹣2，0，2，4，
，，，，．
所以X的分布列为
X ﹣4 ﹣2 0 2 4
P
，E（X）＝E（2Y﹣4）＝2E（Y）﹣4＝2×3﹣4＝2，
即E（X）＝2．（12分）
22．某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如表：
日组装个数 [155，165） [165，175） [175，185） [185，195） [195，205） [205，215]
人数 6 12 34 30 10 8
（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；
（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z服从正态分布N（μ，169），μ近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
（i）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；
（ii）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．
【解答】解：（1）设至少有1人日组装个数少于165为事件A，则．
（2）（个）．
又σ2＝169，所以σ＝13，所以μ＝185，σ＝13，
所以μ+σ＝198．
（i），
所以日组装个数超过198个的人数为0.15865×20000＝3173（人），
（ii）由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为0.5．
设这三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，这三人增加的日工资总额为η，则η＝50ξ，
且ξ～B（3，0.5），所以E（ξ）＝3×0.5＝1.5，所以E（η）＝50E（ξ）＝75．
23．“学习强国”平台于2019年1月1日上线，它是由中宣部主管以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，上线后便成了党员干部学习的“新助手”．为了调研某地党员对“学习强国”App的了解程度，研究人员随机抽取了200名该地的党员进行调查，将他们三天内在“学习强国”App上所得的分数统计如表所示：
分数 [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 60 100 20 20
频率
（1）请完善上表中的数据；
（2）若该地区的党员在“学习强国”App上的得分Z～N（μ，σ2），其中μ近似为这200名党员三天内得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），σ2近似为这200名党员三天内得分的方差，求P（57.4＜Z≤83.8）；
（3）以表格中的频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取4人，记这4人在“学习强国”App三天内的得分不低于80分的人数为X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：2.2，2.4，2.6．
若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
【解答】解：（1）根据题意填写统计表如下；
分数 [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 60 100 20 20
频率 0.3 0.5 0.1 0.1
（2）在Z～N（μ，σ2）中，μ＝65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1＝75；
σ2＝（65﹣75）2×0.3+（75﹣75）2×0.5+（85﹣75）2×0.1+（95﹣75）2×0.1＝80；
∴σ＝44×2.2＝8.8，
∴P（57.4＜Z≤83.8）＝P（μ﹣2σ＜Z≤μ+σ）＝1﹣P（Z≤μ﹣2σ）﹣P（Z＞μ+σ）
＝1（1﹣0.9544）（1﹣0.8626）＝0.9085；
（3）由题意知，得分不低于80分的频率为0.2，则X～B（4，0.2），
计算P（X＝0） 0.84＝0.4096，
P（X＝1） 0.2 0.83＝0.4096，
P（X＝2） 0.22 0.82＝0.1536，
P（X＝3） 0.23 0.8＝0.0256，
P（X＝4） 0.24＝0.0016，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
数学期望为EX＝4×0.2＝0.8．

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