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专题七 立体几何与空间向量
第2讲 证明平行与垂直
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
1．若m，n，l为空间三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（　　）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA，⑤OM∥平面PCB．
其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若α∩β＝l，α⊥β，m α，m⊥l，m∥n，则n⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
4．已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，且m α，n α，l β，m∩n＝A，则“α⊥β”是“l⊥m，l⊥n”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1、D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1、CC1相交，交点分别为F、G．求证：FG∥平面ADD1A1．
6．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB．
7．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE．
8．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、P分别是棱AB，A1B1的中点，求证：
（1）AC1∥平面B1CD；
（2）平面APC1∥平面B1CD．
9．如图所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱BB1⊥面ABC，D是棱BC的中点，点M在棱BB1上，且CM⊥AC1．
（1）求证：A1B∥平面AC1D；
（2）求证：CM⊥C1D．
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：AF⊥EF．
11．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点．
（1）求证：CN⊥平面ABB1A1；
（2）求证：CN∥平面AMB1．
12．如图所示，已知正四棱锥S﹣ABCD，E、F分别是侧棱SA、SC的中点．求证：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）EF⊥平面SBD．
13．如图，AB是圆的直径，C是圆上的点，且PA⊥BC．
（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若D是PA中点，O、M分别是AB、AC中点，点E在线段OM上，求证：DE∥平面PBC．
14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2CD＝2，PD＝2，PC，CD∥AB，PD⊥BC，E，F分别为棱AB，PB的中点．
（1）证明：PD⊥平面ABCD．
（2）证明：平面PAD∥平面CEF．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，．
（Ⅰ）求证：CD⊥PD；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；
（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）证明：AC⊥PB．
17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．
（1）求证：O是BD的中点；
（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1，
证明：（1）AC∥平面A1BC1；
（2）平面AB1C⊥平面A1BC1．
19．如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，如图2所示，O、H、M分别为AE、BD、AB的中点，且DM＝2．
（1）求证：OH∥平面DEC；
（2）求证：平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求三棱锥H﹣OMB的体积．
20．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；
（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题七 立体几何与空间向量
第2讲 证明平行与垂直
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) ∵l∥a，a α，l α，∴l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) ∵l∥α，l β，α∩β＝b，∴l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a α，b α，∴α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
1．若m，n，l为空间三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（　　）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
【解答】解：对于A：m⊥l，n⊥l时，m，n的位置关系是相交，平行或者异面，故A错；
对于B：若α∩β＝l，m是平面α，β外的直线，当m∥l时，满足m∥α，m∥β，不满足α∥β，故B错；
对于C：若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能相交，可能平行，故C错；
对于D：由m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，由线面垂直的性质可得：α∥β．故D正确．
故选：D．
2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA，⑤OM∥平面PCB．
其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故①对；
由于OM 平面PCD，PD 平面PCD，则OM∥平面PCD，即②对；
OM 平面PAD，PD 平面PAD，则OM∥平面PAD，即③对；
由于M∈平面PAB，故④错；
由于M∈平面PCB，故⑤错．
故选：C．
3．设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若α∩β＝l，α⊥β，m α，m⊥l，m∥n，则n⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
【解答】解：如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
对于选项A，取α为平面ABCD，β为平面ADD1A1，
直线m为直线AC，n为直线B1C，不满足m⊥n，选项A错误；
对于选项B，取α为平面ABCD，β为平面ABC1D1，
直线m为直线A1C1，n为直线AB，不满足m∥n，选项B错误；
对于选项D，取β为平面ABCD，a为平面ADD1A1，
直线m为直线A1B1，n为直线C1B1，不满足α∥β，选项D错误；
由排除法可知选项C正确．
故选：C．
4．已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，且m α，n α，l β，m∩n＝A，则“α⊥β”是“l⊥m，l⊥n”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：m α，n α，l β，m∩n＝A，
若α⊥β，推不出l⊥m，l⊥n，不是充分条件，
反之，若l⊥m，l⊥n，则l⊥α，则α⊥β，是必要条件，
故选：B．
二．解答题（共16小题）
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、H分别是棱A1B1、D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1、CC1相交，交点分别为F、G．求证：FG∥平面ADD1A1．
【解答】证明：∵EH∥A1D1，且B1C1∥A1D1，
∴EH∥平面B1BCC1，
∵平面EFGH∩平面B1BCC1＝FG
∴EH∥FG，
∵EH∥A1D1，且EH 平面ADD1A1．
∴FG∥平面ADD1A1．
6．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB．
【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，
BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，
∴BC∥AD．
（2）取PA的中点F，连接EF，BF，
∵E是PD的中点，
∴EF∥AD，，
又由（1）可得BC∥AD，且，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EC∥FB，
∵EC 平面PAB，FB 平面PAB，
∴EC∥平面PAB．
7．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE．
【解答】证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点，
∵E是PC的中点，∴OE∥PA，
又OE 平面BDE，PA 平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
8．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、P分别是棱AB，A1B1的中点，求证：
（1）AC1∥平面B1CD；
（2）平面APC1∥平面B1CD．
【解答】证明：（1）设BC1与B1C的交点为O，连结OD，
∵四边形BCC1B1为平行四边形，∴O为B1C中点，
又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，则OD∥AC1，
又∵AC1 平面B1CD，OD 平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD；
（2）∵P为线段A1B1的中点，点D是AB的中点，
∴AD∥B1P且AD＝B1P，则四边形ADB1P为平行四边形，
∴AP∥DB1，
又∵AP 平面B1CD，DB1 平面B1CD，
∴AP∥平面B1CD．
又AC1∥平面B1CD，AC1∩AP＝A，且AC1 平面APC1，AP 平面APC1，
∴平面APC1∥平面B1CD．
9．如图所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱BB1⊥面ABC，D是棱BC的中点，点M在棱BB1上，且CM⊥AC1．
（1）求证：A1B∥平面AC1D；
（2）求证：CM⊥C1D．
【解答】证明：（1）连结A1C，交AC1于N，连结DN，
∵四边形ACC1A1是平行四边形，
∴N是A1C的中点，又D是BC的中点，
∴DN∥A1B，
又A1B 平面ADC1，DN 平面ADC1，
∴A1B∥平面AC1D．
（2）∵BB1⊥面ABC，AD 平面ABC，
∴BB1⊥AD，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，又BB1∩BC＝B，
∴AD⊥平面BCC1B1，又C1M 平面BCC1B1，
∴AD⊥CM，又CM⊥AC1，AC1∩AD＝A，
∴CM⊥平面ADC1，又AC1 平面BCC1B1，
∴CM⊥C1D．
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：AF⊥EF．
【解答】（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC 平面PAC，EF 平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF 平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．
∵EF 平面PDC，
∴AF⊥EF．
11．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点．
（1）求证：CN⊥平面ABB1A1；
（2）求证：CN∥平面AMB1．
【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CN 平面ABC，
∴AA1⊥CN，
∵AC＝BC，N是棱AB的中点，∴CN⊥AB，
∵AA1∩AB＝A，AA1 平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，
∴CN⊥平面ABB1A1…（7分）
（2）取AB1的中点P，连结NP、MP．
∵P、N分别是棱AB1、AB的中点，
∴NP∥BB1且NPBB1，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱CC1的中点，
且CC1∥BB1，CC1＝BB1，
∴CM∥BB1，且CMBB1，∴CM∥NP，CM＝NP．
∴四边形CNPM是平行四边形，∴CN∥MP．
∵CN 平面AMB1，MP 平面AMB1，
∴CN∥平面AMB1．…（14分）
12．如图所示，已知正四棱锥S﹣ABCD，E、F分别是侧棱SA、SC的中点．求证：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）EF⊥平面SBD．
【解答】证明：（1）连接AC，∵由E、F分别是SA、SC的中点，
∴FE∥AC，
∵EF 平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴则有EF∥平面ABCD；
（2）∵正四棱锥S﹣ABCD中，顶点S在底面的射影为底面中心，
∴AC⊥平面SBD．
∵由（1）可得FE∥AC，
∴EF⊥平面SBD．
13．如图，AB是圆的直径，C是圆上的点，且PA⊥BC．
（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若D是PA中点，O、M分别是AB、AC中点，点E在线段OM上，求证：DE∥平面PBC．
【解答】证明：（I）∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，
又∵BC⊥PA，PA 平面PAC，AC 平面PAC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∵BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（II）∵D是PA中点，O、M分别是AB、AC中点，
∴DM∥PC，OM∥BC，
∵DM∩OM＝M，PC∩BC＝C，DM 平面DMO，OM 平面DMO，PC 平面PBC，BC 平面PBC，
∴平面DMO∥平面PBC，
∵DE 平面DMO，
∴DE∥平面PBC．
14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2CD＝2，PD＝2，PC，CD∥AB，PD⊥BC，E，F分别为棱AB，PB的中点．
（1）证明：PD⊥平面ABCD．
（2）证明：平面PAD∥平面CEF．
【解答】证明：（1）因为CD，PD＝2，PC，所以CD2+PD2＝PC2，
所以PD⊥DC．
因为PD⊥BC，DC∩BC＝C，所以PD⊥平面ABCD．
（2）因为E为棱AB的中点，所以AE．
因为AB＝2CD，所以AE＝CD，
因为CD∥AB，所以AE∥CD，
所以四边形AECD为平行四边形，所以CE∥AD，所以CE∥平面PAD．
因为E，F分别为棱AB，PB的中点，所以EF∥PA，所以EF∥平面PAD．
因为CE∩EF＝E，CE 平面CEF，EF 平面CEF，
所以平面PAD∥平面CEF．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，．
（Ⅰ）求证：CD⊥PD；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；
（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
【解答】证明：（I）因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以CD⊥PA．
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD．
因为PD 平面PAD，
所以CD⊥PD．
（ II）因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥PA，
在直角梯形ABCD中，，
AB，BD，
由题意可得，
所以AD2＝AB2+BD2，所以BD⊥AB．
因为PA∩AB＝A，所以BD⊥平面PAB．
解：（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点．
证明：取PA的中点N，连接MN，BN，
因为M是PD的中点，所以．
因为，所以．
所以MNBC是平行四边形，所以CM∥BN．
因为CM 平面PAB，BN 平面PAB．
所以CM∥平面PAB．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）证明：AC⊥PB．
【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是正方形，F为对角线AC与BD的交点，
∴F是BD的中点，又E是PD的中点，
∴EF∥PB，
又EF 平面PBC，PB 平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
（II）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥PD，
又BD 平面PBD，PD 平面PBD，BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PBD，
又PB 平面PBD，
∴AC⊥PB．
17．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．
（1）求证：O是BD的中点；
（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．
【解答】证明：（1）∵BC∥平面AOE，BC在平面BCD内，平面BCD∩平面AOE＝OE，
∴BC∥OE，
∵E为CD的中点，
∴O为BD的中点；
（2）∵OE∥BC，BC⊥BD，
∴OE⊥BD，
∵AB＝AD，O为BD的中点，
∴OA⊥BD，
∵OE∩OA＝O，且都在平面AOE内，
∴BD⊥平面AOE，
∵BD在平面ABD内，
∴平面ABD⊥平面AOE．
18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1，
证明：（1）AC∥平面A1BC1；
（2）平面AB1C⊥平面A1BC1．
【解答】证明：（1）∵ABC﹣A1B1C1为三棱柱，
∴四边形ACC1A1为平行四边形，
∴AC∥A1C1，
又A1C1 平面A1BC1，AC 平面A1BC1，
∴AC∥平面A1BC1；
（2）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，
∵BC＝CC1，
∴四边形BCC1B1为菱形，
∴B1C⊥BC1，
又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，
且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C 平面BCC1B1，
∴B1C⊥平面A1BC1，
∵B1C 平面AB1C，
∴平面AB1C⊥平面A1BC1．
19．如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，如图2所示，O、H、M分别为AE、BD、AB的中点，且DM＝2．
（1）求证：OH∥平面DEC；
（2）求证：平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求三棱锥H﹣OMB的体积．
【解答】证明：（1）取F为BC的中点，连OF、FH，
∵O、F分别为AE、BC的中点，∴OF∥EC，
∵OF 面DEC，EC 面DEC，
∴OF∥面DEC，
同理可证，HF∥面DEC，OF∩HF＝F，
∴面HOF∥面DEC，又OH 面HOF，
∴OH∥平面DEC；
（2）∵AD＝DE＝2，且点O是AE的中点，
∴DO⊥AE，DO，
∵M为AB的中点，∴OM，且AE⊥OM，
又∵DM＝2，∴DO2+OM2＝DM2，
∴DO⊥OM，
∵DO⊥AE，AE∩OM＝O，∴DO⊥平面ABCE，
∵DO 平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCE；
解：（3）由（2）知，DO⊥平面ABCE，
∴点H到平面OMB的距离是DO，
则VH﹣OMB．
20．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；
（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴CO＝2AO，
∴CO＝6，AO＝3，即PO＝3，
又∵，
∴CO2+PO2＝PC2，则PO⊥CO，
∵AC⊥BD于点O，
∴PO⊥BD，
又BD∩OC＝O，
∴PO⊥平面BCD，
又PO在平面PBD内，
∴平面PBD⊥平面BCD；
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴，
又，故，
∴OM∥DC，
又∵OM不在平面PCD内，DC在平面PCD内，
∴OM∥平面PCD．

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