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专题七 立体几何与空间向量
第3讲 空间向量
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线
（1）异面直线所成的角的范围：．
（2）求法：平移→
2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90°
3．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，则异面直线AD1与BB1所成角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥BB1，
则异面直线AD1与BB1所成角的平面角为∠AD1D，
在Rt△AD1D中，AD＝1，DD1，
则tan∠AD1D，
即∠AD1D，所以异面直线AD1与BB1所成角为．
故选：C．
2．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E，F分别是棱B1C1，A1D1的中点，则异面直线BE，DF所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接CE，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E，F分别是棱B1C1，A1D1的中点，
∴DF∥CE，
∴∠CEB是异面直线BE，DF所成角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则CE＝BE，
∴cos∠CEB．
∴异面直线BE，DF所成角的余弦值为．
故选：B．
3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，CC1＝2，点E为CC1的中点，则异面直线AC1与BE所成的角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C1（0，1，2），B（1，1，0），E（0，1，1），
（﹣1，1，2），（﹣1，0，1），
设AC1与BE所成角为θ，则cosθ，
∴θ＝30°．
∴异面直线AC1与BE所成的角为30°．
故选：A．
4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则E（2，1，2），F（1，2，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），C1（0，2，2），
（﹣1，1，﹣2），（0，﹣2，2），（﹣2，0，2），
设平面A1BC1的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，1），
设EF与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ．
∴EF与平面A1BC1所成角的正弦值为．
故选：D．
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中．
（1）求证：AD1∥平面A1BC1；
（2）若AB＝AD＝2，AA1＝3，求直线A1D与平面A1BC1所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝C1D1，AB∥C1D1，
所以ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1；
因为BC1 平面A1BC1，AD1 平面A1BC1，
所以AD1∥平面A1BC1；
（2）解：以A1为原点，、、的方向为x、y、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示；
由AB＝AD＝2，AA1＝3，则A1（0，0，0），C1（2，2，0），D（2，0，3），
所以（2，0，3），（2，2，0），（0，2，3）；
设平面C1A1B的法向量为（x，y，z），
由，得；令y＝﹣3，得（3，﹣3，2），
设直线A1D与平面A1BC1所成的角为θ，
所以sinθ＝|cos，|＝||，
即直线A1D与平面A1BC1所成角的正弦值为．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M．N分别为AD，PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵M，N分别为AD，PD的中点，
∴PA∥MN，
又∵PA不在平面MNC，
∴PA∥平面MNC；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设AD＝2，
则B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，4），M（1，0，0），N（0，0，2），，
设平面MNC的法向量为，则，可取，
设直线PB与平面MNC所成角为α，则
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝2．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若点M为PD中点，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为∠BAP＝90°，则PA⊥AB，
又侧面PAB⊥底面ABCD，
面PAB∩面ABCD＝AB，PA 面PAB，
则PA⊥面ABCD…………………………………………………（2分）
BD 面ABCD，则PA⊥BD
又因为四边形ABCD为平行四边形，
且∠ABC＝60°，AB＝AC
则△ABC为等边三角形，则ABCD为菱形，
则BD⊥AC……………………………………………………（5分）
又PA∩AC＝A，则BD⊥面PAC，BD 面PBD，则面PBD⊥面PAC．…………………（7分）
（2）取BC中点E，以点A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，0，0），，M（0，1，1）
则，………………（9分）
设面PBC的法向量为，则，则（12分）
设直线MC与面PBC所成角为θ，则
所以直线MC与平面PBC所成角的正弦值为．……………………………（15分）
（其它方法酌情给分）
8．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝AB，E为PD中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的正弦值．
【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，
∵BC⊥PB，AB∩PB＝B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，
同理，CD⊥PA，
∵BC∩CD＝C，∴PA⊥平面ABCD．
（2）解：如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2，
则A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0），
则（0，1，1），（2，0，0），
设平面ABE的一个法向量（x，y，z），
则，取z＝1，得（0，﹣1，1），
同理得平面BCE的一个法向量（1，0，2），
∴cos，
∴二面角A﹣BE﹣C的正弦值为．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝45°，且AD＝BD＝PD＝1．
（1）求证：PA⊥PC；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】（1）在平行四边形ABCD中，易得，
由余弦定理得，AC2＝AD2+CD2﹣2AD CDcos150°＝5
因为PD⊥平面ABCD，所以有PD⊥AD，PD⊥DC，
所以PA2＝PD2+AD2＝2，PC2＝PD2+CD2＝3，
所以AC2＝PA2+PC2，
所以PA⊥PC．
（2）分别以DA，DB，DP为x轴，y轴，z轴建立如图空间坐标系，
所以A（1，0，0），C（﹣1，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），
所以，，
因为，
所以PA⊥PC．
由（1）得，设为平面PAB的一个法向量，
所以，即，可取，
同理，设为平面PBC的一个法向量，
所以，即，
可取，
所以，
由图可知，二面角A﹣PB﹣C的平面角是钝角，
所以，二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝60°，AD＝AB＝PB，PC⊥PA，PC＝PA．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：设AD＝AB＝PB＝2，AC∩BD＝O，连接OP，
则∵AB＝AD，且∠DAB＝60°，∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且，BD＝2，BO＝1，
又∵PC⊥PA，PC＝PA，∴△PCA是等腰Rt△，
∴PO⊥AC，，，
在△POB中，，PB＝2，BO＝1，有PB2＝PO2+BO2，
∴PO⊥BO，即BD⊥OP，又AC∩OP＝O，AC 平面PAC；OP 平面PAC；
∴BD⊥平面PAC；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图：
则O（0，0，0），，B（0，1，0），，，
则，，，，
设平面PAB的法向量为，
则，
令x1＝1，则、z1＝1，则，
设平面PBC的法向量为，
则，令x2＝﹣1，则、z2＝1，则，
∴，
设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，经观察θ为钝角，则（12分）
11．已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．
【解答】证明：（1）由已知，翻折后AC⊥PO，AC⊥OB，PO∩OB＝O，
∴AC⊥平面POB，
又PB 平面POB，∴AC⊥PB．
解：（2）在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝120°，
∴BD＝4，OB＝2，
取OB中点M，连结PM，则PM⊥OB，
又AC⊥面POB，∴AC⊥PM，
又AC∩PO＝O，∴PM⊥面ABC，PM＝3，
以OC为x轴，OB为y轴，过点O作MP的平行线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，），B（0，2，0），C（2，0，0），
（2，﹣2，0），（0，，﹣3），
设平面PBC的法向量（x，y，z），
则，取z＝1，得（3，），
平面ABC的一个法向量（0，0，1），
∴cos，
∵二面角P﹣BC﹣A的平面角是锐角，
∴二面角P﹣BC﹣A的余弦值为．
12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD为梯形，且∠DAB＝60°，AB∥CD，DC＝AD＝2AB＝2．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）求A到平面PBD的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，
底面ABCD为梯形，且∠DAB＝60°，AB∥CD，DC＝AD＝2AB＝2．
∴由余弦定理得，
∴BD2+AB2＝AD2，∴∠ABD＝90°，BD⊥AB，
∵AB∥DC，∴BD⊥DC．
又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD＝DC，BD 底面ABCD，
∴BD⊥平面PDC，
又PC 平面PDC，∴BD⊥PC．
解：（Ⅱ）设A到平面PBD的距离为h．
取DC中点Q，连结PQ，∵△PDC是等边三角形，∴PQ⊥DC．
又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD＝DC，PQ 平面PDC，
∴PQ⊥底面ABCD，且，
由（Ⅰ）知BD⊥平面PDC，又PD 平面PDC，∴BD⊥PD．
∴VA﹣PBD＝VP﹣ABD，即2×h1．
解得．
故A到平面PBD的距离为．
13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD中点．
（Ⅰ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅱ）求点P到平面ACM的距离．
【解答】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，∵PA＝AD＝4，AB＝2，则有A（0，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4）
∵M是PD的中点，∴M（0，2，2）
设平面ACM的一个法向量为，则有，即，∴
又∵，设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则有
．
故直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为．
（2）∵，平面ACM的一个法向量为，设点P到平面ACM的距离为d，则有．
故点P到平面ACM的距离为．
14．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点．
（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
（2）求B点到平面PCD的距离．
【解答】解：（1）∵侧棱PA＝PD，PA⊥PD，O为AD的中点，
∴AD2，PO⊥AD，
∵底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，
∴OC⊥AD，OC＝1，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，OC⊥AD，且OC 平面ABCD，
∴OC⊥平面PAD，
以O为原点，分别以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，﹣1，0），P（0，0，1），（1，﹣1，﹣1），
平面POC的法向量（1，0，0），
设直线PB与平面POC所成角为θ，
则sinθ，cosθ，
∴PB与平面POC所成角的余弦值为；
（2）C（1，0，0），D（0，1，0），（1，﹣1，﹣1），
（1，0，﹣1），（0，1，﹣1），
设平面PCD的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，1），
∴B点到平面PCD的距离为d．
15．已知矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点，l为平面AMD与平面BMC的交线．
（1）证明：l∥AD；
（2）若CD＝2AD＝2MC＝2，求B到平面ADM的距离．
【解答】解：（1）证明：由题设知，AD∥BC，
∵AD 平面BMC，BC 平面BMC，
∴AD∥平面BMC，
又AD 平面ADM，平面ADM∩平面BMC＝l，
∴l∥AD．
（2）过点M作MH⊥CD于H，
∵平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，MH 平面CDM，
∴MH⊥平面ABCD．
又∵AD⊥CD，AD 平面ABCD，
∴AD⊥平面CMD，∴AD⊥DM．
∵M为上异于C，D的点，且DC为直径，∴DM⊥CM．
∵DC＝2MC＝2，∴，，，．
设B到平面ADM的距离为h，
∵VM﹣ADB＝VB﹣ADM，∴，解得h＝1，
∴B到平面ADM的距离为1．
16．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠BAC＝30°，，AC＝3DC，DE∥BC，沿DE将点A折至A1处，使得A1C⊥DC，点M为A1B的中点．
（1）证明：A1B⊥平面CMD．
（2）求二面角B﹣CM﹣E的余弦值．
【解答】（1）证明：由DC⊥BC，A1C⊥DC，且A1C∩BC＝C，A1C 平面A1CB，BC 平面A1CB，
可得DC⊥平面A1CB，因此DC⊥A1B．
由∠BAC＝30°，，得，
因此DC＝1，AD＝2＝A1D，由勾股定理可得．
又因为点M为A1B的中点，所以CM⊥A1B，
而CD∩CM＝C，CM 平面CMD，CD 平面CMD，故A1B⊥平面CMD．
（2）解：因为DE⊥CD，DE⊥A1D，CD，DE 平面A1CD，A1D 平面A1CD，
所以DE⊥平面A1CD，又BC∥DE，所以BC⊥平面A1CD．
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则，，，
易知是平面CMB的一个法向量．
设平面CME的法向量为，则，即，
令，得.，
易知二面角B﹣CM﹣E为锐角，故二面角B﹣CM﹣E的余弦值为．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，满足PA∥平面BDE．
（Ⅰ）证明：PE＝EC；
（Ⅱ）设PD＝AD＝BD＝1，AB，若F为棱PB上一点，使得直线DF与平面BDE所成角的大小为30°，求PF：FB的值．
【解答】解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，
∵PA∥平面BDE，PA在平面PAC内，且平面PAC∩平面BDE＝OE，
∴PA∥OE，
∵O为AC中点，
∴E为PC中点，
∴PE＝EC；
（Ⅱ）∵AD＝BD＝1，AB，
∴∠ADB＝90°，
以D为坐标原点，DA，DB，DP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
则，设，F（x，y，z），
则（x，y，z﹣1）＝λ（0，1，﹣1），则F（0，λ，1﹣λ），
∴，
设平面BDE的法向量为，则，可取，
依题意，，解得 ，
故PF：FB的值为1：1．☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.
专题七 立体几何与空间向量
第3讲 空间向量
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线
（1）异面直线所成的角的范围：．
（2）求法：平移→
2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90°
3．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，则异面直线AD1与BB1所成角为（　　）
A． B． C． D．
2．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E，F分别是棱B1C1，A1D1的中点，则异面直线BE，DF所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，CC1＝2，点E为CC1的中点，则异面直线AC1与BE所成的角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中．
（1）求证：AD1∥平面A1BC1；
（2）若AB＝AD＝2，AA1＝3，求直线A1D与平面A1BC1所成角的正弦值．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M．N分别为AD，PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面MNC；
（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值．
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝2．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若点M为PD中点，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值．
8．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝AB，E为PD中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的正弦值．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝45°，且AD＝BD＝PD＝1．
（1）求证：PA⊥PC；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝60°，AD＝AB＝PB，PC⊥PA，PC＝PA．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
11．已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB＝4，∠BAD＝120°，将△ACD沿AC折起，使点D到达点P位置，满足△OPB为等边三角形．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．
12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD为梯形，且∠DAB＝60°，AB∥CD，DC＝AD＝2AB＝2．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）求A到平面PBD的距离．
13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD中点．
（Ⅰ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅱ）求点P到平面ACM的距离．
14．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点．
（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
（2）求B点到平面PCD的距离．
15．已知矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点，l为平面AMD与平面BMC的交线．
（1）证明：l∥AD；
（2）若CD＝2AD＝2MC＝2，求B到平面ADM的距离．
16．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠BAC＝30°，，AC＝3DC，DE∥BC，沿DE将点A折至A1处，使得A1C⊥DC，点M为A1B的中点．
（1）证明：A1B⊥平面CMD．
（2）求二面角B﹣CM﹣E的余弦值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，满足PA∥平面BDE．
（Ⅰ）证明：PE＝EC；
（Ⅱ）设PD＝AD＝BD＝1，AB，若F为棱PB上一点，使得直线DF与平面BDE所成角的大小为30°，求PF：FB的值．

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