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8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标　1.了解空间两直线间的位置关系.2.理解空间直线与平面的位置关系.3.掌握空间平面与平面的位置关系.
知识点一　空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
知识点二　直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点
符合表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
知识点三　平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
思考　平面平行有传递性吗？
答案　有　若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(　×　)
2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.(　×　)
3.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(　×　)
4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.(　×　)
一、两直线位置关系的判定
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
答案　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面
解析　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
反思感悟　判断空间两条直线位置关系的决窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
跟踪训练1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
答案　D
解析　可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
二、直线与平面的位置关系
例2　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)下列命题中正确的个数是(　　)
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.
(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.
反思感悟　在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
跟踪训练2　下列说法：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.
其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　B
解析　对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；对于③，∵a∥b，b α，那么a α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，③正确.
三、平面与平面的位置关系
例3　在以下三个命题中，正确的命题是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；
③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.
A.①② B.②③ C.③ D.①③
答案　C
解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.命题③是正确的.
反思感悟　利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.
跟踪训练3　已知两平面α，β平行，且a α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.
其中正确命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面，故①错误；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直，故③错误；④根据定义a与β无公共点，故④正确.
1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(请选择最贴切的)(　　)
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
答案　D
解析　直线a∥平面α，则a与α无公共点，a与α内的直线均不相交.
2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)
A.都平行
B.都相交
C.在两个平面内
D.至少与其中一个平面平行
答案　D
解析　这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.
3.下列命题中，正确的有(　　)
①平行于同一直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两个平面平行.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
答案　C
4.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作(　　)
A.0个 B.1个
C.0个或1个 D.1个或2个
答案　C
解析　平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：
①直线与平面相交，可以作0个平行平面；
②直线与平面平行，可以作1个平行平面.
5.下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________.
答案　①②
解析　对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.
1.知识清单：
(1)两直线的位置关系.
(2)直线与平面的位置关系.
(3)平面与平面的位置关系.
2.方法归纳：举反例、特例.
3.常见误区：异面直线的判断.
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
答案　D
解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
2.与同一平面平行的两条直线(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
答案　D
解析　与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.
3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
答案　A
4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(　　)
A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
答案　C
解析　如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.
5.(多选)以下四个命题中正确的有(　　)
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
答案　AC
解析　对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.所以正确的是AC.
6.若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是________.
答案　相交
解析　∵点A∈α，B α，C α，
∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
7.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).
①不可能只有两条交线；
②必相交于一点；
③必相交于一条直线；
④必相交于三条平行线.
答案　①
解析　空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.
8.在下列图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
答案　②④
解析　题图①中，GH∥MN；
题图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，所以GH与MN异面；
题图③中，连接GM，则GM∥HN，所以GH与MN共面；
题图④中，G，M，N共面，但H 平面GMN，所以GH与MN异面.
9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？
解　B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.
10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.
解　a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a α且a γ，
由β∩γ＝b知b β且b γ，
∵α∥β，a α，b β，
∴a，b无公共点.
又∵a γ且b γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点.
又a α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
答案　A
解析　延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
12.若平面α与β的公共点多于两个，则(　　)
A.α，β可能只有三个公共点
B.α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上
C.α，β一定有无数个公共点
D.以上均不正确
答案　C
解析　若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C项正确.
13.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.
答案　8
解析　以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱所在直线组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.
14.已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a α，b β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面；
④若两个平面α∩β＝b，a α，则a与β一定相交.
其中正确的序号是____________.
答案　③
解析　①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③正确，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a α，b β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行.
15.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中(　　)
A.AB∥CD B.AD∥EF
C.CD∥GH D.AB∥GH
答案　C
解析　把正方体的展开图还原成正方体，
得到如图所示的正方体，
由正方体性质得，
AB与CD相交，AD与EF异面，CD与GH平行，AB与GH异面.
16.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，C l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.
解　平面ABC与平面β的交线与l相交.
证明如下：
∵AB与l不平行，且AB α，l α，
∴AB与l是相交直线.
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交.

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