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8.5.3　平面与平面平行
学习目标　1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 α∥β
图形语言
思考　应用面面平行判定定理应具备哪些条件？
答案　①平面α内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.
知识点二　两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
思考　(1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
(2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？
答案　(1)不是.(2)是的.
1.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.
(　√　)
2.两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.(　×　)
3.夹在两平行平面间的平行线段相等.(　√　)
4.若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.(　×　)
一、平面与平面平行的判定定理的应用
例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
反思感悟　两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.
跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
二、平面与平面平行的性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
反思感悟　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
跟踪训练2　如图，已知平面α∥β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∴AB∥CD，可得＝.
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
∴＝，解得BD＝.
几何中的计算问题
典例　如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.
解　如图所示.
连接AF，交β于点G，连接BG，EG，
则点A，B，C，F，G共面.
∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，
∴BG∥CF，∴△ABG ∽△ACF，∴＝，
同理，有AD∥GE，＝，∴＝.
又＝，
∴AB＝AC＝(cm)，BC＝AC＝(cm).
∴EF＝3DE＝3×5＝15(cm).
[素养提升]　利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养.
1.在正方体中，相互平行的面不会是(　　)
A.前后相对侧面 B.上下相对底面
C.左右相对侧面 D.相邻的侧面
答案　D
解析　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行.
2.下列命题中正确的是(　　)
A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
答案　B
解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行.
3.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
答案　A
解析　由面面平行的性质定理易得.
4.若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
答案　D
解析　由于α∥β，a α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
5.已知α，β是两个不同的平面，下列条件中可以判断平面α与β平行的是(　　)
(1)α内存在不共线的三点到β的距离相等；
(2)l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；
(3)l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(3) D.(1)(2)(3)
答案　C
解析　平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可能相交，故(1)不正确；当l与m平行时，不能推出α∥β，故(2)不确定；l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定定理，可得α∥β，故(3)正确.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
1.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是(　　)
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交
答案　D
解析　选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.
2.下列四个说法中正确的是(　　)
A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β
B.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β
C.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β
D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β
答案　C
解析　由面面平行的判定定理知C正确.
3.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
答案　B
解析　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
4.平面α∥平面β，直线l∥α，则(　　)
A.l∥β B.l β
C.l∥β或l β D.l，β相交
答案　C
5.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为(　　)
A.1 B.1.5 C.2 D.3
答案　A
6.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________.(填“平行”或“相交”)
答案　平行
解析　若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.
7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
答案　
解析　∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝.
8.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是________.
答案　a∥b
解析　由平面与平面平行的性质定理可判定a∥b.
9.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.
证明　因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，
又FH 平面PEC，PC 平面PEC，
所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，
又AF 平面PCE，CE 平面PCE，
所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
10.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
证明　因为BE∥AA1，
AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
11.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α与β的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.以上都不对
答案　C
解析　根据图①和图②可知α与β平行或相交.
12.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　)
A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
答案　B
解析　由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β，
由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
13.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(　　)
A.1个或2个 B.0个或1个
C.1个 D.0个
答案　B
解析　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
14.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中所有真命题的序号为________.
答案　③
解析　①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.
15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案　M在线段FH上
解析　连接HN，FH，FN(图略).∵HN∥DB，FH∥D1D，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
HN，HF 平面FHN，DB，DD1 平面B1BDD1，
∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，
∴M∈FH.
16.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
解　若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，
连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，
所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，
平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线.
所以当M是AC的中点时，
MB∥平面AEF.

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